函数不等式的几种证明方法数学系毕业论文

毕 业 论 文学 院 统计与应用数学学院 班 级 数学一班 学 号 姓 名 论文题目 函数不等式的几种证明方法分析 指导教师（姓名及职称） 讲师 总评成绩： 函数不等式几种证明方法分析Analysis of methods in proving function inequalities 统计与应用数学学院数学与应用数学专业 2010 （1）班 2010720066指导老师：内容摘要：不等式在数学中有非常重要的地位，对于不等式的考察可以体现学生的基础知识水平和严密的逻辑思维。在高中我们就学过比较法和构造函数法来解决不等式问题，在高等学府学习过数学分析，微积分等等以后，了解到还有许多方法来证明不等式，比如说设置辅助函数，考察新函数单调性；考察函数的极值或者是最大最小值；有微分中值定理；函数的凹凸性；泰勒公式；积分性质；积分中值定理；变限积分；柯西中值定理；导数的性质；导数的定义，不等式的放缩等等方法。本文将逐一介绍这些解题方法，每种方法都会通过一些例题，来验证一些解题的思想和步骤，给出简洁的证明过程，使得大家在碰到数学不等式证明方面更为得心应手，也显示出数学分析思想在不等式领域中的地位。关键词：不等式；泰勒级数；函数单调性；中值定理；定积分Abstract:：Inequality holds the extremely important status in mathematics, it can inspect students basic knowledge level and strict logical thinking. In high school we learned comparative method and construct assistant function to solve the inequality problem, after learning mathematical analysis or calculus at university, ,we know there are many other methods to prove inequality, for example setting auxiliary function, considering the monotonicity of the new function; using the functions extreme value and maximum or minimum values; differential mean value theorems; the concavity or convexity of functions; Taylor formula; integral; integral mean value theorem; variable limit integral derivative; definition of inequality and so on. This paper will introduce the above methods, through some examples to verify the ideas and steps of each methed furthermore we give a concise proof to prove thses inequalities, let everybody can prove mathematical inequalities more handy, and shows the important of mathematical analysis in the inequality field.Keywords: Inequality；Taylors series；Monotone function；Mean value theorem ;DefiniteIII 目 录一 引言 .1二 解题思想和方法 .11导数法 .12中值定理法 .93其他证明方法 .13三 总结 .17参考文献 .180一 引言不等式是数学非常重要的组成部分，使我们了解量之间的大小关系，在数学中起着很重要的用处。对于一个数学系学生来说，或者是对于一个学生来说，多做不等式方面的题目，能丰富数学知识，又能锻炼逻辑思维，因为证明不等式，方法多变，解题手段灵活，有很强的技巧性。不等式更在一些实际问题中充当工具性的方法，有时对于一个实际问题而言，证明其中的不等式只是很小的一部分，但是却不能忽略它的存在。高等数学中的不等式基本可以分为函数不等式和数值不等式，两者都可以通过构造新函数来证明不等式，两者证明的方法是很相似的。证明不等式没有特定的套路去套用，方法随着题目的不同而也在变化，有时只是变换很小的一部分，方法就能彻底的改变。在具体做题目的过程中，要注意观察，善于联想，根据不等式的结构，内在的一些联系来选择最合适的方法，熟悉证明方法的推理思维，熟悉步骤技巧，能看透问题的本质，这样就能选出正确的方法去证明。在高中的时候，我们就会一些不等式的证明，但对于有些不等式，需要借助到高等数学或者是微积分才能解决，从构造新函数，研究新函数的性质，比如单调性，极值最值；到套用一些公式，比如 Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理等等；还有研究函数的导数的一些性质，以及积分不等式的解法等等，都是一些非常有技巧性且需要很强逻辑思维能力的题目，下面将一一介绍这些方法。二 解题思想和方法1导数法导数的内容我们在高中就学过，大学之后就给了一个更精准的定义。在大学里，我们加强了用导数来求单调性的能力，并且引入了新的概念即函数凹凸性，函数的极值。这些东西在合适的条件下都能表达一定的大小关系，所以用导数来求解不等式，是一个很基础的方法。1.1导数定义法这一方法要求我们首先找出 ，使得 为不等式的一边，这时候利用0x)(0xf定义和条件去证明。这种方法较为简单，也不是很常用，但不容易想起。1例 1 现有一个函数 ， 都5 12()sinisinfxaxaxna,21是 ， 为 R+， ，都有 ，求证实 数 n对 于 fs)(1证：因为 12()cossconfxaxx所以 ，再由导数定义可以得到 12(0)nf 0()()limxff又因为 ，所以 ，所以00()limxxfxfsi)(1s0fx，原不等式得证。121naa这一题其实只要能想起导数的定义，再将原式的在 0处的导函数值，就能简单的凑出导数的定义的大框架，问题就迎刃而解了。1.2可导函数单调性法这种方法一般将多项式移向不等式的一端，然后将此作为一个新的函数，研究它的单调性，结合函数的定义域等条件来研究函数的一些特征，从而完成证明。这是最能让人联想起来的一种方法，很基础也很实用。关于导数单调性的定理都反映了导函数和 的关系，里面会出原 函 数 的 导 数现很明显的大小关系，如果能将不等式与单调性结合在一起，证明将会变得很简单。所以我们也经常用函数的导数来判断原函数在区间上的一些性质。（1）利用题目来构造新函数，并且确定好区间 ;b,a构造函数较为简单技巧：利用两边的差；利用不等式两边的形式；若有指数等等，建议用比值来确定大小关系等等。通过例题来简单的表述做差法和作商法。例 1 已知 求证：2,abc222abcabc证：原式变为 2 22bca=2 22(b)c()()(ca(c)a)()0例题解释：本题用了很简单的比较作差法，通过恒等变形，再由此联想到二次三项式的展开，问题就迎刃而解了。2例 2 有 ，求证：5,0abc3()abcabc证:由于对称性，可以设 ， 和 都是正数。此时0abc3()abc作商：= ，因为22.33333bc()acababcabcabc33()()abca，所以 ，所以得出 ，所以有0abc1,c33()()1abca。3()abcabc这两个例子主要是教大家怎么构造新函数，无外乎作差或者是作比值，例2中不等式为指数式，很容易联想到指数的比值性质。（2）在构造出函数的基础上,通过研究其性，从而去证明不等式。函 数 的 单 调导 函 数 的 特 征 来 研 究 新例 3当 时，证明 。0x )0(1)1ln(22xxx证：首先构造函数 有题意知 在,)f )(xf这个范围内是连续的； 。所以 在x )()l(2 xx是单增的，所以知 所以有),00,)(ff，01)ln(122xx所以 ，原题得证。)(例 4 证明： 。 baba11证：构造新函数 ， 在 上是连续的。求导可知)0(,)(xf (xf),0有定理二知， 在 上 ，又因为,0)1()2xf f,是 单 调 递 增 的，可知 。ba0 )()(baff所以 ,原题得证。ba 1113很多同学拿到这个题目可能无从下手，但是只要稍稍有点儿整体思想和懂得一点不等式的基本性质，问题就迎刃而解了。若构造出的辅助函数在研究的区间内并不是单调的，从图像来看就是表示有波动，而不是一直上扬或者一直下降的，这时，就用函数最值和凹凸性的方法.1.3研究函数的最值来证明不等式首先很多同学都会下意识的把极值和最值联系起来，有的甚至可能混淆这两个概念。其实这两个概念有着很大的不同：考虑最值时，我们要考虑的是某一个区间，而极值索要考虑的是某个点的某个领域。极值和最值不同，最值反映了一个区间上函数的最大或者是最小值，而极值反映的是从一阶导数和二阶导数的符号在某个点上跟极值的关系。必须指出的是，一个函数的极值与最值也可能是相同的。那就是此函数在某个 ，此时的 是相同的。区 间 内 部 取 得 最 值 极 值 和 最 值（1）构造一个函数 ，并考虑好用哪个区间；)(xf其实构造函数最基本的方法也就是那几个，大家用好基本的方法，几乎就能构造出想要的函数了：一般来说，当两边都有未知项时，我们找两边之差；如果两边函数的形式如出一辙，那么这个形式就能充作新函数；还有的不等式一边含有未知数，而另一边没有，如 ，此时就可以讲 作为构造函axg)( )(xg数，通过研究 的性质来证明不等式。)(xg（2）运用定理，求出极值或者是最大最小值。（i）求极值的方法：找出在定义域找出 是稳定点；因为一不 可 导 的 点 或 者般来说极值点就出现在这两者之间。再用极值的定理来判断这个点是否为极值点。(ii)最大最小值求法:若函数 在 上连续，先找出疑似点，再将疑)(xf,ba似点的函数值与端点的函数值进行比较，这三个值中最小值；若函数在 上是可导的，极值点又是唯的 为最 大 的 为 最 大 值 ， 最 小 ),(4一的，此时这个极值点就是最值点。例 1 求证：当 时，00x55x解题思路：这个题目是一个基础的题目，我们可以把函数两边移项导不等式的一边，构造出新的函数，即 ，但是 早它的定)0(,)(5xf )(xf义域上并非单调函数，所以不能用函数的单调性加以解决。证：构造函数 ，求导可得： ，经过)0(,)(5xxf 5)(4f变形处理 此时令 ，则 。但,11(522 x 0x1是 。当 极限存在，即 ，所不 属 于 定 义 域 ， 故 舍 去1时 ，x )(lim1ffx以函数在 上连续。当 时，此时导数是小于 0的，那么 在x0上是减函数；当 时，导函数是大于 0的，那么就表示 在101x )(xf上是单增的，根据上面的定理可知，此时， 在 处取得极小值，),()(xf1即 ，所以在 上有 ，所以0)(minfxf ),(0也即 , 原不等式得证.,45045xx例 2 假设有1 证 明,nnbm)()1(解题思路： 则不等式的左边中的 ，我们发现左此右两,0m0边都含有相同形式的项即 ，此时将 暂时放开，因为假如 AB,则必有BA)(nA+1B。此时不等式只考虑 ， bmn)(1此 时 不 等 式 等 量 变 化,此时可构造新函数 .nnm11)()( )0()1(xxfn证:等价于证明 ，构造新函数 ，nnm11)()( )0(1)(xfn此时导函数 ，当 时，此时的nxxf21)()() 0)(xf表 1 函数的单调性表格nxnx5)(xf 小于 0 等于 0 大于 0单调递减 取得极小值 单调递增此时在这个区间里面，极值与最小值是相等的，那么当 ，都有),0(m，所以 ，因为 nmf1)() nf1)()nn11)(所以有 。所以原不等式得证。0,bm)(1例 3 设 ，在 ，求证不等式1 时0x 1)2xemx证：因为 成为 ，构造一个新函数原 不 等 式 可 以 写 )1(2 ()gx令 并有 此时 ，xemxg12)( 0(gemx2)(， 。因为 ， ，所以对于eg)( xe)0ln在 时单减，在 时单增，所以 在 处取得最)(xln2ln0x)(x大值， ，所以对于 在定义域内是单调递减的，2)2ln emxg所以当 ， 所以 ，所以