高三数学教案：10.3组合(五)

1、 题 ： 10 3 组合(五 )教学目的：1 排列 合的知 有一个系 的了解，从而 一步掌握；2能运用排列 合概念及两个原理解决排列 合的 合 ；3提高合理 用知 分析 、解决 的能力教学重点： 排列、 合 合 教学 点： 排列、 合 合 授 型： 新授 安排： 1 课时教具：多媒体、 物投影 内容分析 ：学生易于辨 合、全排列 ，而排列 就是先 合后全排列. 在求解排列、 合 ， 可引 学生找出两定 的关系后， 按以下两步思考： 首先要考 如何 出符合 意要求的元素来， 出元素后再去考 是否要 元素 行排 ， 即第一步 从 合的角度考 ，第二步 考 元素是否需全排列，如果不需要，是 合 ；否

2、 是排列 .排列、 合 大都来源于同学 生活和学 中所熟悉的情景，解 思路通常是依据具体做事的 程， 用数学的原理和 言加以表述. 也可以 解排列、 合 就是从生活 、知 、 具体情景的出 ， 正确 会 的 ，抽象出“按部就班”的 理 的 程.据笔者 察，有些同学之所以学 中感到抽象， 不知如何思考， 并不是因 数学知 跟不上，而是因 平 做事、 考 就缺乏条理性， 或解 思路是自己主 想象的做法 （很可能是有悖于常理或常 的做法） . 要解决 个 ， 需要 生一道在分析 要根据 情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模 做事的 程， 更能 明 . 久而久之，学生的 思 能力将会大大提

3、高.排列、 合 解 方法比 灵活， 思考的角度不同，就会得到不同的解法. 若 的切入角度得当， 求解 便，否 会 得复 解. 教学中既要注意比 不同解法的 劣，更要注意提醒学生体会如何 一个 行 思考，才能得到最 方法教学 程 ：一、复 引入：11 分 数原理：做一件事情，完成它可以有n 法，在第一 法中有m1 种不同的方法，在第二 法中有m2 种不同的方法，在第n 法中有mn 种不同的方法 那么完成 件事共有nm1m2lmn 种不同的方法2. 分步 数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步 ，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，做第n 步有 mn 种不同的方法，那么

4、完成 件事有 nm1m2lmn 种不同的方法3排列的概念： 从 n 个不同元素中，任取 m （ m n ）个元素（ 里的被取元素各不相同）按照一定的 序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 一个排列4排列数的定 ：从 n 个不同元素中，任取m （ mn ）个元素的所有排列的个数叫第 1页共 4页a 校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、三做从 n 个元素中取出m 元素的 排列数 ，用符号 anm 表示5排列数公式：m(1)(2)(1)annln m（m, n n , m n）n n62 阶乘： n! 表示正整数1 到 n 的连乘积，叫做n 的阶乘 规定 0!17排列数的另

5、一个计算公式：anm =n!( nm)!82 组合的概念： 一般地，从 n 个不同元素中取出mm n 个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m 个元素的一个 组合说明： 不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同9组合数的概念： 从 n 个不同元素中取出 mmn 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的 组合数 用符号mc n表示10组合数公式： cnmanmn(n1)(n2)l (n m1)ammm!或 c mnn!(n,mn ,且 mn)m!(nm)!11 组合数的性质1： c nmcnn m 规定： cn01 ；12组合数的性质2： c nm1 c nm

6、 + c nm 1二、讲解范例：例 1某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3 个志愿栏内，其中 a 校定为第一志愿；再从 5 所一般大学中选3 所填在第二档次的三个志愿栏内，其中b 、 c 两校必选，且 b 在 c 前 问：此考生共有多少种不同的填表方法？解：先填第一档次的三个志愿栏：因志愿有 a62 种填法；再填第二档次的三个志愿栏：b 、 c 两校有 c32 种填法，剩余的一个志愿栏有 a31种填法 由分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有a62 c32 a31270 （种）例 2 如图是由 12 个小正方形组成的3 4 矩形网格， a一质点沿网格线从点 a 到点 b 的不同路

7、径之中，最短路径有条解： 总揽全局：把质点沿网格线从点a 到点 b 的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向上，不同走法的区别在于哪三步向上，b因此，本题的结论是： c 7335 例 3 圆周上有 12 个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是多少？第 2页共 4页解：要使交点个数最多，则只需所有的交点都不重合显然，并不是每两条弦都在圆内有交点，但如果两条弦相交， 则交点就是以这两条弦的四个端点为顶点的四边形的对角线的交点，也就是说，弦在圆内的交点与以圆上四点为顶点的四边形是一一对应的因此只需求以圆上四点为顶点的四边形的个数，即c124495 个变式 ：本题构造了四边形以求

8、得满足条件的交点，类似的，前面讲过一个问题：以一个正方体的8 个顶点连成的异面直线共有对解：以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有c8412 58 个，每个四面体的四条棱可以组成 3 对异面直线，因此以一个正方体的8 个顶点连成的异面直线共有3 58 174 对另解 ： 3 2c43c41c42c 42 10174 对例 4有 10 只不同的试验产品，其中有4只次品， 6 只正品，现每次取一只测试，直到4 只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？解：本题实质是，前五次测试中有1只正品 4 只次品，且第五次测试的是次品思路一：设想有五个位置，先从6 只正品中任选

9、 1只，放在前四个位置的任一个上，有c61c41种方法；再把4 只次品在剩下的四个位置上任意排列，有a44种排法 故不同的情形共有 c61c41 a44576 种思路二：设想有五个位置，先从4 只次品中任选 1只，放在第五个位置上，有c14 种方法；再从 6 只正品中任选1只，和剩下的 3 只次品一起在前四个位置上任意排列，有 c61 a44 种方法 故不同的情形共有c41c61 a44576种例 5在一次象棋比赛中，进行单循环比赛其中有 2 人，他们各赛了3场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83 场，问：比赛开始时参赛者有多少人？解：需要考虑两种情况： 第一种，因故退出比赛的两人之

10、间没有进行比赛，则 cn22683 ，此方程无正整数解；第二种，因故退出比赛的两人之间进行了比赛，则cn226183 ，解得 n 15，所以，比赛开始时参赛者有15 人三、课堂练习 ：51. 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们3有 网6线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通412b7a过的最大信息量，现从结点a 向结点 b 传递信息，信息可6612以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量8为（ ）a 26b 24c 20d 192学校召开学生代表大会，高二年级的3 个班共选 6 名代表，每班至少1 名，代表的名额分配方案种数是（ ）a 64b 20c

11、18d 1033 名医生和 6 名护士被分配到3 所学校为学生体检， 每所学校分配1 名医生和2 名护士，第 3页共 4页不同的分配方法共有（）a 90b 180c 270d 5404公共汽车上有4 位乘客，汽车沿途停靠6 个站，那么这4 位乘客不同的下车方式共有种；如果其中任何两人都不在同一站下车，那么这4 位乘客不同的下车方式共有种5 4 名男生和 3 名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起；（ 2）女生互不相邻；（3）男女生相间；（ 4）女生按指定顺序排列6有排成一行的7 个空位置， 3 位女生去坐，要求任何两个女生之间都要有空位，共有种不同的坐法7赛艇运动员

12、10 人， 3 人会划右舷，2 人会划左舷，其余5 人两舷都能划，现要从中挑选6 人上艇，平均分配在两舷上划桨，共有种选法8 a, b, c , d , e 5 位同学进行网页设计比赛，决出了第1至第 5 名的名次a 、 b 两位同学去询问名次，主考官对a 说：“很遗憾，你和b 都未拿到冠军” ；对 b 说：“你当然不会是最差的 ”从这个回答分析，5 位同学的名次排列共可能有种不同的情况9学校餐厅供应客饭， 每位学生可以在餐厅提供的菜肴中任选2 荤 2 素共 4 种不同的品种，现在餐厅准备了 5 种不同的荤菜， 若要保证每位学生有200 种以上的不同选择， 则餐厅至少还需准备种不同的素菜种10

13、有 10只不同的试验产品，其中有4 只次品， 6只正品，现每次取一只测试，直到测出 1只次品为止，求第一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有_种11圆周上有12 个等分点，以其中3 个点为顶点的直角三角形的个数为个答案： 1. d2. d3. d4.641296 ,c64 a443605. a44 a44576 a44 a531440 a33 a44144 a748406. a53607. c33c735c63c32c52c53c31c53c436758. 3 3 a33549.c52cx2200xmin710. c64 c44c41144011. c61c10160四、小结 ：1解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问题还是组合问题，还是