2018秋天津南开区九年级数学期中考试卷(答案)上册

1、2018-2019学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1（3分）方程x2x0的解为（）Ax1x21Bx1x20Cx10，x21Dx11，x212（3分）下列图形中，ABC与ABC成中心对称的是（）ABCD3（3分）用配方法解方程3x26x+10，则方程可变形为（）A（x3）2B3（x1）2C（3x1）21D（x1）24（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为直线x2的是（）Ay（x+2）23By2x22Cy2x22Dy2（x2）25（3分）如图，AOB90，B30，AOB可以看作是由AOB绕点O顺时针旋转角度得到的若点A在AB上，则旋转角的大小可以是（）A

2、30B45C60D906（3分）下随有关圆的一些结论：任意三点确定一个圆；相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，圆内接四边形对角互补其中错误的结论有（）A1个B2个C3个D4个7（3分）函数yax2+ax+a（a0）的图象可能是下列图象中的（）ABCD8（3分）如图，四边形ABCD内接于O，连接OB、OD，若BODBCD，则A的度数为（）A60B70C120D1409（3分）已知函数yax22ax1（a是常数，a0），下列结论正确的是（）A当a1时，函数图象经过点（1，1）B当a2时，函数图象与x轴没有交点C若a0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D若a0，则当x1

3、时，y随x的增大而增大10（3分）如图，AB是圆O的弦，AB20，点C是圆O上的一个动点，且ACB45，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是（）A10B5C10D2011（3分）如图，O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示的位置，第2秒中P点位于点C的位置，则第2018秒点P所在位置的坐标为（）A（，）B（0，1）C（0，1）D（，）12（3分）如图，抛物线yax2+bx+3（a0）的对称轴为直线x1，如果关于x的方程ax2+bx80（a0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A4B2C1D3二、填空题（每小题3分，共

4、18分）13（3分）已知圆的直径是13cm，圆心到某条直线的距离是6cm，那么这条直线与该圆的位置关系是 14（3分）已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是 15（3分）已知点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90得OA1，则点A1的坐标为 16（3分）如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度a10m），设AB的长为xm，所围的花圃面积为ym2，则当x 时，y的值最大17（3分）在平面直角坐标系中，P的圆心是（2，a）（a2），半径为2，函数yx的图象被P截得

5、的弦AB的长为，则a的值是 18（3分）如图，在直角三角形ABC中，ACB90，CA4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形APCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 三、解答题19（8分）已知，关于x的方程（m1）x2（m2）xm0（1）当m取何值时方程有一个实数根？（2）当m取何值时方程有两个实数根？（3）请你在（2）的条件下，取m的一个适当数值代入方程，并求出方程的解20（8分）已知，二次函数yax2+bx+c（a0）中的x，y满足下表x10123y0343m（1）求该二次函数的解析式；（2）m的值为 ；（3）若A（p，y1）、B（p+1

6、，y2）两点都在该函数的图象上，且p0，试比较y1与y2的大小21（10分）数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面的问题：已知：平面内一点A，求作：A，使得A30小明同学的作法如下：如图作射线AB；在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB交于点C；以C为圆心，OC为半径作弧，与O交于点D，作射线AD，DAB即为所求作的角老师说小明的作法是正确的（1）请你按照小明提示的作法完成作图；（2）请你对小明的作图方法的正确性进行证明22（10分）如图，ABAC8，BAC90，直线l与以AB为直径的O相切于点B，点D是直线l上任意一动点，连结DA交O点E（1）当点D在AB上方且BD6时

7、，求AE的长；（2）当CE恰好与O相切时，求BD的长为多少？23（10分）我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件设每件童装降价x元（x0）时，平均每天可盈利y元（1）写出y与x的函数关系式；（2）当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？（3）该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由24（10分）探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知ABAD，BAD90，点E、F分别在BC、CD上，EAF45（

8、1）如图1，若B、ADC都是直角，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；如图2，若B、D都不是直角，则当B与D满足 关系时，线段BE、DF和EF之间依然有中的结论存在，请你写出该结论的证明过程；（2）拓展：如图3，在ABC中，BAC90，ABAC2，点D、E均在边BC上，且DAE45，若BD1，求DE的长25（10分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；

9、若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由2018-2019学年天津市南开区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分）1（3分）方程x2x0的解为（）Ax1x21Bx1x20Cx10，x21Dx11，x21【分析】通过提取公因式x对等式的左边进行因式分解，然后解两个一元一次方程即可【解答】解：x2x0，x（x1）0，x0或x10，x10，x21，故选：C【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键2（3分）下列图形中，A

10、BC与ABC成中心对称的是（）ABCD【分析】根据中心对称，轴对称，平移变换的性质对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是旋转变换图形，故本选项错误；D、是旋转变换图形，故本选项错误故选：A【点评】本题考查中心对称的性质，关键是根据中心对称，轴对称，平移变换的性质解答3（3分）用配方法解方程3x26x+10，则方程可变形为（）A（x3）2B3（x1）2C（3x1）21D（x1）2【分析】本题考查分配方法解一元二次方程配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半

11、的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数【解答】解：原方程为3x26x+10，二次项系数化为1，得x22x，即x22x+11，所以（x1）2故选D【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用4（3分）在下列二次函数中，其图象对称轴为直线x2的是（）Ay（x+2）23By2x22Cy2x22Dy2（x2）2【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项【解答】解：A、y（x+2）23的对称轴为x2，所以选项A错误；B、y2x22的对称轴为x0，所以选项B错误；C、y2x22的对称轴为x0，所以选项C错误；D

12、、y2（x2）2对称轴为x2，所以选项D正确；故选：D【点评】本题考查了二次函数的对称轴，形如ya（xh）2+k的顶点为（h，k），对称轴是直线xh；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x求出对称轴5（3分）如图，AOB90，B30，AOB可以看作是由AOB绕点O顺时针旋转角度得到的若点A在AB上，则旋转角的大小可以是（）A30B45C60D90【分析】根据旋转的性质：旋转变化前后，图形的大小、形状都不改变，进行分析【解答】解：AOB90，B30，A60AOB可以看作是由AOB绕点O顺时针旋转角度得到的，OAOAOAA是等边三角形AOA60，即旋转角的大小可以是60故选：C【点评

13、】本题考查图形旋转的性质及等边三角形的知识难度中等6（3分）下随有关圆的一些结论：任意三点确定一个圆；相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，圆内接四边形对角互补其中错误的结论有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可；【解答】解：任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；圆内接四边形对角互补；正确；故选：C【点评】本题考查确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理、圆

14、内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型7（3分）函数yax2+ax+a（a0）的图象可能是下列图象中的（）ABCD【分析】根据函数yax2+ax+a（a0），对a的正负进行分类讨论，排除有错误的选项，即可得出正确选项【解答】解：在函数yax2+ax+a（a0）中，当a0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；故选：C【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题8（3分）如图，四边形ABCD内接于

15、O，连接OB、OD，若BODBCD，则A的度数为（）A60B70C120D140【分析】根据圆周角定理得到，ABOD，根据圆内接四边形的性质得到A+BCD180，计算即可【解答】解：由圆周角定理得，ABOD，由圆内接四边形的性质得，A+BCD180，3A180，解得，A60，故选：A【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键9（3分）已知函数yax22ax1（a是常数，a0），下列结论正确的是（）A当a1时，函数图象经过点（1，1）B当a2时，函数图象与x轴没有交点C若a0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D若a0，则当x1时，y随x的增大而增大【分析】A、将

16、a1代入原函数解析式，令x1求出y值，由此得出A选项不符合题意；B、将a2代入原函数解析式，令y0，根据根的判别式80，可得出当a2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；C、利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；D、利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意此题得解【解答】解：A、当a1时，函数解析式为yx22x1，当x1时，y1+212，当a1时，函数图象经过点（1，2），A选项不符合题意；B、当a2时，函数解析式为y2x2+4x1，令y2x2+4x10，则424（2）（1

17、）80，当a2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，B选项不符合题意；C、yax22ax1a（x1）21a，二次函数图象的顶点坐标为（1，1a），当1a0时，有a1，C选项不符合题意；D、yax22ax1a（x1）21a，二次函数图象的对称轴为x1若a0，则当x1时，y随x的增大而增大，D选项符合题意故选：D【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键10（3分）如图，AB是圆O的弦，AB20，点C是圆O上的一个动点，且ACB45，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是（）A10B5C

18、10D20【分析】连接OA、OB，如图，根据圆周角定理得到AOB2ACB90，则OAAB20，再根据三角形中位线性质得到MNAC，然后利用AC为直径时，AC的值最大可确定MN的最大值【解答】解：连接OA、OB，如图，AOB2ACB24590，OAB为等腰直角三角形，OAAB2020，点M、N分别是AB、BC的中点，MNAC，当AC为直径时，AC的值最大，MN的最大值为20故选：D【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了三角形中位线性质11（3分）如图，O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45圆心角的速度逆时针匀速运动，

19、即第1秒点P位于如图所示的位置，第2秒中P点位于点C的位置，则第2018秒点P所在位置的坐标为（）A（，）B（0，1）C（0，1）D（，）【分析】作PEOA于E，根据等腰直角三角形的性质得到点P的坐标为（，），根据题意分别求出第3秒、第4秒、第5秒、第6秒、第7秒、第8秒点P的坐标，根据规律解答【解答】解：作PEOA于E，OP1，POE45，OEPE，即点P的坐标为（，），则第2秒P点为（0，1），根据题意可知，第3秒P点为（，），第4秒P点为（1，0），第5秒P点为（，），第6秒P点为（0，1），第7秒P点为（，），第8秒P点为（1，0），201882522，第2018秒点P所在位置的坐标为

20、（0，1），故选：B【点评】本题考查的是考查的是点的坐标规律，圆心角、弧、弦的关系定理，正确找出各个时间点的坐标规律是解题的关键12（3分）如图，抛物线yax2+bx+3（a0）的对称轴为直线x1，如果关于x的方程ax2+bx80（a0）的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）A4B2C1D3【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点可得答案【解答】解关于x的方程ax2+bx80，有一个根为4，抛物线与x轴的一个交点为（4，0），抛物线的对称轴为x1，抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），方程的另一个根为x2故选：B【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键数熟练掌

21、握二次函数的对称性二、填空题（每小题3分，共18分）13（3分）已知圆的直径是13cm，圆心到某条直线的距离是6cm，那么这条直线与该圆的位置关系是相交【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较若dr，则直线与圆相交；若dr，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离【解答】解：圆的直径为13 cm，圆的半径为6.5 cm，圆心到直线的距离6cm，圆的半径圆心到直线的距离，直线与圆相交，故答案为：相交【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定14（3分）已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限

22、，则a的取值范围是a1【分析】首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号（，+），可得到不等式a+10，然后解出a的范围即可【解答】解：P（a+1，1）关于原点对称的点在第四象限，P点在第二象限，a+10，解得：a1，故答案为：a1【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，以及各象限内点的坐标符号，关键是判断出P点所在象限15（3分）已知点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90得OA1，则点A1的坐标为（b，a）【分析】画出草图分析不妨设A在第一象限，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90得OA1，如图所示根据旋转的性质，A

23、1B1AB，OB1OB综合A1所在象限确定其坐标，其它象限解法完全相同【解答】解：不妨设A在第一象限，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90得OA1，如图所示A（a，b），OBa，ABb，A1B1ABb，OB1OBa，因为A1在第二象限，所以A1（b，a），A在其它象限结论也成立【点评】不失一般性，可设点A在某一象限，以点带面求解16（3分）如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度a10m），设AB的长为xm，所围的花圃面积为ym2，则当x时，y的值最大【分析】设AB长为x米，则BC长为：（243x）米，该花圃的面积为：（243x）

24、x；进而得出函数关系即可；根据x的取值范围，判断出最大面积时x的取值，代入解析式便可得到最大面积【解答】解：由题意得：yx（243x），即y3x2+24x，x0，且10243x0x8；故y与x的函数关系为y3x2+24x，（x8）；y3x2+24x3（x4）2+48（x8）；开口向下，对称轴为4，当x时，花圃有最大面积，答：当x为时，面积最大，故答案为：【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解答本类题目的关键17（3分）在平面直角坐标系中，P的圆心是（2，a）（a2），半径为2，函数yx的图象被P截得的弦AB的长为，则a的值是【分析】过P点作PEAB于E，过P点作PCx轴于

25、C，交AB于D，连接PA分别求出PD、DC，相加即可【解答】解：过P点作PEAB于E，过P点作PCx轴于C，交AB于D，连接PAAB2，AE，PA2，PE1点D在直线yx上，AOC45，DCO90，ODC45，PDEODC45，DPEPDE45，DEPE1，PDP的圆心是（2，a），点D的横坐标为2，OC2，DCOC2，aPD+DC2故答案为：2【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键注意函数yx与x轴的夹角是4518（3分）如图，在直角三角形ABC中，ACB90，CA4，点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段即把图形A

26、PCB（指半圆和三角形ABC组成的图形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是4【分析】连接OP、OB，把两部分的面积均可转化为规则图形的面积，不难发现两部分面积之差的绝对值即为三角形BOP的面积的2倍【解答】解：连接OP、OB，图形BAP的面积AOB的面积+BOP的面积+扇形OAP的面积，图形BCP的面积BOC的面积+扇形OCP的面积BOP的面积，又点P是半圆弧AC的中点，OAOC，扇形OAP的面积扇形OCP的面积，AOB的面积BOC的面积，两部分面积之差的绝对值是2SBOPOPOC4【点评】此题要能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积注意根据已知条件发现面积相等的图形三、解答题19（

27、8分）已知，关于x的方程（m1）x2（m2）xm0（1）当m取何值时方程有一个实数根？（2）当m取何值时方程有两个实数根？（3）请你在（2）的条件下，取m的一个适当数值代入方程，并求出方程的解【分析】（1）m10即m1时，方程是一元一次方程，据此可得；（2）由m10即m1时，该方程为一元二次方程，利用判别式求解可得；（3）把m0代入方程，解方程即可得到结论【解答】解：（1）当m10，即m1时，该方程为一元一次方程，方程有一个实数根：x；（2）当m10，即m1时，该方程为一元二次方程；当（m2）24（m1）m0时，方程有两个实数根解得：m，且m1，当m，且m1时方程有两个实数根；（3）当m0时，

28、方程可化为x2+2x0，解得：x10，x22【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的定义和解法20（8分）已知，二次函数yax2+bx+c（a0）中的x，y满足下表x10123y0343m（1）求该二次函数的解析式；（2）m的值为0；（3）若A（p，y1）、B（p+1，y2）两点都在该函数的图象上，且p0，试比较y1与y2的大小【分析】（1）从表格中选取3组解利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）观察表格知x1是二次函数的对称轴，x3关于x1对称，可得m0；（3）根据函数的增减性来判断较y1与y2的大小【解答】解：（1）把点（1，0），（2，3），（0，3）分别代入ya

29、x2+bx+c中，得，解得，这个二次函数的关系式为：yx22x3；（2）由已知表格可得函数的对称轴为x1，m0故答案是：0；（3）p0，pp+11，对称轴为x1，A、B两点位于对称轴的左侧，又因为抛物开口向上，y1y2，故答案为0，y1y2【点评】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，此题从表格中找函数的对称轴，从而来运用函数的增减性来解题21（10分）数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面的问题：已知：平面内一点A，求作：A，使得A30小明同学的作法如下：如图作射线AB；在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB交于点C；以C为圆心，O

30、C为半径作弧，与O交于点D，作射线AD，DAB即为所求作的角老师说小明的作法是正确的（1）请你按照小明提示的作法完成作图；（2）请你对小明的作图方法的正确性进行证明【分析】先根据作图得出OBOCCD，即OCD为等边三角形，据此可得COD60，再根据圆周角定理知DACCOD30，从而得出答案【解答】解：（1）如图，A即为所求（2）连接OD、OC，由作图知，OBOCCD，OCD为等边三角形，则COD60，DACCOD30【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和圆周角定理22（10分）如图，ABAC8，BAC90，直线l与以AB为直径的O相切于点B，点D是直线l上任意

31、一动点，连结DA交O点E（1）当点D在AB上方且BD6时，求AE的长；（2）当CE恰好与O相切时，求BD的长为多少？【分析】（1）利用圆周角定理得AEB90，利用切线的性质得ABD90，则利用勾股定理可计算出AD10，再利用面积法计算出BE，然后利用勾股定理可计算出AE的长；（2）连接OC，如图，利用切线长定理得到CACE，则快乐判断OC垂直平分AE，根据等角的余角相等得到23，则可判断ABDCAO，从而得到BDAO4【解答】解：（1）AB为直径，AEB90，BD为切线，ABBD，ABD90，在RtABD中，AD10，BEADABBD，BE，在RtABE中，AE；（2）连接OC，如图，BAC9

32、0，CA为O的切线，CE为O的切线，CACE，而OAOE，OC垂直平分AE，1+390，而1+290，23，而ABCA，CAOABD，ABDCAO，BDAO4【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了勾股定理和圆周角定理23（10分）我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件设每件童装降价x元（x0）时，平均每天可盈利y元（1）写出y与x的函数关

33、系式；（2）当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？（3）该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由【分析】（1）根据总利润每件利润销售数量，可得y与x的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系列方程，解方程即可求解；（3）根据（1）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得【解答】解：（1）根据题意得，y与x的函数关系式为y（20+2x）（6040x）2x2+20x+400；（2）当y400时，4002x2+20x+400，解得x110，x20（不合题意舍去）故当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元；（3）该专卖店不可能平均每天盈利600元当y600时，

34、6002x2+20x+400，整理得x210x+1000，（10）2411003000，方程没有实数根，即该专卖店不可能平均每天盈利600元【点评】本题主要考查二次函数的应用、一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键24（10分）探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知ABAD，BAD90，点E、F分别在BC、CD上，EAF45（1）如图1，若B、ADC都是直角，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；如图2，若B、D都不是直角，则当B与D满足B+D180关系时，线段BE、DF和EF之间依然有中的结论

35、存在，请你写出该结论的证明过程；（2）拓展：如图3，在ABC中，BAC90，ABAC2，点D、E均在边BC上，且DAE45，若BD1，求DE的长【分析】（1）根据旋转的性质得出AEAG，BAEDAG，BEDG，求出EAFGAF45，根据SAS推出EAFGAF，根据全等三角形的性质得出EFGF，即可求出答案；根据旋转的性质作辅助线，得出AEAG，BADG，BAEDAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出EAFGAF，根据全等三角形的性质得出EFGF，即可求出答案；（2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出ABCC45，BC4，根据旋转的性质得出AFAE，FBAC

36、45，BAFCAE，求出FADDAE45，证FADEAD，根据全等得出DFDE，设DEx，则DFx，BFCE3x，根据勾股定理得出方程，求出x即可【解答】解：（1）如图1，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，使AB与AD重合，AEAG，BAEDAG，BEDG，BADG90，ADC90，ADC+ADG90F、D、G共线，BAD90，EAF45，BAE+DAF45，DAG+DAF45，即EAFGAF45，在EAF和GAF中，EAFGAF（SAS），EFGF，BEDG，EFGFDF+DGBE+DF；解：B+D180，理由是：如图2，把ABE绕A点旋转到ADG，使AB和AD重合，则AEAG，BADG

37、，BAEDAG，B+ADC180，ADC+ADG180，C、D、G在一条直线上，与同理得，EAFGAF45，在EAF和GAF中 EAFGAF（SAS），EFGF，BEDG，EFGFBE+DF；故答案为：B+D180；（2）解：ABC中，ABAC2，BAC90，ABCC45，由勾股定理得：BC4，如图3，把AEC绕A点旋转到AFB，使AB和AC重合，连接DF则AFAE，FBAC45，BAFCAE，DAE45，FADFAB+BADCAE+BADBACDAE904545，FADDAE45，在FAD和EAD中 FADEAD（SAS），DFDE，设DEx，则DFx，BC4，BFCE41x3x，FBA45，ABC45