北师大版数学九年级总复习课件《二次函数的图象与性质》

1、,学案4 二次函数的图象 与性质,考点一,考点二,考点三,考点四,考点五,返回目录,1.二次函数解析式的三种形式： （1）一般式 f(x)=ax2+bx+c(a0); （2）顶点式 f(x)=a(x-m)2+n(a0); （3）两根式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).,返回目录,2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图像是一条抛物线，对称轴方程为 ,顶点坐标是 . （1）当a0时，抛物线开口向上，函数在(-, 上 ，在 ,+)上 ，当 时,f(x)min = . （2）当a0时，图像与x轴有两个交点M1(x1,0)，M2(x2,0), |M1M2|=|x1-x2|=,递

2、减,递增,递增,递减,返回目录,考点一 求二次函数的解析式,已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足条件f(2-x)=f(2+x),其图象的顶点为A,图象与x轴的交点为B,C,其中B点的坐标为(-1,0)且ABC的面积为18,试确定这个二次函数的解析式.,【分析】 确定二次函数的解析式,一般方法是待定系 数法 , 但由于二次函数的解析式有三种 形 式 : f(x)=ax2+bx+c,g(x)=a(x-m)2+n,h(x) = a(x-x1)(x-x2) (a0),针对不同问题,应适当选形式.,【解析】解法一:由f(2-x)=f(2+x),二次函数f(x)图象的对称轴方程为x=2, 故 点B(

3、-1,0)在f(x)的图象上, 故a(-1)2+b(-1)+c=0, 即a-b+c=0 又ABC的面积为18， 故 2-(-1) = , 即 =6 ,返回目录,由得b=-4a,分别代入中, 得a+4a+c=0,即5a+c=0. =6,即c-4a=6. a= a=- b=- b= c=- c= . f(x)= x2- x- 或f(x)=- x2+ x+ .,或,由此解得,返回目录,解法二:由f(2-x)=f(2+x)知, 二次函数f(x)图象的对称轴方程为x=2, 又B(-1,0),故C点坐标为(5,0). 设顶点A的纵坐标为y,则由ABC面积为18， 有 (5+1)|y|=18，故可解得y=6

4、, A点坐标为(2,6). 可设f(x)=a(x-2)2+6或f(x)=a(x-2)2-6. B(-1,0)是f(x)图象上一点, 故a(-1-2)2+6=0或a(-1-2)2-6=0. 解得a=- 或a= . f(x)=- (x-2)2+6或f(x)= (x-2)2-6.,返回目录,(1)二次函数解析式的三种形式: 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0); 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a0); 两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0). (2)求二次函数解析式的方法:待定系数法.根据所给条件的特征,可选择一般式、顶点式或两根式中的一种来求. 已知三个点坐标时,宜用一

5、般式; 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式; 若已知抛物线与x轴有两个交点,且横坐标已知时,选用两根式求f(x)更方便.,返回目录,对应演练,已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) f(1+x)=f(1-x); (2) f(x)的最大值为15； (3) f(x)=0的两根的立方和等于17，求f(x)的解析式.,返回目录,(1)f(1+x)=f(1-x), 函数f(x)关于直线x=1对称, 又f(x)的最大值为15, 故可设f(x)=a(x-1)2+15(a0). f(x)=ax2-2ax+a+15, x1+x2=2,x1x2=1+ , =(x1+x2)3

6、-3x1x2(x1+x2) =23-32(1+ )=2- =17. a=-6. 故所求函数的解析式为f(x)=-6x2+12x+9.,返回目录,考点二 二次函数性质的应用,设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0x1x21. (1)求实数a的取值范围; (2)试比较f(0)f(1)-f(0)与 的大小,并说明理由.,【分析】可利用二次函数中根与系数的关系列出不等关系,从而确定参数a的取值范围.,返回目录,【解析】 (1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a, 0 00 g(0)0, a3+2 或a0, 0a3-2 . 故所求实数a的取值范围是(

7、0,3-2 ).,即,则由题意得,返回目录,(2)由题意知f(0)f(1)-f(0)=2a2. 令h(a)=2a2,则当0a3-2 时,h(a)是增函数. h(a)h(3-2 )=2(3-2 )2 =2(17-12 ) =2 . 即f(0)f(1)-f(0) .,返回目录,本题利用二次函数的性质研究了二次方程根的分布问题,继而求出了待定字母a的取值范围.,返回目录,对应演练,（1）若函数y=x2+(a+2)x+3,xa,b的图象关于直线x=1对称，则b= . （2）函数f(x)=2x2+mx-1在区间-1,+)上递增，则 f(-1)的取值范围是 . （3）已知f(x)=x2+ax+3-a，若当

8、x-2,2时f(x)0 恒成立，则a的范围是 .,（1）解法一：二次函数y=x2+(a+2)x+3的对称轴为x=1, .即a=-4，而函数f(x)是定义在a,b上的，即a,b关于x=1对称. .b=6.,6,(-,-3,-7a2,返回目录,解法二：二次函数的对称轴为x=1, f(x)=(x-1)2+c与原函数表达式对比可得a+2 =-2, a=-4,又 , b=6. （2）抛物线开口向上，对称轴为x= , -1,m4. 又f(-1)=1-m-3, f(-1)(-,-3.,返回目录,（3）f(x)=x2+ax+3-a=（x+ ）2- +3-a. 当- 4时，f(x)min=f(-2)=7-3a0

9、, a , 又a4, 故此时a不存在. 当-2- 2，即-4a4时，f(x)min=f（ ）= 3-a- 0, a2+4a-120. -6a2. 又-4a4, -4a2. 当- 2，即a-4时，f(x)min=f(2)=7+a0,a-7. 又a-4，故-7a-4. 综上得-7a2.),返回目录,考点三 二次函数在给定区间上的最值问题,已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间-1,1上有最小值,记作g(a). (1)求g(a)的函数表达式; (2)求g(a)的最大值.,【分析】抛物线对称轴不确定,需讨论对称轴与区间的关系才能求出区间最值.,【解析】 (1)由f(x)=2x2-2ax+3=2（x

10、- ）2+3- 知对称轴方程为x= , 根据二次函数的对称轴与题设区间的相对位置分类讨论.,返回目录,当 -1,即a-2时,g(a)=f(-1)=2a+5; 当-1 1,即-2a2时,g(a)=f( )=3- ; 当 1,即a2时,g(a)=f(1)=5-2a. 综合,得 2a+5 (a-2) 3- (-2a2) 5-2a (a2). (2)当a-2时,g(a)1; 当-2a2时,g(a)3; 当a2时,g(a)1. 当a=0时,g(a)的最大值为3.,g(a)=,返回目录,(1)解二次函数求最值问题,首先采用配方法,将二次函数化为y=a(x-m)2+n的形式 ,得顶点(m,n)或对称轴方程x

11、=m,可分成三个类型: 顶点固定,区间固定; 顶点含参数,区间固定; 顶点固定,区间变动. (2)二次函数的最值问题能够将有关二次函数的全部知识和性质融合在一起，还经常和实际问题以及其他考点的知识相结合考查考生的函数思想水平和数学抽象能力 ，所以历来为高考命题专家所青睐.解决最值问题的关键是与图象结合 ，就是用数形结合的方法和运动变化的观点进行分析，然后用抽象的数学表达式反映考题的本质.当然这离不开有关函数最值的基本知识，如最值公式 、均值定理、配方法等.,返回目录,对应演练,关于x的二次函数f(x)= x2-4x+1(0 x1)的最大值为M，最小值为m，求M-m.,f(x)= x2-4x+1

12、= (x-2a)2+1-4a(0 x1) ，顶点为(2a,1-4a),f(0)=1,f(1)= -3. （1）当2a0,即a0时,M-m=f(0)-f(1)=4- . （2） 当02a ,即0a 时，M-m=f(1)-(1-4a)=4a+ -4.,返回目录,(3)当 2a1,即 a 时，M-m=f(0)-(1-4a)=4a. (4)当2a1，即a 时，M-m=f(0)-f(1)=4- . 4- ， a0, 4a+ -4, 0a , 4a, a , 4- ， a .,综上，M-m=,返回目录,考点四 二次函数的综合应用,已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)-2x的解集为x|1x

13、3. （1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式； （2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.,【分析】利用不等式的解集与方程根的关系进行求解.,【解析】（1）f(x)+2x0的解集为x|1x3, 可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a0.因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x =ax2-(2+4a)x+3a. ,返回目录,由方程f(x)+6a=0得 ax2-(2+4a)x+9a=0. 方程有两个相等的根， =-(2+4a)2-4a9a=0, 即5a2-4a-1=0. 解得a=1或a=- . 由于a0，舍去a=1. 将a=- 代入得f(x)的解析式

14、为 f(x)=- x2- x- .,返回目录,(2)f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a = 由a0 a0, 解得a-2- 或-2+ a0. 故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是（-,-2- )(-2+ ,0).,由,返回目录,解一元二次不等式 ax2+bx+c0 或 ax2 +bx+c0 ，反映在数量关系上就是考查二次方程ax2+bx+c=0的根，反映在图形上就是考查二次 y=ax2+bx+c的图象与x轴的关系.,返回目录,对应演练,已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x(-3,2)时，f(x)0；当x(-,-3)(2,+)时，f(x)0. （1）求f(x)在

15、0,1上的值域； （2） c为何值时，ax2+bx+c0的解集为R？,由题目知f(x)的图象是开口向下，交x轴于点A(-3,0)和B（2,0）的抛物线，对称轴方程为x=- . 那么，当x=-3和x=2时，有y=0. 代入原式得 0=a(-3)2+(b-8)(-3)-a-ab, 0=a22+(b-8)2-a-ab.,返回目录,a=0 a=-3, b=8 b=5. a=0, b=8, f(x)=-3x2-3x+18. （1）由题意知，函数在0,1上为单调递减. 又当x=0时，y=18,当x=1时，y=12. f(x)在0,1上的值域为12,18. （2）令g(x)=-3x2+5x+c, 要使g(x

16、)0的解集为R，则需要方程-3x2+5x+c=0的根的判别式0,即=25+12c0. 解得c- ，当c- 时 ，ax2+bx+c0的 解集为R.,解得,经检验知,不符合题意，舍去.,或,返回目录,考点五 用二次函数解决实际问题,据调查,某地区100万从事传统农业的农民,人均收入3 000元,为了增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有x(x0)万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为3 000a元(a0). (1)在建立加工企业后,要使从事传

17、统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入,试求x的取值范围; (2)在(1)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即x多大时),能使这100万农民的人均年收入达到最大.,返回目录,【分析】确定函数表达式是关键,由题意可先求自变量x的取值范围.,【解析】 (1)由题意得(100-x)3 000(1+2x%)100 3 000, 即x2-50 x0,解得0 x50. 又x0, 0x50. (2)设这100万农民的人均年收入为y元,则,返回目录,若25(a+1)50,即01时,函数在(0,50上是增函数. 当x=50时,ymax=- 502+30(a+1)50+3 000 =-1 5

18、00+1 500a+1 500+3 000 =1 500a+3 000. 若01,当x=50时,能使100万农民的人均年收入最大.,返回目录,解实际问题关键是建立数学模型,列出正确的数学关系式.,返回目录,对应演练,某种新产品投放市场的100天中,前40天价格呈直线上升,而后60天其价格呈直线下降,现统计出其中4天的价格如下表: (1)写出价格f(x)关于时间x的函数关系式(x表示投放市场 的第x天); (2)销售量g(x)与时间x的函数关系为:g(x)=- x+ (1x100,xN),则该产品投放市场第几天销售额 最高?最高为多少千元?,返回目录,(1)用求直线方程的方法得 x+22, 1x40, - x+52, 40 x100. (2)设日销售额为S(x),则当1x40时, S(x)=f(x)g(x)=( x+22)(- x+ )= (x+88)(-x+109) =- (x2-21x-9 592). 当x=10或x=11时,S(x)max=808.5(千元). 当40 x100时, S(x)=(- x+52)(- x+ ) = (x2-213x+11 336). 当x=40时,S(x)max=736808.5. 综上得:销售额最高在第10天和第11天,最高销售额为808.5千元.