浙江省普通高中课程数学必修一.对数与对数运算

1、对数与对数运算 1,2x=4有解:x=2,2x=9也有解，但表示不出来,它们都是已知底数和幂求指数问题,问题2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍？,假设经过x年国民生产总值是2002年时的2倍，根据题意有：,a(1+8%)x=2a,即1.08x=2,这也是已知底数和幂的值，求指数的问题,也就是我们这节将要学习的对数问题,一般地,如果a(a0且a1)的b次幂等于N, 即 ab=N. 那么数b叫做以a为底N的对数. 记作: loga N=b,其中 a叫做对数的底数,N叫做真数,新课讲解,1.定义,含义是”等价于”,指数式与

2、对数式的对比,底数,指数,底数,对数,幂值,真数,对定义的几点说明:,1.为什么规定a0且a 1?,当a0时,则当N为某些值时,b不存在.如(-2)x=8无解, log(-2)8不存在,当a=0时,则 N0时,loga N不存在, N=0时, loga 0有无数个值,不能确定,当a=1时,则 N1时,b不存在(log1 2不存在), N=1时,b为任意数,不能确定,2.零和负数没有对数.,这是因为a0,ab=N0,4.对数的三个重要性质:,1. loga 1=0,(a0=1),2. loga a=1,(a1=a),3. alogaN = N,(设loga N=x,则ax=N,alogaN =

3、N),对数恒等式,例1.将下列指数式写成对数式,（1）54=625（2） （3）3a=27,解（1）log5625=4,解（1）,（2）27=128,（3）a-2=0.01,（2）,（3）log327 =a,2对数式与指数式的互换,ab=N loga N=b,3介绍两种特殊的对数：,1.常用对数:对数logaN (a0且a1)在底数a=10时,叫做常用对数. 记作lgN. 例如: log103 简记作 lg3.,2.自然对数:对数logaN (a0且a1)在底数 a=e (e是一个无理数,e2.71828)时,叫做自然对数. 记作lnN. 例如loge10 简记作 ln10.,(设lg10=x

4、 则10 x=10, x=1.lg10=1),注:几个常见对数,(1) lg10=1,(2) lg2=0.3010,(3) lne=1,例3.求下列各式的值:,解:,(1)设log416=x 则4x=16,(2)设log24=x 则2x=4, x=2.log24=2,(3),x=2.log416=2,例题分析,点评：解对数方程要验根,5.求下列各式中的x,6.计算下列各式,例7.（1）已知loga2=m，loga3=n，求a 2m+n的值,（2）,解：（1）loga2=m， loga3=n,am=2，an=3,a 2m+n=（am）2an =223 =12,（2）,思考;,知识探究,思考2:将

5、log232log24十log28推广到一般情形有什么结论？,思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？,思考3:如果a0，且a1，M0，N0，你能证明等式loga（MN）logaM十logaN成立吗？,证明： 设,由对数的定义可以得：,MN=,即证得,对数的运算性质,证明:,4.对数的运算性质,如果 a 0，且a 1，M 0， N 0 有：,说明:,2) 有时可逆向运用公式,3)真数的取值必须是(0,),4)注意,1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”;注意M,N0,证明： 设,由对数的定义可以得：,即证得,证明:,注:,证明：设,由对数的定义可以得：,即证得,证明:,例题分析,例6,解（1）,解（