2020版江苏高考数学一轮复习学案：第48课《双曲线的标准方程和几何性质》(含解析) .doc

1、第48课双曲线的标准方程和几何性质1. 了解双曲线的定义和几何图形.2. 了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题.3. 了解双曲线的简单几何性质.1. 阅读：选修11第3741页(理科阅读选修21相应内容).2. 解悟：双曲线的几何性质(对称性、取值范围、顶点、渐近线、离心率)；双曲线的离心率是反映了双曲线形状的一个重要量，它与之间满足一个什么关系？求离心率关键要寻找何种等式？3. 践习：在教材空白处，完成选修11第39页练习第3题，第45页习题第1，6题(理科完成选修21相应任务).基础诊断1. 已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双

2、曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为1.解析：由题意得双曲线的半焦距为c，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为，可得a2，b，所以双曲线方程为1.2. 若双曲线x2my21的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为y2x.解析：双曲线x2my21中a1，b.因为双曲线x2my21的虚轴长是实轴长的2倍，所以24，所以m，所以双曲线方程为x21，所以双曲线的渐近线方程为y2x.3. 若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为.解析：因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于2a，即点F(c，0)到直线bxay0的距离等于2a，即2a，即b2a，所以e21

3、5，即双曲线的离心率为e.4. 经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为1.解析：当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为1(a0)，将点A(3，1)代入方程得1，得a28，所以双曲线的标准方程为1；当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为1(b0)，将点A(3，1)代入方程得1，得b28(舍).综上，该双曲线的方程为1.范例导航考向 求双曲线的标准方程例1(1) 双曲线过P，Q两点，求双曲线的标准方程；(2) 与双曲线1有共同渐近线，且过点A(3，4)，求双曲线的标准方程.解析：(1) 设双曲线方程为1(mn0，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交

4、于点B，若2，求双曲线的离心率.解析：如图.因为2，所以A为线段BF的中点， 所以23.因为12，所以260， 所以tan60，所以e214，所以e2. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为.解析：双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，与抛物线C2：x22py联立，可得x0或x，取A.设抛物线C2的焦点为P，则kAP.因为OAB的垂心为C2的焦点，所以1，化简得5a24b2，所以5a24(c2a2)，所以e.考向 双曲线性质的简单应用例3已知双曲线的中心在原点，焦点

5、F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，).(1) 求双曲线的标准方程；(2) 若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3) 在(2)的条件下，求F1MF2的面积.解析：(1) 因为e，所以，所以c22a2.又c2a2b2，所以a2b22a2，所以ab，所以设双曲线方程为x2y2k(k0).因为双曲线经过点(4，)，所以k16106，故所求双曲线方程为1.(2) 由(1)知，双曲线的焦点坐标为F1(2，0)，F2(2，0).因为点M(3，m)在双曲线上，所以m23.又(23，m)(23，m)m230， 所以，所以点M在以F1F2为直径的圆上.(3) 由(2)知，F

6、1F24，m23，所以|m|，SF1MF2F1F2|m|46.自测反馈1. 已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为1.解析：由题意得，c5，所以a4，b3，所以双曲线C的方程为1.2. 已知双曲线1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1PF232，则F1PF290.解析：由1得c225.因为PF1PF22a6，PF1PF232，所以PFPF(PF1PF2)22PF1PF23664100.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF20.又因为0F1PF20，b0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足0，则双曲线的离心率为.解析：由题意得F(c，0)，A(a，0)，则(c，b)(a，b)0，即b2ac，c2a2ac0，所以e2e10，解得e(负值舍去).4. 若椭圆1(ab0)的离心率为，则双曲线1的离心率为.解析：由题意，对于椭圆有a2b2c，e，则c1a，把c1a代入a2b2c，得b2a2.在双曲线1中，a2b