高三数学教案：函数的和差积商的导数1

1、函数的和差积商的导数（1）目的要求1.了解函数的和差积的推导.2.掌握两个函数的和、差、积的求导法则.3.能正确运用两个函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数 .教学过程一、导入新课1.复习求下列导数：（x n ） ,(x 3 ) ,(x 2 ) .2.提出问题：求函数 y=x 3 +x 2的导数 .（ 1）利用导数定义求 f (x)x 3x2 的导数 .f ( x)limf ( xx)f (x) = lim( xx)3( xxx) 2( x3x 2 )x0xx0lim3x2x3x (x)2( x)32xx(x) 2= lim (3x 23xx ( x)22x +x 0

2、xx0x)3x 22x.（ 2）探究 : (x 3 ) 3x2 ,( x2 )2x,(x3x 2 ) 3x 22x.结论 : ( x3x 2 ) (x 3 ) ( x 2 ) .3.猜想 : u( x)v( x) ?u( x)v( x)?.二、新授1. 对上面猜想的证明 :u( x) v(x) u ( x) v ( x).证明 :令 yf (x)u( x)v(x).y u( xx)v(xx) u( x)v( x) u( xx)u( x) v( xx)v( x)uv.yuu .xxxlimyuvlimulimv即 ()() u (x)v ().xlimxx.u xv xxx 0x 0xx 0x

3、0x2. 法则1两个函数的和 (或差 )的导数 ,等于这两个函数的导数的和(或差 ),第 1页共 3页即 :( uv)uv .3. 范例 : 求 yx3sin x 的导数 . 求 yx4x 2x 3的导数 .4. 法则 2：两个函数的积的导数 ,等于第一个函数的导数乘以第二个函数 , 加上第一个函数乘以第二个函数的导数 ,即 :(uv) u vuv .指导学生尝试法则2 的证明 :令 yf ( x) u(x) v( x).y u(xx)v( xx) u(x)v(x)= u(xx) v( xx) u(x) v(xx) u(x) v(xx u( x) v(x).y = u( xx)u( x)v(

4、xx) u( x)limva(xx)v(x) .xxx0x因为 v( x) 在点 x 处可导 ,所以它在点 x 处连续 ,于是当 x0时, v( x x)v( x) .从而limylimu( xx)u(x)v(xx)u( x) limv( xx)v( x)x 0xx0xx 0xu ( x) v( x)u(x) v ( x). 即: y(uv )u vuv 说明 :1. (uv) u v .2.若 c 为常数 ,则 (cu )c ucu 0cu cu .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数.(cu) cu .三、例题例 1求 y2x 33x 25x 4 的导数 .例 2 求 y(2x23)(3x2) 的导数 .解法1: y(2x23) (32) (2x23)(3 2) 4x(32) (2x23) 3xxx18 x28x9.=第 2页共 3页解法 2:y (2 x33)(3x 2) 6x34x 2 9x 6y 18x 28x9.注 :在可能的情况下 ,求导时应尽量少用甚至不用乘积的求导法则 .例 3求 yx( x211 ) 的导数 .xx3例 4求 y(x1)( 11) 的导数 .x例 5求 yxsin x cos x 的导数 .22提示 :在求导之