第14章位移法课件1.ppt

1、1,第14章 位 移 法,2,第14章 位 移 法,141 位移法基本概念,14-2 等截面直杆的转角位移方程,14-3 位移法的基本未知量和基本结构,14-4 无结点线位移结构的计算,145 有结点线位移结构的计算,146 对称性的利用,3,141 位移法基本概念,力法和位移法是分析超静定结构的两 种基本方法。,力法,位移法,以某些结点位移为基本未 知量，由平衡条件建立位移法方程，求出 位移后再计算内力。,以多余未知力为基本未知量， 由位移条件建立力法方程，求出内力后再 计算位移。,4,以图示两跨梁为例予以说明,梁在荷载FP作用下将发生如虚 线所示的变形。,在刚结点B处发生转,角Z1，结点没

2、有线位移。则BC杆可 以视为一根两端固定的梁（见图）。,其受荷载FP作用和支座B发生转角Z1 这两种情况下的内力均可以由力法 求。同理， AB杆可以视为两端 固定的梁（见图）。而在固定端B处 发生了转角Z1，其内力同样由力法求出。,可见，在计算刚架时，如果以 Z1为基本未知量，设法首先求出Z1， 则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。,5,由以上讨论可知，在位移法中须解 决以下问题：,（1）用力法算出单跨超静定梁在杆 端发生各种位移时以及荷载等因素作 用下的内力。,（2）确定以结构上的哪些位移作为 基本未知量。,（3）如何求出这些位移。,下面依次讨论这些问题。,6,142 等截面直杆的

3、转角位移方程,本节解决第一个问题。,用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。 计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位 移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应 用方便，首先推导杆端弯矩公式。,如图所示，两端固定的等截面 梁，除受荷载P两支座还发生位移： 转角 A、 B及侧移AB 。转 角A、 B顺时针为正， AB则 以整个杆件顺时针方向转动为正。 在位移法中，为了计算方便，弯 矩的符号规定如下：弯矩是以对杆 端顺时针为正(对结点或对支座以 逆时针为正)。,1两端固定杆的转角位移方程,A,B,L,EI,P,A,B,A,B,AB,AB,MAB

4、,A,MBA,B,7,A,B,L,EI,P,t1,t2,A,B,A,B,AB,AB,用力法解此问题，选取基本结构如图。,P,t1,t2,X1,X2,X3,多余未知力为X1、X2。,力法典型方程为,11X1+12X2+ 1P+ 1=A 21X1+22X2+ 2P +2=B,为计算系数和自由项，作,、,、MP图。,图,1,图,1,MP图,XA,XB,由图乘法算出：,，,，,AB,AB,由图知,这里，AB称为弦转角，顺时针为 正。,返 回,8,将以上系数和自由项代入典型方程，可解得,X1=,X2=,令,称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用,MBA代替X2，上式可写成,MAB= 4iA+2i

5、B,MBA= 4i B +2i A,(141a）,式中,(141b）,是此两端固定的梁在荷外因作用下的杆端弯矩，称为固端弯矩。,9,MAB= 4iA+2iB _,MBA= 4iB +2iA_,(141）,式(141）是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常 称为转角位移方程。,2、一端固定另一端简支的等截面梁(见图)，,其转角位移方程 可由式(141）导出，设B端为铰支，则因,A,B,EI,P,l,MBA= 4i B +2i A_,=0,可见，B可表示为A、AB的函数。将 此式代入式(141)第一式，得,MAB=3iA,(142a）（转角位移方程）,式中,（14-2b）（固端弯矩）,杆端

6、弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。,有,10,由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数如下。,11,143 位移法的基本未知量和基本结构,在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。,(1) 独立角位移数目的确定,由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可 知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。,1.位移法的基本未知量,这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。,例如图示刚架,5,6,独立的结点角位移 数目为

7、2。,12,(2)独立线位移数目的确定,在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。 但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于 是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就 相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一 个独立线位移(侧移)。例如(见图a）,1,2,3,4,5,6,4、5、6 三个固定 端 都是不动的点，结点1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长度不变，故三个结点均有相同的水平位移 。,P,(a),事实上，图(a)所示结构的独立线位 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 位移数目是相同的。因此，实用上 为了能简捷地确定出结构的独立

8、线 位移数目，可以,(b),将结构的刚结点(包括固定支 座)都变成铰结点(成为铰结体系), 则使其成为几何不变添加的最少 链杆数，即为原结构的独立线位 移数目(见图b)。,13,例：判定14-6的刚架结点线位移数目,图14-6,图14-7,（a）,（b）,（a）,（b）,（c）,图14-6a的刚架：无结点线位移 图14-6b的刚架：有一个结点线位移,14,2.位移法的基本结构,用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静 定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根 单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结 点转动)

9、,同时在有线位移的结点上 加上附加支座链杆(阻止结点移动)。,1,2,3,4,5,6,例如 ( 见图a),(a),又例如(见图b),(b),2,3,4,5,6,7,共有四个刚结点，结点线位移 数目为二，基本未知量为六个。 基本结构如图所示。,1,基本未知量三个。,15, 144无结点线位移结构的计算,用位移法计算超静定刚架时，需加入附加刚臂和链杆以取得 基本结构，由附加刚臂和链杆上的总反力矩(或反力)等于零的条件， 建立位移法的基本方程。,可以不通过基本结构，直 接由平衡条件建立位移法基本方程。,举例说明如下,1,【例14-1】用位移法计算如图所示连续梁，作出弯矩图， 刚度EI为常数。,16,

10、【解】(1)确定基本未知量 此连续梁只有一个刚接点B的转角位移如，如图。 (2)写出转角位移方程,(3) 对刚结点B取力矩平衡,MBA+MBC=0,(4)解方程得:,(负号说明B逆时针）,17,代回转角位移方程求各杆端弯矩:,(5)将,(6)作弯矩图、剪力图，如图,18,【例14-2】用位移法计算图所示超静定刚架，作出弯矩图,【解】(1)确定基本未知量：此刚架有两个刚结点转角位 移B、C,(2)写出转角位移方程,19,各杆刚度取相对值计算，设EI=1，则,固端弯矩查表14-1得,20,转角位移方程为,(3)对刚接点B、C取力矩平衡,21,(4)解上位移法方程得：B=5.23， C=-11.16

11、,(5)将B、C回代转角位移方程求各杆端弯矩,22,(6)作出弯矩图,23,145 有结点线位移结构的计算,对有节点线位移的刚架来说，一般要考虑杆端剪力，建立线位移方向上的静力平衡方程和刚接点处的力矩平衡方程，才能解出未知量.,24,例14-5用位移法计算如图所示超静定刚架，EI为常数，作出弯矩图。,【解】(1)确定基本未知量：此刚架有一个刚结点转角位移 C和一个线位移，（如图a）,(2)写出转角位移方程,25,杆顶端剪力可写为：,(3)对刚结点C取力矩平衡，如图,MC=0 MCA+MCD=0,取杆端剪力平衡条件,FX=0 FQBA+FQCD-30=0,26,代入杆端转角位移方程并整理后得：,(4)解得：,(5)将C、代回转角位移方程求出各杆端弯矩