高一数学教案：分期付款中的有关计算(二)

1、课题：分期付款中的有关计算（二）教学目的：通过“分期付款中的有关计算“的教学， 使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究教学重点： 分期付款问题进行独立探究的基本步骤教学难点： 将实际问题转化为数学问题授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、 复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演， 也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出

2、问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性） ，其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践性， 课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题另外以突出学生主体地位为根本去设计教学环节； 以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多

3、媒体教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果教学过程 ：一、复习引入：1研究性课题的基本过程：生活实际中的问题存在的可行方案启迪思维留有余地搜集整理信息独立探究个案提出解答并给答辩创建数学模型验证并使用模型结论分析2分期付款使用模型：分期付款购买售价为a 的商品 , 分 n 次经过 m个年（月）还清贷款, 每年（月）还款 x, 年（月）利率为p, 则每次应付款：ma(1p) m(1p) n1x(1p) m1二、例题讲解将上节课采取不同方案所得结果列表比较，看其是否有共同特点?列表比较，观其规律 .方案付款付款方法每期所付款表达式每期付款类别次数付款总额16每隔 2 个月付款x=1785.86

4、10721.161 次，付 6 次100001.0112 (1.0121)1.01121第 1页共 5页212每月付款1 次，1.0112 (1.01888.4910661.85付 12 次100001)x=1.0112133每隔 4 个月付款 x=3607.6210822.851 次，付3 次1.0112 (1.0141)100001.01121例 1 一般地， 一件售价 a 元的商品 采用分期付款 要求在 m 个月内将款全部付清，月利率 p，分 n(n 是 m 的 数 )次付款，那么每次付款数的 算公式 ma(1 p) m(1p) n1xp) m1(1推 程： 每次付款 x ：第 1 期付

5、款 x 元（即 后m 个月 ），到付清款 差 m2m 个月，因此 期所付nn款 同利息之和 ：m2mx(1p)n第 n 期付款（即最后一次付款）x 元 ，款已付清，所付款没有利息.各期所付的款 同到最后一次付款 所生的利息之和 ：x x(1mx(12mx(1m mp) np) np) n 款到 m 个月后已增 a(1p) mm2 mmx1 (1p) n(1p)(1 p)m根据 定可得：nn a(1 p) m即： x (1p)m1p) mma(1(1p) n1ma(1p) m(1p) n1解之得： x(1p)m1例 2某人，公元 2000年参加工作，考 房数 大需做好 的 蓄 房 划，打算在 2

6、010 年的年底花50 万元 一套商品房，从2001 年初开始存款 房， 你帮我解决下列 ：方案 1：从 2001 年开始每年年初到建 行存入3 万元， 行的年利率 1.98%，且保持不 ，按复利 算 （即上年利息要 入下年的本金生息），在 2010 年年底，可以从 行里取到多少 ？若想在2010年年底能 存足50 万，每年年初至少要存多少呢？方案 2：若在 2001年初向建行 款 50万先 房， 行 款的年利率 4.425%，按复利 算， 要求从 款开始到2010 年要分 10年 清， 每年年底等 且每年1 次，每年至少第 2页共 5页要 多少 呢？方案 3：若在 2001 年初 款50 万

7、元先 房， 要求从 款开始到2010 年要分 5 期 清， 两年第1 期付款，再 两年付第二期，到2010 年年底能 清， 一方案比方案2 好 ？启迪思 ，留有余地：问题 1：按各种方案付款每次需付款 分 别 是多少？每次付款 是50 万元的平均数 ？（ 然不是，而会偏高）那么分期付款 就高于 房价，什么引起的呢？（利息）问题 2：按各种方案付款最 终 付款 总额 分 是多少？（事 上，它等于各次付款 之和，于是可以 上一 ）于是，本 的关 在于按各种方案付款每次需付款 分别 是多少？ 设为 x搜集、整理信息：(1) 分期付款中 定每期所付款 相同;(2) 每年利息按复利 算 , 即上年利息要

8、 入下年本金 .例如 , 由于年利率 1.98%， , 款 a 元 一个年就增 a(1+1.98%)=1.0198a(元 );再 一个月又增 1.0198a(1+1.98%)=1.0198 2a(元 )独立探究方案 1可将 一步分解 ：1.商品售价增 到多少？2.各期所付款 的增 状况如何？3当 款全部付清 ，房屋售价与各期付款 有什么关系？提出解答 , 并 答 ：按复利 算存10 年本息和（即从 行里取到 ） ：3 (1 1.98%) 10+3 (11.98%) 9+ +3 (1 1.98 %)1=3 (11.98%)1 (11.98%) 10 33.51 （万元）1(11.98%) 每年存

9、入 x 万元，在 2010 年年底能 存足50 万 ：(1 1.98%) ?1(1 1.98%)10 1(11.98%)? x50解得 x=4.48 （万元）通 方案1 学生了解了 行 蓄的 算， 也初步掌握了等比数列在 行 蓄中的 用， 蓄 房 久， 然不切合我的 ，于是引出分期付款 ；独立探究方案2：分析方法1： 每年 x，第 n 年年底欠款 an ， 第 3页共 5页2001 年底： a1 =50（1+4.425%） x2002 年底： a2 = a1 （ 1+4.425%） x=50 (14.425%) 2 （ 1+4.425%） x x2010 年底： a10= a9 （ 1+4.4

10、25%） x=50 (14.425%) 10 (14.425%) 9 x（ 1+4.425%） x x=50 (14.425%) 10 1(14.425%)10? x01(14.425%)解得： x50(14.425%)101(14.425%)1(14.425%)10 6.29 （万元）分析方法2： 50 万元 10 年 生本息和与每年存入x 的本息和相等，故有 房款 50万元十年的本息和： 50 (1 4.425%) 10每年存入 x 万元的本息和： x (14.425%) 9 +x (1 4.425%) 8 + +x1(14.425%)10=(1 x14.425%)从而有 50 (14.4

11、25%)10 1(14.425%) 10 x1(14.425%)解得： x=6.29 （万元），10年共付： 62.9 万元独立探究方案3：分析： 每期存入 x 万元，每一期的本息和分 ：第 5 期 x，第 4 期 (14.425%) 2x， 第 3 期 (1 4.425%) 4x，第二期： (14.425%) 6x，第 1 期 (1 4.425%) 8x， 有1+ (1 4.425%) 2+ (14.425%) 4+ (14.425%) 6+ (1 4.425%) 8 x=50 (14.425%)10解得： x50(14.425%)10 ?1(14.425%)2 12.85 （万元）1(14

12、.425%)10此 ， 10 年共付： 12.85 5=64.25 （万元） 建数学模型：第 4页共 5页比较方案1、 2、3 结果，经过猜想得：分期付款购买售价为a 的商品 , 分 n 次经过 m个年还清a(1 p) m(1p)贷款 , 每年还款 x, 年利率为 p, 则 xp) m1(1mn 1验证并使用模型： （略）结论分析：方付（存） 付（存）每期所付款表达式每期付款案款款方法付款总额类次数别110每隔 1 年50(11.0198)4.4850存 款 1x1.019810 )次，存 101.0198(1次210每 年 付款 1 次，付 12 次3 5每隔 2 年付 款 1次，付 5501.0442510 (16.2962. 91.044251 )x11.0442510501.0442510 (112.8564.251.04425 2 )x11.04425 10次方案 3 比方案 2 多付了： 64.25-62.9=1.35(万元 ) 所以方案2 更好方案 1 每年虽存款少，但需等10 年后才能买房由于 6.29 4.48 1.81( 万元