圆的相关定理及其几何证明

1、圆的相关定理及其几何证明典题探究例1：如图，圆是的外接圆，过点C作圆的切线交的延长线于点.若，则线段的长是 ；圆的半径是 .例2：如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A,O之间），,垂足为F若，则 例3：如图已知与圆相切于，半径，交于，若,，则 ， 例4：如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，, 则 ,圆的半径等于 演练方阵A档（巩固专练）1如图，已知直线PD切O于点D，直线PO交O于点E,F.若，则O的半径为 ； .2. 如图，与切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点. 若，则弦的长为_.3. 如图：圆O的割线PAB经过圆心O，C是圆上一点，PAACAB，则以下结论

2、不正确的是( ) A. B. C. PC是圆O的切线 D. 4如图，已知是圆的直径，在的延长线上，切圆于点，于若，则圆的半径长为_；_5如图所示，以直角三角形的直角边为直径作，交斜边于点，过点作的切线，交边于点.则 .6如图，直线AM与圆相切于点M, ABC与ADE是圆的两条割线，且BDAD，连接MD、EC。则下面结论中，错误的结论是( )AECA = 90oBCEM=DMA+DBACAM2 = ADAE DADDE = ABBC7如图，切圆于点,为圆的直径，交圆于点，为的中点，且则_；_.8如图，切圆于点，割线经过圆心，则 ，的面积是 9如图，为的直径,切于点,且过点的割线,交的延长线于点,

3、若,，则 ， 10如图，是O上的四个点，过点B的切线与的延长线交于点E.若，则( )A. B. C. D. B档（提升精练）1如图，已知O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为_2如图,已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点,且,若与圆相切,且,则 3如图，是半圆的直径，在的延长线上，与半圆相切于点，若，则_.4如图，是的直径，直线切于点，且与延长线交于点，若，则= 5如图，为的直径，弦交于点若，则_6如图，是圆的切线，切点为，交圆于两点，则=( )A B C D7如图所示，RtABC内接于圆，PA是圆的切线，A为切点， PB交AC于E，交圆于D若PA=AE，P

4、D=，BD=，则AP= ，AC= 8. 如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于点，那么= ，= .9如图，已知圆中两条弦与相交于点，与圆相切交延长线上于点，若，则线段的长为 10. 如图，直线与相切于点，割线经过圆心， 弦于点，则 C档（跨越导练）1. 如图，是的内接三角形，是的切线，交于点，交于点若，则_；_2. 如图，的直径与弦交于点，则_ _3. 如图，是圆的直径，于，且，为的中点，连接 并延长交圆于若，则_， _O4. 如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B，C的切线交于点P，AP交圆于D，若AB=2，AC=1，则PC=_，PD=_5. 是圆O的直径，为圆O上一点，过作圆O的

5、切线交延长线于点，若=， ，则 6. 如图，已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，则切线的长为 7. 如图，是半径为的圆的直径，点 在的延长线上，是圆的切线，点在直径上的射影是的中点，则= ； 8. 如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，圆心到的距离为，则圆的半径为_9. 如图，是圆的直径，在的延长线上，切圆于点.已知圆半径为，则_；的大小为_10. 如图，A，B，C是O上的三点，BE切O于点B， D是与O的交点.若，则_；若，则 .典题探究例1：答案： 1，2解析：已知，由圆幂定理得，所以，可以求出，而，取的中点E，连接OC和OE，则半径. 例2：答案：1 解析：三角形C

6、EF与三角形CBE相似，对应边成比例，所以，即，所以，而，所以，所以.例3：答案： 解析：延长PO与圆O分别交于点D和点E，则，由圆幂定理得，所以，过A点作交OP于点F，则，所以.例4：答案：解析：由圆幂定理得，所以，设AO与PC交于点D，延长AO交圆于E，则，所以，所以，.演练方阵A档（巩固专练）1：答案： 解析：由圆幂定理得，所以，所以，所以2：答案： 解析: 由圆幂定理得，所以，所以3：答案：D 解析: 由圆幂定理得，所以，所以D选项错误4：答案：半径 解析: .所以，由三角形相似得，所以，所以，由圆幂定理得，所以，所以5：答案： 解析：连接CD，AC是圆的直径，所以，BC经过半径OC的

7、端点C，而且，所以是圆的切线，而DE是圆O的切线，所以EC=ED，所以，所以6：答案：D 解析：因为四边形BDEC是圆的内接四边形，所以，因为，所以，A正确；直线AM与圆相切，由弦切角定理得，而，所以，所以B正确；由圆幂定理得 ，所以选项C正确7：答案：解析：设，则根据圆幂定理得，而，所以，所以，所以，而，所以（8：答案： 解析：由圆幂定理得，所以，所以，所以半径，所以正切值，所以三角形OBC的面积 9：答案： 解析：由圆幂定理得，所以，所以，而10：答案：B解析:因为ABCD四点共圆，所以，而，所以，又因为BE与圆相切于点B，所以，所以选项B是正确的。B档（提升精练）1：答案： 解析：延长C

8、D交圆于点E，由相交弦定理得，所以，求出，因为CD是小于4的，所以2：答案： 解析: 由相交弦定理得，所以，所以，所以，而，所以，所以3：答案： 解析：设半径为R，连接OC，则由圆幂定理得，已知，而且，所以，所以，而，所以，4：答案： 解析: 由圆幂定理得，而AC=3，AB=2，所以OC=2，连接，则，在中，所以，而在三角形BOD中，已知OB=OD，所以有， 5：答案： 解析：延长BO交圆于点D，连接DN，则，而，由圆幂定理可得 ，所以，所以6：答案：B 解析：由圆幂定理可得，所以，连接OA，所以三角形OPA是直角三角形，B是OP中点，所以，7：答案： 解析：由圆幂定理可得，所以， ，所以 ，

9、所 ， 8答案：解析：设圆心是O，半径为R，连接OE与AE，所以，所以，又因为，所以是等边三角形，所以 ，所以 ，由圆幂定理得 ，所以9答案： 解析：由圆幂定理得，而，所以，所以，所以， 10答案：解析：由圆幂定理得，所以，所以，又因为，所以，所以 C档（跨越导练）1：答案： 解析：依题意根据圆幂定理得，所以， ， ， ，所以 ，在三角形ADE中， ，所以三角形APE是等边三角形，所以 ， ，而弦AC与BD相交于点E，所以 ，所以2：答案： 解析: 由相交弦定理，所以，所以,连接OD，则有，所以，然后连接BD，则，由正弦定理得，所以，是锐角，所以3：答案：解析：已知，根据圆幂定理得，因为，所以，所以，所以，所以，又因为，所以 4.答案：解析：连接，在中，所以，过点B和点C的切线交于点P，所以，所以，在中，所以，由圆幂定理得，所以5：答案：解析：连结，AB是圆O的直径，则，所以，所以，所以半径，在中，6：答案：解析：已知圆O的半径，而圆心O到弦AC的距离等于，所以，又因为，是圆O的切线，所以，所以7：答案：，解析：点A到BC上的射影E是OC的中点，所以，又因为，所以，在中，因为，所以，所以8：答案：半径解析：已知PA与圆相切，而PBC是圆的割线，所