专题二、分式不等式的解法

1、最新 料推荐（一）分式不等式：型如： f (x)0或 f ( x)0f ( x)、 （ x）（ x） 0）的不等式称为分式不等式。（其中为整式且( x)( x)（2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：（ 1）（ 2）f ( x)0f (x) (x)0( x)f ( x)0f ( x)( x)0( x)( x)0（ 3）（ 4）f (x)0f ( x)(x)0(x)f (x)0f ( x)( x)0(x)(x) 0（ 3）小结分式不等式的解法步骤：（ 1）移项通分，不等式右侧化为“ 0”，左侧为一分式（ 2）转化为等价的整式不等式（ 3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为

2、正）（ 1）分式不等式的解法：解关于 x 的不等式x103x2方法一：等价转化为：方法二：等价转化为：x10x103x2或2(x 1)(3x 2) 003x0变式一： x103x2等价转化为：(x1)(3x2)03x20比较不等式x10 及x10 的解集。（不等式的变形，强调等价转化，分母不为零）3x23x21最新 料推荐练一练：解关于 x的不等式(1) 1x0(2)23x535x例1、解关于 x 的不等式： x22解： x2x32 0x3x22( x3)0x3即，x80x3x80 （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正）x3等价变形为：(x8)( x3) 0x30原不等式的解集为8,3例

3、 2、解关于 x 不等式x 822 x3x 2方法一： x 22x3恒大于 0，利用不等式的基本性质方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。例3、a1解关于 x 的不等式：ax解：移项01x通分a x0 即， xa0xx等价转化为，x( x a)0x 0当 a0 时，原不等式的解集为 (0,a当 a0 时，原不等式的解集为 a,0)当 a=0 时，原不等式的解集为2最新 料推荐 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法例 1 解不等式 ( x 4)( x 1) 0 .分析一：利用前节的方法求解；分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立， 则左边两个

4、因式必须异号，原不等式的解集是下面两个不等式组：x10 与 x10 的解集x40x40x10x10书写时可的并集，即x|4 x |4= x|-4x1=x|-4x1.x0x0按下列格式：解二： (x-1)(x+4)0x10 或 x10x40x40x或 -4x1 -4x1，原不等式的解集是 x|-4x1.小结：一元二次不等式 ax 2bxc 0 ( 或 ax2bxc0 ) ( a0 ) 的代数解法：设一元二次不等式 ax2 bxc 0 ( a 0 ) 相应的方程 ax2bxc0(a 0 )的两根为 x1、 x2 且 x1x2 ，则 ax2bxc0a( xx )( xx2)0；1若 a 0 ,则得

5、x x10, 或 x x10,x x1 , 或 x x1 ,x x20,x x20.x x2 ,x x2 .当 x1 x2 时，得 x x1 或 xx2 ；当 x1x2 时，得 xR , 且 xx1 .若 a 0 ,则得 x x10, 或 x x10,x x1, 或 x x1 ,x x20,x x20.x x2 ,x x2 .当 x1 x2 时，得 x1 xx2 ；当 x1x2 时，得 x.分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系， 因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集 .解：求根：令 (x-1)(x+4)=0 ，解得 x（从小到大排列）分别为 -4，1，这两根将

6、x 轴分为三部分：（- ，-4）（-4， 1）（1， + ）；分析这三部分中原不等式左边各因式的符号（ -，-4）（-4， 1）（ 1， +）3最新 料推荐x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4x0 ；解： 各因式中 x 的符号均正；求得相 方程的根 ： -2，1，3；列表如下：-213x+2-+x-1-+x-3-+各因式 -+-+由上表可知，原不等式的解集 ：x|-2x3.小 ：此法叫列表法，解 步 是：将不等式化 (x-x 1)(x-x 2) (x-x n)0(0.x|-1x0 或 2x3.思考：由函数、方程、不等式的关系，能否作出函数 像求解例

7、 2 图练习图直接写出解集： x|-2x3.x|-1x0 或 2x0(0”, 找“ ”在 x 上方的区 ；若不等式是“ 0”, 找“ ”在 x 下方的区 .注意：奇穿偶不穿例 3 解不等式： (x-2) 2 (x-3)3(x+1)0.解： 各因式中x 的符号均正；求得相 方程的根 ： -1，2，3（注意： 2 是二重根， 3 是三重根）；在数 上表示各根并穿 ， 每个根穿一次 （自右上方开始），如下 ：原不等式的解集 ：x|-1x2 或 2x3. 明：3 是三重根，在 C 穿三次， 2 是二重根，在 B 穿两次， 果相当于没穿 .由此看出，当左 f(x) 有相同因式 (x-x 1 )n ， n

8、 奇数 ，曲 在 x1 点 穿 数 ； n 偶数 ，曲 在 x1 点 不穿 数 ，不妨 “奇穿偶不穿” .练习 ：解不等式： (x-3)(x+1)(x 2+4x+4)0.解：将原不等式化 ： (x-3)(x+1)(x+2) 2 0；求得相 方程的根 ： -2（二重），-1，3；在数 上表示各根并穿 ，如 ：原不等式的解集是x|-1x3 或 x=-2. 明：注意不等式若 “ =”号，点画 心，解集 界 有等号；另外， 不穿 -2 点，但 x=-2 足“ =”的条件，不能漏掉 .2分式不等式的解法例 4 解不等式： x30 .x75最新 料推荐错解：去分母得 x30原不等式的解集是x | x3 .

9、解法 1：化为两个不等式组来解： x30x30或 x30x或 7 x 37 x3，x7x70x70原不等式的解集是x |7x 3 .解法 2：化为二次不等式来解： x30( x3)( x7)07 x 3 ，x70x7原不等式的解集是x |7x3说明：若本题带“ =”，即 (x-3)(x+7)0，则不等式解集中应注意x-7 的条件，解集应是 x| -7x3.小结：由不等式的性质易知：不等式两边同乘以正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以负数，不等号方向要变；分母中有未知数 x，不等式两边同乘以一个含 x 的式子，它的正负不知，不等号方向无法确定，无从解起，若讨论分母的正负，再解也可以，但太复杂

10、.因此，解分式不等式，切忌去分母 .f ( x )解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为 g( x ) 的形式 .例 5 解不等式： x23x20 .x22x3解法 1：化为不等式组来解较繁 .解法 2：x23x 2( x 23x 2)( x 22x 3) 0x22x 3x22x 3 00(x 1)(x2)( x3)( x1)0 ，(x 3)( x 1)0原不等式的解集为 x| -1x1 或 2 x3.练习：1.课本 P21 练习： ；解不等式 x32 .32.5x答案：1.x|-5x8 ； x|x-1/2 ；2.x|-13x-5.6最新 料推荐练习：解不等式：2 4x1（答：x|x 0或1

11、x2）x23xx .22x23x10 的解集是2.3x11. 不等式7 x2不等式1的解集是3x23x3. 不等式 2x23x71的解集是4.不等式 x1x1 的解集是x2x2x1x15. 不等式 29x x21 的解集是6.不等式 x23x20 的解集是5x2x27 x127. 不等式 x2x1的解集是8.不等式 2x11的解集是2x1x29. 不等式 2x32 的解集是10.不等式x212 的解集是3x4( x21)(x1)11. 不等式x2x0 的解集是12.不等式 x2x1的解集是x2x62x113. 不等式3xx2 的解集是14.不等式11的解集是x2x 13)2( x15. 不等式 (2 x3)(3 x4)0 的解集是16.不等式 x31 的解集是(x2)(2 x1)x21