自适应滤波器的设计与实现

1自适应滤波器的设计与实现摘 要: 最小二乘(RLS)法是一种典型的有效的数据处理方法。它使各项实际观测值和计算值之间的差的平方乘以度量其精度的数值以后的和为最小。这就是著名的最小二乘法。递推最小二乘法(RLS)是最小二乘法的一类快速算法。本文基于 matlab 进行仿真，设计了 M 文件，研究不同输入和信噪比滤波器的性能。通过对比实验，分析收敛性和滤波效果，确定了滤波器正则化系数的选取。关键词: 自适应滤波器，最小二乘法，matlab 仿真1 引言自适应滤波器属于现代滤波的范畴，它是 40 年代发展起来的自适应信号处理领域的一个重要应用，自适应信号处理主要是研究结构可变或可调整的系统，可以通过自身与外界的接触来改善自身对信号处理的性能，通常这类系统是时变的非线性系统，可以自动适应信号传输的环境和要求，无须详细的知道信号的结构和实际知识，无须精确设计处理系统本身。自适应系统的非线性特性主要是由系统对不同的信号环境实现自身参数的调整来确定的。自适应系统的时变特性主要是由其自适应响应或自适应学习过程来确定的，当自适应过程结束和系统不再进行时，有一类自适应系统可成为线性系统，并称为线性自适应系统，因为这类系统便于设计且易于数学处理，所以实际应用广泛。本文研究的自适应滤波器就是这类滤波器。自适应滤波器是相对固定滤波器而言的，固定滤波器属于经典滤波器，它滤波的频率是固定的，自适应滤波器的频率则是自动适应输入信号而变化的，所以其适用范围更广。在没有任何信号和噪声的先验知识的条件下，自适应滤波器利用前一时刻已获得的滤波器参数来自动调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知或随机变化的统计特性，从而实现最优滤波。近十几年来，自适应滤波理论和方法得到了迅速的发展，究其原因是因为自适应滤波器相比于其他一般的滤波器在滤波性能、设计实现的难易程度、对外部环境的复杂程度的适应能力和对系统先验统计知识的依赖程度等方面都显现出强大的优势。自适应滤波器具有很强的自学习、自跟踪能力和算法的简单易实现性，它在噪声量化信号的检测增强，噪声干扰的抵消，通信系统的自适应均衡，图象的自适应增强复原以及未知系统的自适应参数辩识等方面都有广泛的应用。本文仅讨论自适应滤波器在噪声干扰的抵消方面的原理、算法及仿真。自适应滤波器的设计与实现22 递归最小二乘法所谓的自适应滤波，就是利用前一时刻以获得的滤波器参数的结果，自动的调节现时刻的滤波器参数，以适应信号和噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。自适应滤波器实质上就是一种能调节其自身传输特性以达到最优的维纳滤波器。自适应滤波器不需要关于输入信号的先验知识，计算量小，特别适用于实时处理。2.1 递归最小二乘法原理递归最小二乘估计算法是以最小误差平方和为优化目标，它是在在最小二乘基础上推导出来的。用最小二乘法解决线性滤波问题，这种方法不需要对滤波器输入信号的统计特性进行假设。为了说明最小二乘法的基本思想，假定有一组实数 ，它们分别取自)(,.2)1(Nu时刻。要求构造一条曲线，这条曲线能够以某种最优方式拟合这些数据点。现用Nt,.21表示这条曲线与时间的函数关系。根据最小二乘法， “最优”拟合是使 与 ，)(if )(itfu之差的平方和的代价函数最小。,.误差函数定义为公式（1）)()()(iUnWidyieH式中， 为期望响应， 是抽头输入向量， 为抽头增益向量。)(ndiU递归最小二乘的代价函数定义如下：公式（2）)()(,)(21nWieni 要完成 RLS 算法就是要找到抽头向量，使得代价函数最小。RLS 算法引入了数加权遗忘因子 。该遗忘因子的引入，使 RLS 算法能够对非平稳信号进行跟踪。粗略的说， 的倒数可1以用来衡量算法的记忆能力；而 的特殊情况，则对应于无限记忆。本文后续实验部分默认1。1式中 是一个正实数，称为正则化参数。将这一项包含在代价函数中，一遍通过平滑作用来稳定递归最小二乘问题的解。将抽头输入向量 的 时间平均相关矩阵表示为)(iUM3公式（3）IiUnnHiin)()(1横向滤波器抽头输入与期望响应之间的 时间平均互相关向量 为M)(Z公式（4）)()(*1idUnZiin通过计算，得出递归最小二乘问题的正则方程可用矩阵形式写为公式（5）)()(nZW将对应于 的项与式（3）右边的求和项分开，可写出ni公式（6）)()()( 11 nUIiUn HnHnii 根据定义，式（6）右括号内的表达式等于相关矩阵 。于是，可使得用于更新抽头)1(n输入相关矩阵的递归公式公式（7）)()1()(nUnH自适应滤波器的设计与实现4其中 是相关矩阵的过去值，矩阵乘积 在更新过程中起着修正的作用。)1(n )(nUH式（7）的递归过程与初始条件无关。类似的，可用式（3）导出抽头输入与期望响应之间互相关向量的更新公式公式（8）)()1()*ndUnZ为了按式（3-31）计算抽头权向量的最小二乘估计，必须确定相关矩阵 的逆。然而在)(n实际中，我们通常尽量避免这样做，因为这种运算非常耗时，特别是当抽头数 很大时。为此，M我们先引入一个著名的结果矩阵求逆引理。设 和 是两个 正定矩，他们之间的关系为ABM公式（9）H-1-CDBA其中， 是 正定矩， 是 矩阵。根据矩阵求逆引理，可将 的矩阵表示为DMNNA公式（10）BC)D(B-AH1-1假定相关矩阵是非奇异的，因而它可逆。我们对式（5）所表示的递归方程应用矩阵求逆引理，首先做如下设定5公式（11）1D(n)CBA1-U然后将这些定义代入求逆引理，可得计算相关矩阵的递归方程如下公式（12）)(1)(1)()(211 nUnnH为了方便计算，令公式（13）)()(1nP和公式（14）)(11()(nUPnKH用上面的定义，可将式（12）改写为公式（15）)1()()1()( nPUKnPH自适应滤波器的设计与实现6矩阵 叫做逆相关矩阵， 向量 叫做增益向量。式（15）是 RLS 算法M)(nP1M)(nK的 Riccati 方程。整理式（14） ，可得公式（16）)(1)()(1)(1nUPnKUnPKH即：公式（17）)(1)()1()( nUPnKPnKH从式（15）可以看出，式（17）右边最后一行括号里的表达式等于 。因此，我们可将式)(n（17）简化为公式（18）)()(nUPK这一结论，连同 ，可以用来定义增益向量)()(1nP公式（19）)()(1nUnK换句话说，增益向量 可定义为经相关矩阵 逆矩阵变换的抽头输入向量 。)(n)(n)(nU7下面导出更新抽头权向量最小二乘估计 的递归公式。为此，用式（2） 、式（7）和式（12）)(nW来表示抽头权向量 n 次迭代的最小二乘估计公式（20）)()(1()()()( *1 ndUPnZnPZnW将式（20）右边第一项 中用式（15）代替，可得)(n公式（21）)()(1()()1( )(1ndUPnWUKnWndPZZ UPHH 最后，应用 等于增益向量 ，可使得更新抽头权向量的递归方程为)(nP)(n公式（22）)()1()()()1() nKnWnUdnKWnH 其中公式（23）)(1)(1()() nUWndnUdnHT 是一个先验误差。内积 表示基于 时刻抽头权向量最小二乘估计旧值得期望)(1nWH1响应 的估值。)(nd自适应滤波器的设计与实现82.2 RLS 算法小结算法初始化公式（24）IPW1)0(对每一时刻， 计算,.21n公式（25）)(1)()(nUPnKH公式（26）)(Wd公式（27）)()1nKn公式（28）1()(1 PUPnH3.RLS 自适应滤波器 M 文件的设计与仿真根据前面介绍的 LS 算法，用 MATLAB 设计 RLS 自适应滤波器。本文一共做了三个实验，下面进行仿真与分析。3.1 正弦波去噪实验原始信号为单一正弦波 ，加入方差为 0.8 的随机高斯噪声 ，滤波器输入信号为)(xrt )(tb，输出信号为 。)(tx)(ty运行结果如下： 9图 1 误差信号输出信号和抽头权值 w 变化图 图 2 误差信号输出信号和抽头权值 w 变化图为 0.8 的随机高斯噪声，得到滤波器输入信号 ，从频谱图可以看出，包含原始信号有很)(tx多频率。图 3 中红色部分 为经过 RLS 滤波器后的输出信号，蓝色部分 为误差信号。可)(ty )(te以看出误差信号较小。由上可知，滤波效果较好。3.2 滤波器正则化参数的确定RLS 算法有两个特殊的可变参数：抽头输入数据的信噪比，这个量由运行的条件决定；正则化参数 。以下做了对比实验，在输入为正弦波，控制加性高斯噪声的均值，相同均值的随机的噪声都保持不变。来实现不同信噪比，分析正则化参数的在最佳选择。4.2.1 高信噪比原始输入信号是幅值为 1 的正弦波，噪声方差为 0.1。实验组 1： 9.0实验组 2：运行得到图 4。自适应滤波器的设计与实现10图 3 误差信号输出信号和抽头权值 w 变化图 图 4 误差信号输出信号和抽头权值 w 变化图实验组2程序与实验组1大部分相同