信号与系统第六章

1、信号与系统,第6章 离散时间系统的时域分析 （教材第七章内容）,主要内容,6.1 离散时间信号的描述 6.2 离散时间系统的数学模型 6.3 离散系统的零输入和零状态响应 6.4 离散序列卷积（和）,6.1离散时间信号的描述,一、离散信号的描述 定义：离散信号是离散时间变量 tn（n为任意整数）的函数，记为 x ( tn )。 通常取 tn= nT，T为离散时间的间隔 离散信号的表示： (a) 图形表示,(b) 解析表示 如： (c) 集合表示 如：,二、常用的离散序列（参看演示） 单位样值信号（Unit Sample或Unit Impulse）,单位阶跃序列 矩形序列,以上三种序列满足下列关

2、系：,斜变序列 指数序列 正弦序列,|a|1 时，序列是发散的， |a|0 时，序列都取正值，a0 时，序列在正、负摆动。,课堂讨论 连续正弦信号是周期信号，正弦序列也一定是周期信号吗？ 如果正弦序列是由正弦信号抽样得到，那么什么条件下，得到的序列为周期信号？,复指数序列 设复数 ， ， 则复指数序列,可见，复指数序列的实部和虚部均为幅值按指数规律变化的正弦序列。,三、离散序列的运算,1. 相加： 2. 相乘： 3. 时移： 4. 反褶： 5. 尺度变换：,尺度变换后数据点的个数是否保持不变？,6.2离散时间系统的数学模型,注： 线性时不变连续系统 线性常系数微分方程 线性时不变离散系统 线性

3、常系数差分方程,设有序列x(n)，则，x(n+2)，x(n+1)，x(n-1)，x(n-2)等称为x(n)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。 1. 差分运算,一、差分与差分方程,离散信号的变化率有两种表示形式：,所以，可定义 （1）一阶前向差分定义： （2）一阶后向差分定义： 式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。 （3）差分的线性性质： （4）二阶差分定义： （5） m阶差分:,2. 差分方程 包含未知序列 y(n) 及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式,差分方程本质上是递推的代数方程； 若已知初始条件和激

4、励，利用迭代法可求得其数值解。,【例1】 若描述某系统的差分方程为,已知系统的初始条件为 y(0)=0, y(1)=2 ，激励为 求 y(n) 。,解：,迭代法一般不易得到解析形式的(闭合)解,二、差分方程的经典解,与微分方程经典解类似， 1. 齐次解 yh(n) 齐次方程 其特征方程为 其根 i ( i = 1，2，n) 称为差分方程的特征根。,齐次解的形式取决于特征根。 当特征根 为单根时，齐次解 y (n) 形式为： 当特征根 为 r 重根时，齐次解 y (n) 形式为：,如：特解为 则齐次解为,2. 特解 yp(k) : 特解的形式与激励的形式相同 1) 激励 x(n)=nm (m0)

5、 所有特征根均不等于1 时，特解为 有 r 重等于1 的特征根时，特解为,2) 激励 x(n)=an 当 a 不等于特征根时: 当 a 是 r 重特征根时:,3) 激励 x(n)=cos(n) 或 sin(n) ej 不是特征根时: ej是 r 重特征根:,【例2】 若描述某系统的差分方程为,系统的初始条件为 y(0)=0，y(1)= -1，激励为 x(n)=2n，n0，求全解。,解：特征方程为 可解得特征根 其齐次解为,根据激励的形式，可知特解具有以下形式：,代入方程，得：,解得,所以得特解：,故全解为,代入初始条件得,三、离散系统的框图表示,离散系统的基本运算有延时（移序）、乘法、加法，这

6、些基本运算可以由基本运算单元来实现。,1. 延时器,注：也用符号“T”或“D”表示,2. 加法器,3. 乘法器,或：,【例3】列出下列系统的差分方程。,【例4】画出下列系统的框图。,6.3 离散系统的零输入和零状态响应,零输入条件下，离散系统方程为,一般给定的系统的初始状态为,一、零输入响应,系统的完全响应 y(n) 零输入响应 yzi(n) 零状态响应yzs(n),【例5】 若描述某系统的差分方程为,已知系统的初始条件为 y(-1)=0, y(-2)=2 ，求零输入响应 yzi(n),解：特征方程为 特征根为 零输入响应为 代入初始条件 所以,二、零状态响应,若信号在 n=0 接入系统，则零

7、状态是指 都等于0的系统（k阶系统）。,1）单位样值响应 h(n),定义：单位样值 作为激励而产生的零状态响应。 由于单位样值响应h(n)表征了系统自身的特性，可以根据h(n)来判断系统的稳定性和因果性。,可把单位样值 激励信号等效为起始条件来求解h(n) 。,离散线性时不变系统是因果系统的冲要条件是 离散时间系统是稳定系统的冲要条件是,其中M为有界正值,【例6】 系统的差分方程为,求系统的单位样值响应。,解：1）求齐次解。特征方程为 特征根为3重根 齐次解的表示式为 2）因为系统的初始状态为0，所以可推知,以此作为边界条件建立方程组求解系数C,解得：,所以，系统的单位样值响应为,2）零状态响应,由于离散激励信号可以分解为单位样值信号的叠加，对应每个样值激励，系统得到对此样值的响应，每个响应都是一个离散序列，将这些序列叠加即可得到系统的零状态响应。,6.4 卷积（和）,离散时间系统的任意激励信号 x(n) 可以表示为单位样值加权取和的形式：,根据线性时不变系统的特性可知，系统对此激励的响应为,1）定义,称,为x(n)与h(n)的卷积和,记为,2）性质,卷积和具有和连续系统中的卷积类似的性质。,3）卷积和的求解,图解法：分解为反褶平移相乘取和,对位相乘求和法：