北师大版九年级数学上学期期末备考压轴题专项习题：图形的相似

1、期末备考压轴题专项习题：图形的相似1如图，在四边形ABCD中，DABCBA90，点E为BC的中点，DECE（1）求证：AEDBCE；（2）若AD3，BC12，求线段DC的长（1）证明：ECDE，DEC90，DABCBA90，ADE+AED90，AED+CEB90，ADECEB，AEDBCE（2）AEDBCE，AEEB，AE2ADBC36，AEEB6，DE2AD2+AE232+6245，EC2BE2+BC262+122180，CD152如图，在ABC中，点D是边AB上的一点，ADCACB（1）证明：ADCACB；（2）若AD2，BD6，求边AC的长（1）证明：AA，ADCACB，ADCACB（2

2、）解：ADCACB，AC2ADAB2816，AC0，AC43如图，在ABCD中，F是AD上一点，且AF3DF，BF与CD的延长线交点E（1）求证：ABFCEB；（2）若DEF的面积为1，求ABCD的面积解：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AC ABCD，ABFE，ABFCEB；（2）在ABCD中，ADBC，DEFCEB，又ABFCEB，ABFDEF，AF3DF，DEF的面积为1，SABF9，ADBC4DF，SCBE 16，ABCD的面积9+15244如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF3FD，BEF90（1）求证：ABEDEF；（2）若AB4，延长EF交B

3、C的延长线于点G，求BG的长（1）证明：四边形ABCD为正方形，AD90，ABBCCDAD，ADBC，BEF90，ABE+EBADEF+EBA90，ABEDEF，ABEDEF；（2）解：ABBCCDAD4，CF3FD，DF1，CF3，ABEDEF，即，解得：DE2，ADBC，EDFGCF，即，CG6，BGBC+CG4+6105已知：如图，在三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且ABEACD，BE、CD交于点G（1）求证：ABEACD；（2）如果BE平分ABC，求证：DECE（1）证明：ABEACD，AA，ABEACD；（2）证明：ABEACD，BGDCGE，BGDCGE，又DGEBG

4、C，DGEBGC，GBCGDE，BE平分ABC，GBCABE，ABEACD，GDEACD，DECE6如图，在四边形ABCD中，ABAD，对角线AC与BD交于点O，AC10，ABDACB，点E在CB延长线上，且AEAC（1）求证：AEBBCO；（2）当AEBD时，求AO的长解：（1）AEAC，EACE，ABDACB，EABD，EAB180EABE，OBC180ABEABD，EABOBC，AEBBCO；（2）过A作AFBC于F，过O作OGBC于G，AEBD，EDBC，EABABD，ABDACB，EABACE，OBCEAB，OBCOCB，OBOC，tanABDtanACB，AC10，AF6，CF8，

5、AEAC，EC2CF16，EABACE，EE，AEBCEA，BE，BCECBE16，CEBC，AFBC，OGBC，OGAF，AO7如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A（2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO上运动，连接BP，作BEPB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒（1）当t4时，求点E的坐标；（2）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与ABE相似若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）当t4时，PC4，过点E作CB的垂线，垂足为H，如图1所示：A（2，0），C（0，3），OA2，OC

6、3，四边形OABC是矩形，ABOC3，BCOA2，BPC+PBC90，PBC+EBH90，BPCEBH，EHBBCP90，PBCBEH，即，解得：BH6，AEBH6，OEOA+AE2+68，点E的坐标是（8，0）；（2）存在，理由如下：ABE+ABP90，PBC+ABP90，ABEPBC，BAEBCP90，BCPBAE，AEt，当点P在点O上方时，如图2所示：若时，POEEAB，OP3t，OE2+t，解得：t1，t2（舍去），OP3，P的坐标为（0，），当点P在点O下方时，如图3所示：若，则OPEABE，解得：t13+，t23（舍去），OPt33+3，P的坐标为（0，），若，则OEPABE，整

7、理得： t29，这种情况不成立，综上所述，存在以P、O、E为顶点的三角形与ABE相似，P的坐标为：（0，）或（0，）8如图，AB16cm，AC12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止，（点P到达点C后，点Q继续运动）（1）请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出定义域（2）当t等于何值时，APQ与ABC相似？解：（1）由题意得：y12t（0t6），y216t（0t16）；（2）当0t6时，若QPBC，则有AQPABC，AB16cm，AC12cm，AP2tcm，AQ（16t）cm

8、，解得：t，AA，若AQPC，则有AQPACB，解得：t6.4（不符合题意，舍去）；当6t16时，点P与C重合，AA，只有当AQCACB时，有AQCACB，解得：t7，综上所述：在0t6中，当t时，AQPABC，在6t16中，当t7时，AQCACB9如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，BEAC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED（1）求证：AEFBDF；（2）若AE4，BD8，EF+DF9，求DE的长（1）证明：ADBC，BEAC，BDFAEF90，AFEBFD，AEFBDF（2）解：AEFBDF，DF+EF9，EF3，DF6，BF10，AF5，AD5+611，AB，AFBEFD，AF

9、BEFD，DE10如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，AE与BD相交于点F（1）ADF与EBF相似吗？请说明理由；（2）如果E是BC的中点，那么AF与EF有怎样的数量关系？为什么？解：（1）结论：ADFEBF理由：四边形ABCD是平行四边形，ADBE，ADFEBF（2）结论：AF2EF理由：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBEBEEC，AD2BE，2，AF2EF11如图，在ABCD中，G是DC的延长线上点，AG分别交BD和BC于点E、F若AB12，AE8，CG3（1）求证：GDAABF；（2）求EF的长（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，AGDFAB

10、，DAGBFA，GDAABF；（2）解：四边形ABCD是平行四边形，CDAB12，ABCD，DGCD+CG12+315，AGDEAB，DEGBEA，DEGBEA，即：，解得：GE10，AGAE+GE8+1018，GDAABF，即：，解得AF，EFAFAE812如图，在ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE、CD交于点O，OC3OD，OB3OE（1）如果AE6，求AC的长；（2）如果ADE的面积为1，求BDE的面积解：（1）OC3OD，OB3OE，DEBC，ADEABC，AE6，AC18（2），AD：DB1：2，SBDE2SADE213如图，AD是ABC中BAC的平分线，过A作AEAD交B

11、C的延长线于点E，M为DE的中点（1）求证：ME2MCMB；（2）如果BA2BDBE，求证：（1）证明：AEAD，DAE90，DMME，AMMDME，MADMAD，MAC+DACB+BAD，BADCAD，MACB，AMCAMB，AMCBMA，AM2MCMB，MEMA，ME2MCMB（2）证明：MACBMA，AB2BDBE，BB，BADBEA，BADE，AMBE+MAE2E，BAC2BAD，BACAMB，BB，BACBMA，AB2BCBM，14已知：如图，在等腰ABC中，ABAC，D是BC延长线上的一点，点E是AC的中点，EFAB，EGBD，FG与AC交于点Q（1）求证：FEGACD；（2）求证

12、：（1）证明：点E是AC的中点，EGBD，EFAB，EGCD，EGCD；EFAB，EFABABACEGCD，EFACABACBACBEFAB，EGCDFECBAC，GEC+DCA180FEGFEC+GEC1802ACB+180ACD360ACB（ACB+ACD）360180ACBACDFEGACD；（2）证明：FEGACDFGEADCEGBDFGEQFCADCQFC又BACBQFCADBABAC15从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）如图1，在ABC中，A40，B60，当BCD40时，CD为ABC的完美分割线；（2）如图2，ABC中，AC2，BC，CD是ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长解：（1）当BCD40时，A40，B60，A