微分几何练习题库及参考答案(已修改)

1、最新资料推荐微分几何复习题与参考答案一、填空题1 极限 lim(3 t 21)i t 3 jt22 设 f (t )(sin t)it j ，4r( t)dt =1,2,33 已知246k13i8 jk g(t )(t 21)iet j ，求 lim( f (t)g(t )0t 06r( t)dt =2,1,2 ， a 2,1,1， b1,1,0 ，则，4ar (t)dt+ba r (t)dt=3, 9,5 .224 已知 r (t)a （ a 为常向量），则 r (t )tac 5 已知 r (t )ta ，（ a 为常向量），则 r (t )1 t 2a c 26. 最 “贴近 ”空间曲线

2、的直线和平面分别是该曲线的_ 切线 _和密切平面 _.7. 曲率恒等于零的曲线是 _直线 _ .8. 挠率恒等于零的曲线是 _平面曲线 _ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线.10. 曲线 rr (t) 在 t = 2 处有3，则曲线在 t = 2 处的曲率 k =3.11. 若在点 (u0, v0 ) 处 rurv0，则 (u0 ,v0 ) 为曲面的 _正常 _点 .412 已知 f (t )(2t) j(ln t )k ， g (t)(sin t )i(cos t) j ， t0 ，则0d ( f g)dt 2 6cos4 dt13曲线 r (t )2t, t3,

3、et在任意点的切向量为2,3t 2 ,et 14曲线 r (t )a cosht , a sinh t,at 在 t0 点的切向量为 0, a, a15曲线 r (t )a cost, asin t ,bt 在 t 0点的切向量为 0, a, b xey1z1tt2e16设曲线 C : xe, z，当 t1时的切线方程为e , yte12e17设曲线 xetcost, yetsin t, z et，当 t0 时的切线方程为 x1 yz 1.18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是_F=M=0_.19. u曲线（ v曲线）的正交轨线的微分方程是 _ Edu+Fdv 0（ Fdu+Gdv0）

4、_.20. 在欧拉公式 knk1 cos2k2 sin 2 中，是方向 (d) 与 u曲线的夹角 .21. 曲面的三个基本形式,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是2HK0 .22已知 r( u, v)u v, uv, uv，其中 u t 2 ,vsin t ，则 dr2tcos t,2 t cos ,2t vtucos t已知 r( , )a coscos,a cossin,dta sin ，其中t，2，则23t1最新资料推荐dr( , )a sincos2at cossin,a sinsin2at coscos , a cosdt24设 rr (u,v) 为曲面的参数表示， 如果 rurv0

5、，则称参数曲面是正则的； 如果 r : Gr (G)是 一一对应的，则称曲面是简单曲面25 如果 u曲线族和 v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网 26 平面 r( u, v)u, v,0 的第一基本形式为 du 2dv2 ，面积微元为 dudv 27 悬链面 r( u, v)coshucosv,cosh u sin v, u 第一基本量是 Ecosh 2 u， F0, Gcosh2 u 曲面zaxy上坐标曲线x x0， y y0 的交角的余弦值是a2 x0 y0.28(1 a2 x02 )(1 a2 y02 )29 正螺面 r (u,v)u cosv, u sin v,bv的第一

6、基本形式是 du2(u2b2 )dv2 30 双曲抛物面 r( u, v)a(u v), b(uv), 2uv 的第一基本形式是(a2b24v2 )du 22(a2b24uv)dudv( a2b24u2 )d v2 31 正螺面 r (u,v)u cosv, u sin v,bv的平均曲率为 032 方向 (d)du : dv 是渐近方向的充要条件是 kn (d)0或 Ldu 22MdudvNdv 2033. 方向 (d)du : dv 和 ()u : v 共轭的充要条件是II (dr ,r ) 0或 LduuM (duv dvu)Ndvv0 34. 是主曲率的充要条件是ELFM0 FMGNE

7、duFdvLduMdv或dv2dudvdu235. (d)du : dv 是主方向的充要条件是0EFG0 FduGdvMduNdvLMN36. 根据罗德里格斯定理，如果方向 (d) (du : dv) 是主方向，则dnkndr ，其中 kn 是沿方向 (d) 的法曲率 37 旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面38 测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在 P 点的测地曲率的绝对值等于( C) 在 P 点的切平面上的正投影曲线 ( C*) 的曲率39 k, kg , kn 之间的关系是 k 2kg 2kn2 40 如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为041 正交网时测地线的方程为2最新资料推荐

8、d=EvcosGusinds2EG2GEdu = cosdsEdv = sindsG42曲线是曲面的测地线，曲线( C) 上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题1 已知 r (t)et , t, e t ，则 r (0) 为（ A ）A.1,0,1 ；B.1,0,1 ；C.0,1,1 ；D.1,0,1 .2 已知 r (t )r (t) ，为常数，则 r (t ) 为（ C ）A.ta ；B.a ；C.e t a ；D.e a .其中 a 为常向量3. 曲线 (C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）A 切线与固定方向成固定角；B副法线与固定方向成固定角；C主法线与固定方向垂

9、直；D副法线与固定方向垂直4. 曲面在每一点处的主方向（A ）A 至少有两个；B只有一个；C只有两个；D可能没有 .5 球面上的大圆不可能是球面上的（D ）A 测地线；B曲率线；C法截线；D渐近线 .6. 已知 r( x, y) x, y, xy ，求 dr (1,2) 为（ D ）A.dx,d y,d x2dy ；B.dxdy,dxdy,0 ；C.dx-dy,dx+dy,0 ；D.dx,dy,2dxdy .7 圆柱螺线 rcost,sin t ,t 的切线与 z 轴（ C ）.A.平行；B.垂直；C.有固定夹角；D.有固定夹角.438 设平面曲线 C : rr (s) ， s 为自然参数，,

10、是曲线的基本向量叙述错误的是（C ）A.为单位向量；B.；C.k；D.k.9 直线的曲率为（ B ）A. -1 ；B. 0；C. 1；D. 2.10关于平面曲线的曲率 C : rr (s) 不正确的是（D ）A.k( s)(s) ；B.k (s)(s) ，为(s) 的旋转角；C.k( s)；D.k (s)| r ( s) |.11对于曲线，“曲率恒等于 0”是“曲线是直线”的（D ）3最新资料推荐A. 充分不必要条件；B.必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D.充要条件 .12下列论述不正确的是（ D ）A., ,均为单位向量；B.； C.；D.13对于空间曲线 C ，“挠率为零”是“

11、曲线是直线”的（B ）A. 充分不必要条件；B.必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D.充要条件 .14 xa(tsin t ), ya(1cost ), z4a sin t在点 t的切线与 z 轴关系为（ D ）22A. 垂直；B.平行；C.成的角；D. 成的角 .3415椭球面 x2222y2z2 1 的参数表示为（ C ）abcA.x, y, zcoscos,cossin,sin；B.x, y, za coscos, b cossin,sin；C.x, y, za coscos, bcossin, c sin；D.x, y, za cos cos , bsincos, c sin

12、 2 .16曲面 r (u, v)2uv, u2v2, u3v3在点 M (3,5,7) 的切平面方程为（ B ）A.21x3y5z200；B.18 x 3y 4z410；C.7x 5 y6z18 0；D.18x5 y3z160.17球面 r (u, v)Rcosu cosv, Rcosu sin v, Rsin u 的第一基本形式为（ D）A.R2 (du2sin 2 udv2 ) ；B.R2 (d u2cosh2 udv2 ) ；C.R2 (du2sinh 2 udv2 ) ；D.R2 (d u2cos2 udv2 ) .18正圆柱面 r (u, v)Rcosv, Rsin v, u的第一

13、基本形式为（ C）A.du2dv2 ；B.du2dv2 ；Cdu2R2dv2 ；D.du2R2dv2 .19在第一基本形式为 I (du,d v)du2sinh 2 udv2 的曲面上，方程为 uv(v1vv2 ) 的曲线段的弧长为（ B ）A cosh v2cosh v1 ；B sinh v2sinh v1 ；C cosh v1cosh v2 ；D sinh v1sinh v2 20设 M 为正则曲面，则 M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B ）A E 0 ；B F0 ；C G 0 ；D M 0 21高斯曲率为零的的曲面称为（A ）A极小曲面；B球面；C 常高斯曲率曲面；D平面22

14、曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A ）A 0 ；B 1；C 2 ；D 3 4最新资料推荐23当参数曲线构成正交网时，参数曲线u- 曲线的测地曲率为（B ）A 1ln E ；B 21ln E ；2EuGvC21ln G ；D 1ln E Ev2Gu24如果测地线同时为渐近线，则它必为（A ）A 直线；B 平面曲线；C 抛物线；D 圆柱螺线三、判断题（正确打，错误打）1. 向量函数 rr (t) 具有固定长度，则r (t)r (t ) .2. 向量函数 r r (t) 具有固定方向，则 r (t) r (t) . 3. 向量函数 r (t) 关于 t 的旋转速度等于其微商的模r (t ) .

15、4. 曲线 的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线 . 5. 若曲线 的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线 . 6. 圆柱面 r R cos , R sin, z, z线是渐近线 .7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.9. 等距变换一定是保角变换 . 10. 保角变换一定是等距变换 . 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定 . 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向15. 高斯

16、曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量16. 曲面上的直线一定是测地线 17.微分方程 A( u,v)du B( u, v)dv 0 表示曲面上曲线族 . 18.二阶微分方程 A(u, v) du22B(u, v)dudv C (u,v)dv 20 总表示曲面上两族曲线 . 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是 F 0 ，这里 F 是第一基本量 . 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面 .21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 . 22. 球面上的圆一定是测地线 . 23. 球面上经线一定是测地线 . 24. 测地曲率是曲面的内蕴量 . 四、计算题1 求旋轮线 xa(tsi

17、n t ), y a(1 cost) 的 0 t 2一段的弧长解 旋轮线 r (t)a(tsin t), a(1 cost) 的切向量为r (t ) a a cost, asin t ，则在 0 t2 一5最新资料推荐22段的弧长为： sr (t ) dt2a1 costdt8a 002 求曲线 xt sin t , yt cost, ztet 在原点的切向量、主法向量、副法向量解由题意知r (t)sin tt cost ,costt sin t, ettet，r(t )2costt sin t,2sin tt cost ,2ettet，在原点，有r(0)(0,1,1),r(0)(2,0,2)

18、，又r ,(r r )rr(r r ) r ，rr，rrrrr所以有(0,2 ,2 ),(6 ,6 ,6 ),(3 ,3 ,3 ) .223663333 圆柱螺线为 r (t)a cost, a sin t ,bt ，求基本向量,；求曲率 k 和挠率 .解 r (t )a sint , a cost, b， r(t )acost ,a sin t,0 ，又由公式r,(rr) r(rr)r ,rrrrr rrr1a sin t, a cost,b,cost ,sin t,0,1bsin t , b cost, aa2b2a2b2由一般参数的曲率公式k (t )rr及挠率公式 (t)(r , r,

19、 r )r3rr2有 ka，b2 .a22a2bb4 求正螺面 r (u,v)u cosv,u sin v, bv 的切平面和法线方程解rucos,sin,0， rvu sin v,u cosv, b，切平面方程为vvb sin v x法线方程为xu cos v yu sin v zbvcos vsin v00 ，u sin vu cosvbb cosu yuzbuv0,x u cosvyu sin vzbv bsin vb cosvu5 求球面 r ( , )a coscos , a cossin , a sin上任一点处的切平面与法线方程解rasincos , a sinsin, a co

20、s，ra cossin , a coscos ,0 ，e1e2e3rra sincosa sinsina cosa cossinacoscos06最新资料推荐a2 coscoscos ,cos sin,sin球面上任意点的切平面方程为xa cos cos , ya cos sin, zasina2 coscos cos ,cossin ,sin0,即 coscosxcossinysinza0 ，法线方程为( xa coscos , ya cossin, za sin)a 2 cos(coscos ,cossin,sin),即 xa coscosya cossinza sincoscoscoss

21、insin6 求圆柱螺线 xa cost , ya sin t, zt 在点 (a,0,0) 处的密切平面 .解r ( t )a s i nt a,c ot sr ,( t)a c o st , as it n,所以曲线在原点的密切平面的方程为xay0z0asin ta cost1= 0，a costa sin t0即( sin t) x(cos t ) yaza sin t0.7 求旋转抛物面 za( x2y2 ) 的第一基本形式解参数表示为 r (x, y)x, y, a(x2y2 ) ， rx1,0,2 ax ， ry0,1,2ay ，E rx rx1 4a2 x2 ， F rxry4a

22、2 xy ， G r yry 1 4a2 y2 ，I (dx,d y) (14a2 x2 )dx28a2 xydxdy(14a2 y2 )dy 2 8 求正螺面 r (u,v)u cosv,u sin v, bv的第一基本形式解rucos ,sinv,0， rvu sin v,u cosv, b，vEruru1 ， Frurv0 ， Grvrvu2b2 ， I (du,d v)du2(u 2b2 )dv2 9 计算正螺面 r (u, v)u cosv,u sin v,bv 的第一、第二基本量解rucos ,sinv,0， rvu sin v,u cosv, b，vruu0,0,0， ruvsi

23、n v,cos v,0， rvvu cosv, u sin v,0，ijkrurvcosvsin v0b sin v, b cos v, u ，u sin v u cosvbnrurvb sin v,bcosv,u，rurvb2u2E ru ru1 ， Fru rv0 ， Grv rvu2b2 ，L ruu n 0 ， Mruv nb， N rvv n 0b2u27最新资料推荐10计算抛物面 zx2y2 的高斯曲率和平均曲率解 设抛物面的参数表示为 r (x, y)x, y, x2y 2 ，则rx1,0,2 x ，ry0,1,2 y， rxx0,0,2，rxyryx0,0,0，ryy， ，0

24、0 2ijkrxry102 x2x,2 y,1，012 ynrxry2x,2y,1，| rxry |4x24 y21E rx rx1 4x2 ， F rx r y4xy ， Gry ry1 4 y2 ，L rxx n2， M rxy n0 ， N ryy n2，4x24 y24x24 y211LN M 240K4x24 y2 14，EGF 2(14 x2 )(14 y2 )(4 xy)2(4 x24 y21)2H1GL2FMEN4x24 y223 2EGF 2(4x24y21)211. 计算正螺面 r (u,v)u cosv, u sin v,av 的高斯曲率 .解 直接计算知E 1， F0

25、， G u 2a2 ， L0 ， Ma， N0 ，u2a2KLNM 2a2EG F 2(u2a2 ) 2 12. 求曲面 z xy2 的渐近线 .解2z2， qz2 z0 ， s2 z2 z2xz x y，则 pyy2 xy ， r2 y ，ty2xx2x y所以， L=0，M2 y，N2x1 y44x2 y24 x 2y 21 y4渐近线微分方程为4y4x2 y2dxdy2xdy20 ，1y41 y44x2 y2化简得 dy (2 ydxxdy)0 ，d y 0或 2 y d xx d y0渐近线为 y=C1，x2y=C213. 求螺旋面 r u cosv,u sin v,bv 上的曲率线

26、.解rucos v,sin v,0,rvu sin v, u cos v, b8最新资料推荐21 , Frr2r22E ruv0 , Gub ,uvrurvbsin v,bcos v,ubsin v,bcos v,unrvbsin v,bcos v,ub2u 2ruruu = 0,0,0, ruv = sin v,cos v,0, rvvucos v, usin v,0 ， L 0,Mb, N 0u2b2曲率线的微分方程为 :dv2dudvdu2110u 2b2 =0 或 dvdubu2b 200u2b2积分得两族曲率线方程 :vln(uu2b2 )c1和vln( u2b2u)c2.14. 求

27、马鞍面 r u, v,u2v2 在原点处沿任意方向的法曲率 .解ru1 , 0 , 2 , 0 , 1,urvv，E ru21 4u2 , Frurv4uv, G1 4v2 (14u2 )du 28uvdudv(1 4v2 )dv 2nrurv2u,2v,1，rurv4u24v 21L n ruu2,M n ruv0,N n rvv24u 24v 214u 24v 212（ du 2dv 2 )222214u 24v 24v 2 )dv 2 .14u24v2du14u 24v2dv， k n = = (14u 2 )du 28uvdudv (115. 求抛物面 z a( x2 y2 ) 在 (

28、0,0)点的主曲率 .解 曲面方程即r x, y, a( x2y2 ),rx1,0, 2ax,r y0,1,2ay,E(0,0) =1, F(0,0) =0, G(0,0) =1,rxx0,0, 2a, rxy0,0,0, ryy0,0, 2a ， L(0,0) =2a, M(0,0) =0, N(0,0) =2a,代入主曲率公式， 2ak N00 ，所以两主曲率分别为 k1 k2 2a .02a k N16. 求曲面 ru,v,u2v2 在点 (1,1)的主方向 .解ru = 1 , 0, 2u rv,= 0, 1 , 2v,E1 4u2 , F 4uv, G 1 4v29最新资料推荐E(1

29、,1)=5, F (1,1)=4,G(1,1)=5;L2M0,N2,4u 2 +4v2+14u2+ 4v2 +1L(1,1)N (1,1)2 , M (1,1)0, 代入主方向方程，得 (dudv)( dudv)0 ,3即在点 (1,1)主方向 du : dv1:1; u :v 1:1 .17.求曲面 r (u,v) u, v,u2v3 上的椭圆点，双曲点和抛物点解 由 r u, v,u2v3,得 ru =1,0 , 2u, rv= 0, 1,3 v2,ruu=0,0 , 2 , ruv=0,0 , 0,rvv=0,0 , 6v, L2, M 0,N6v,24244u+ 9v +14u + 9

30、v +1LNM 212v.4u2+9v4+1 v0时，是椭圆点； v0时，是双曲点； v=0时，是抛物点 .18. 求曲面 r (u,v) v3, u2 , u v 上的抛物点的轨迹方程解由 r (u, v) v3 , u2 , u v,得 ru=0,2 u, 1, rv = 3v2 , 0,1,ruu= 0,2 , 0, ruv = 0,0 , 0,rvv =6v,0 ,0 ,6v2,M0, N12uvL,EG-F 2EG-F 2令 LN M 272uv3= 0.得 u=0 或 v=0EG-F 2所以抛物点的轨迹方程为r= v3 , 0, v 或 r=0, u2 , u .19. 求圆柱螺线 r (t ) a cost,a sin t,bt 自然参数表示 .解 由 r (t ) a cost,a sin t,bt, 得 r - a sin t, a cost, b， r (t)a2 +b2 ,弧长 s(t )a2+b2 dt =a2+b2 t, ts,t0a2 +b2曲线的自然参数表示为 r (s) a coss,s,bsa2 +b2a sin.a2 +