2017（34届）全国物理竞赛复赛试题及解答

d 2 1 d 2I mr2 1 d第 34 届 全 国 中 学 生 物 理 竞 赛 复 赛 理 论 考 试 试 题 解 答2017 年 9 月 16 日一、 （ 40 分 ） 一 个 半 径 为 r 、 质 量 为 m 的 均 质 实 心 小 圆 柱 被 置 于一 个 半 径 为 R 、 质 量 为 M 的 薄 圆 筒 中 ， 圆 筒 和 小 圆 柱 的 中 心 轴 均水 平 ， 横 截 面 如 图 所 示 。 重 力 加 速 度 大 小 为 g 。 试 在 下 述 两 种 情形 下 ， 求 小 圆 柱 质 心 在 其 平 衡 位 置 附 近 做 微 振 动 的 频 率 ：（ 1） 圆 筒 固 定 ， 小 圆 柱 在 圆 筒 内 底 部 附 近 作 无 滑 滚 动 ；（ 2） 圆 筒 可 绕 其 固 定 的 光 滑 中 心 细 轴 转 动 ， 小 圆 柱 仍 在 圆 筒 内 底部 附 近 作 无 滑 滚 动 。 R解 ：（ 1） 如 图 ， 为 在 某 时 刻 小 圆 柱 质 心 在 其 横 截 面 上 到 圆 筒 中 心 轴 的 垂 线 与 竖 直 方 向 的 夹 角 。小 圆 柱 受 三 个 力 作 用 ： 重 力 ， 圆 筒 对 小 圆 柱 的 支 持 力 和 静 摩 擦 力 。 设 圆 筒 对 小 圆 柱 的 静 摩 擦力 大 小 为 F ， 方 向 沿 两 圆 柱 切 点 的 切 线 方 向 （ 向 右 为 正 ）。 考 虑 小 圆 柱 质 心 的 运 动 ， 由 质 心运 动 定 理 得F mg sin ma 式 中 ， a 是 小 圆 柱 质 心 运 动 的 加 速 度 。 由 于 小 圆 柱 与 圆 筒 间 作 无滑 滚 动 ， 小 圆 柱 绕 其 中 心 轴 转 过 的 角 度 1 （ 规 定 小 圆 柱 在 最 低 点时 1 0 ） 与 之 间 的 关 系 为R r(1 ) 由 式 得 ， a 与 的 关 系 为a r (R r) dt2 dt2R1考 虑 小 圆 柱 绕 其 自 身 轴 的 转 动 ， 由 转 动 定 理 得d 2rF I 21dt式 中 ， I 是 小 圆 柱 绕 其 自 身 轴 的 转 动 惯 量12由 式 及 小 角 近 似sin 得d 2 2g 0dt2 3(R r)由 式 知 ， 小 圆 柱 质 心 在 其 平 衡 位 置 附 近 的 微 振 动 是 简 谐 振 动 ， 其 振 动 频 率 为f 1 g 6(R r) （ 2） 用 F 表 示 小 圆 柱 与 圆 筒 之 间 的 静 摩 擦 力 的 大 小 ， 1 和 2 分 别 为 小 圆 柱 与 圆 筒 转 过 的 角度 （ 规 定 小 圆 柱 相 对 于 大 圆 筒 向 右 运 动 为 正 方 向 ， 开 始 时 小 圆 柱 处 于 最 低 点 位 置 1 2 0 ） 。对 于 小 圆 柱 ， 由 转 动 定 理 得2Fr mr2 21 2 dt对 于 圆 筒 ， 同 理 有d 2FR (MR2 ) 22dt1 2 1 d d(R r) 2 r 21 R 22轴 SA 的 夹 角 （ 以 逆 时 针 方 向 为 正 ）， k 2 , L 是 BP 相 对 于 太 阳 的 角 动 量 ， G 6.67 10 m kg s 为已 知 积 分 公 式 x a 2a x a C ， 式 中 C 是 任 意 常 数 。由 式 得2 2F r 21 R 22 m M dt dt设 在 圆 柱 横 截 面 上 小 圆 柱 质 心 到 圆 筒 中 心 轴 的 垂 线 与 竖 直 方 向 的 夹 角 ， 由 于 小 圆 柱 与 圆 筒间 做 无 滑 滚 动 ， 有R r(1 ) R2 由 式 得d 2 d2 d2dt dt dt设 小 圆 柱 质 心 沿 运 动 轨 迹 切 线 方 向 的 加 速 度 为 a ， 由 质 心 运 动 定 理 得F mg sin ma 由 式 得d 2a (R r) 2dt由 式 及 小 角 近 似 sin ， 得d 2 2M m g 0dt2 3M m R r由 式 可 知 ， 小 圆 柱 质 心 在 其 平 衡 位 置 附 近 的 微 振 动 是 简 谐 振 动 ， 其 振 动 频 率 为f 1 2M m g2 3M m R r 评 分 参 考 ： 第 （ 1） 问 20 分 ， 式 各 3 分 ， 式 2 分 ， 式 3 分 ， 式 各 2 分 ， 式 3分 ， 式 2 分 ； 第 （ 2） 问 20 分 ， 式 各 2 分 ， 式 3 分 ， 式 各 2 分 ， 式 3分 ， 式 2 分 。二、 （ 40 分 ） 星 体 P（ 行 星 或 彗 星 ） 绕 太 阳 运 动 的 轨 迹 为 圆 锥 曲 线kr P1 cos式 中 ， r 是 P 到 太 阳 S 的 距 离 ， 是 矢 径 SP 相 对 于 极 rCL2GMm11 3 1 2SARE引 力 常 量 ， M 1.99 1030kg 为 太 阳 的 质 量 ， D 1 2EL2G2M 2m3为 偏 心 率 ， m 和 E 分 别 为 P 的 质 量 和 机 械 能 。 假 设 有 一 颗 彗 星 绕 太 阳 运动 的 轨 道 为 抛 物 线 ， 地 球 绕 太 阳 运 动 的 轨 道 可 近 似 为 圆 ， 两 轨 道 相 交 于 C、 D 两 点 ， 如 图 所示 。 已 知 地 球 轨 道 半 径 RE 1.49 1011m ， 彗 星 轨 道 近 日 点 A 到 太 阳 的 距 离 为 地 球 轨 道 半 径的 三 分 之 一 ， 不 考 虑 地 球 和 彗 星 之 间 的 相 互 影 响 。 求 彗 星（ 1） 先 后 两 次 穿 过 地 球 轨 道 所 用 的 时 间 ；（ 2） 经 过 C、 D 两 点 时 速 度 的 大 小 。xdx 2 3/2 1/2x a 32mr& V r E 0V r G2 min t RE2GM L 2GM 3 r REt RE2GM 3 RE解 ：（ 1） 由 题 设 ， 彗 星 的 运 动 轨 道 为 抛 物 线 ， 故 1, E 0彗 星 绕 太 阳 运 动 的 轨 道 方 程 为 ：r k1 cos彗 星 绕 太 阳 运 动 过 程 中 ， 机 械 能 守 恒1 2 L22 2mr2式 中Mm r当 彗 星 运 动 到 近 日 点 A 时 ， 其 径 向 速 度 为 零 ， 设 其 到 太 阳 的 距 离 为 rmin ， 由 式 得L2 Mm V r G2mrmin rmin由 式 和 题 给 条 件 得L2 RErmin 2GMm2 3由 式 得dr 2GM L2 dt r m2r 2或drdt 2GM L2r m2r2设 彗 星 由 近 日 点 A 运 动 到 与 地 球 轨 道 的 交 点 C 所 需 的 时 间 为 t ， 对 式 两 边 积 分 ， 并 利 用 式 得RE dr 1 RE rdrrmin 2对 式 应 用 题 给 积 分 公 式 得1 RE rdrr 3r m2r2 3 12GM 2 RE 3/2 2 RE RE 1/2 RE RE 3 3 3 3 10 3 RE3227 GM由 对 称 性 可 知 ， 彗 星 两 次 穿 越 地 球 轨 道 所 用 的 时 间 间 隔 为20 3 R3 2T 2t E27 GM将 题 给 数 据 代 入 式 得T 6.40 106s（ 2） 彗 星 在 运 动 过 程 中 机 械 能 守 恒1 2 GMmmv E 02 r式 中 v 是 彗 星 离 太 阳 的 距 离 为 r 时 的 运 行 速 度 的 大 小 。 由 式 有3v0 M v0 v0 M v02GMv r当 彗 星 经 过 C、 D 处 时rC rD RE由 式 得 ， 彗 星 经 过 C、 D 两 点 处 的 速 度 的 大 小 为vC vD 2GMRE由 式 和 题 给 数 据 得vC vD 4.22 104 m/s 评 分 参 考 ： 第 （ 1） 问 28 分 ， 式 4 分 ， 式 2 分 ， 式 4 分 ， 式 2 分 ， 式 4 分 ， 式 各 2 分 ； 第 （ 2） 问 12 分 ， 式 4 分 ， 式 各 2 分 。三、 （ 40 分 ） 一 质 量 为 M 的 载 重 卡 车 A 的水 平 车 板 上 载 有 一 质 量 为 m 的 重 物 B， 在水 平 直 公 路 上 以 速 度 v0 做 匀 速 直 线 运 动 ， B L A重 物 与 车 厢 前 壁 间 的 距 离 为 L （ L 0 ） 。因 发 生 紧 急 情 况 ， 卡 车 突 然 制 动 。 已 知 卡车 车 轮 与 地 面 间 的 动 摩 擦 因 数 和 最 大 静 摩 擦 因 数 均 为 1 ， 重 物 与 车 厢 底 板 间 的 动 摩 擦 因 数和 最 大 静 摩 擦 因 数 均 为 2 （ 2 1 ） 。 若 重 物 与 车 厢 前 壁 发 生 碰 撞 ， 则 假 定 碰 撞 时 间 极 短 ，碰 后 重 物 与 车 厢 前 壁 不 分 开 。 重 力 加 速 度 大 小 为 g 。（ 1） 若 重 物 和 车 厢 前 壁 不 发 生 碰 撞 ， 求 卡 车 从 制 动 开 始 到 卡 车 停 止 的 过 程 所 花 的 时 间 和 走过 的 路 程 、 重 物 从 制 动 开 始 到 重 物 停 止 的 过 程 所 花 的 时 间 和 走 过 的 路 程 ， 并 导 出 重 物 B 与车 厢 前 壁 不 发 生 碰 撞 的 条 件 ；（ 2） 若 重 物 和 车 厢 前 壁 发 生 碰 撞 ， 求 卡 车 从 制 动 开 始 到 卡 车 和 重 物 都 停 止 的 过 程 所 经 历 的时 间 、 卡 车 走 过 的 路 程 、 以 及 碰 撞 过 程 中 重 物 对 车 厢 前 壁 的 冲 量 。解 ：（ 1） 若 重 物 和 车 厢 前 壁 不 发 生 碰 撞 。卡 车 在 水 平 直 公 路 上 做 匀 减 速 运 动 ， 设 其 加 速 度 大 小 为 a1 。 由 牛 顿 第 二 定 律 有1(M m)g 2mg Ma1 由 式 得a1 1M (1 2 )mMg由 匀 减 速 运 动 公 式 ， 卡 车 从 制 动 开 始 到 静 止 时 所 用 的 时 间 t1 和 移 动 的 距 离 s1 分 别 为t1 2 2 ， s1 a1 1M (1 2)m g 2a1 1M (1 2 )m 2g重 物 B 在 卡 车 A 的 车 厢 底 板 上 做 匀 减 速 直 线 运 动 ， 设 B 相 对 于 地 面 的 加 速 度 大 小 为 a2 。4v0 v0 v02 v02v02 v02 ( 1 2 )( M m) v02M M (2 1 2 ) 2m( 1 2 ) v02M M (2 1 2 ) 2m( 1 2 ) v02 M v02由 牛 顿 第 二 定 律 有2mg ma2 由 式 得a2 2mgm 2g从 卡 车 制 动 开 始 到 重 物 对 地 面 速 度 为 零 时 所 用 的 时 间 t2 和 重 物 移 动 的 距 离 s2 分 别 为t2 ，a2 2gs2 2a2 22 g由 于 2 1 ， 由 二 式 比 较 可 知 ， t2 t1 ， 即 卡 车 先 停 ， 重 物 后 停 。若 s2 s1 L ， 重 物 B 与 车 厢 前 壁 不 会 发 生 碰 撞 ， 因 此 不 发 生 碰 撞 的 条 件 是L s2 s1 （ 2） 由 式 知 ， 当 满 足 条 件 2a2 2a1 21M ( 1 2 )m 2gL s2 s1 (1 2 )( M m) v02221M (1 2 )m g时 ， 重 物 B 与 车 厢 前 壁 必 定 发 生 碰 撞 。设 从 开 始 制 动 到 发 生 碰 撞 时 的 时 间 间 隔 为 t ， 此 时 有 几 何 条 件s2 (t) s1(t) L 这 里 又 可 分 为 两 种 情 况 ： t2 t t1（ 重 物 在 卡 车 停 下 后 与 车 厢 前 壁 发 生 碰 撞 ） 和 t t1 （ 重物 在 卡 车 停 下 前 与 车 厢 前 壁 发 生 碰 撞 ）。（ i） t2 t t1 ， 即 卡 车 A 在 t1 时 停 下 ， 重 物 B 继 续 运 动 ， 在 t 时 与 车 厢 前 壁 发 生 碰 撞 。卡 车 停 下 的 时 间 和 向 前 滑 动 的 距 离 是 给 出 的 t1 和 s1 ， 同 时 重 物 相 对 于 地 面 向 前 滑 动 的距 离 是1s2 v0t1 a2t1221M (1 2)m2 2g重 物 相 对 于 车 厢 向 前 滑 动 的 距 离 是s2 s1 1M (1 2)m2 2g 1M (1 2 )m 2g(1 2 )(M m)M v021M (1 2)m2 2g如 果s2 s1 L s2 s1 ，即 当5( 1 2 )(m M )M v02 (1 2 )(M m) v022 1g 2 1(m M ) 2 g 1M (1 2 )m L 21M +(1 2 )m2 g 221M (1 2 )m g满 足 时 ， 在 车 已 停 稳 后 重 物 仍 会 向 前 运 动 并 且 撞 上 车 厢 前 壁 。从 制 动 到 重 物 B 与 车 厢 前 壁 碰 撞 前 ， 重 物 B 克 服 摩 擦 力 做 功 。 设 在 碰 撞 前 的 瞬 间 重 物B 相 对 地 面 的 速 度 为 v2 ， 由 动 能 定 理 有1 2 1 2mv2 mv0 2mg (s1 L)2 2 由 式 得v2 v02 22 g(s1 L) (1 2 )( M m)v021M (1 2 )m 22 gL设 碰 撞 后 瞬 间 重 物 B 与 卡 车 A 的 速 度 均 为 v ， 由 于 碰 撞 时 间 极 短 ， 碰 撞 前 后 动 量 守 恒mv2 (m M )v 由 式 得v m mv2 m M m M(1 2 )( M m)v021M (1 2 )m 22 gL碰 撞 过 程 中 重 物 B 对 车 厢 前 壁 的 冲 量 为I M v 0 mMm M (1 2 )( M m)v021M (1 2 )m 2 2gL 碰 撞 后 ， 卡 车 和 重 物 又 一 起 运 动 了 一 段 时 间v m vt 21g 1 m M g再 移 动 了 一 段 路 程s1 = v2 m2 (1 2 )( M m)v02 22gL 才 最 终 停 止 下 来 （ 对 于 卡 车 而 言 ， 这 是 第 二 次 停 下 来 ）。重 物 撞 上 车 厢 前 壁 的 时 间 是v vt2 0 22g所 以 ， 从 卡 车 制 动 到 车 和 重 物 都 停 下 所 用 的 总 时 间 为v v mv v 1 m t(i) t2 t 0 2 2 0 v22g 1g (M m) 2g 2g 1g (M m) v M ( )m (1 2 )( M m)v02 0 1 1 2 2 2gL2g 12g (m M ) 1M (1 2 )m卡 车 移 动 的 总 路 程 则 为 M (m M ) ( )m 2v2 m2Ls1(i) =s1+s1 1 1 2 0 2 221(m M )1M (1 2 )mg 1(m M )（ ii） t t1 ， 即 卡 车 还 未 停 下 ， 重 物 就 与 车 厢 前 壁 发 生 碰 撞由 式 的 推 导 可 知 ， 条 件 t t1 可 写 成6v v0Mx1 mx2 Mx1 mx2 (M m )s1(II) mL v02s1(ii) L (1 2 )(m M )M v0221M (1 2 )m2 g由 匀 减 速 运 动 学 公 式 ， 式 成 为1 1v0t a2t 2 (v0t a1t 2 ) L2 2解 得 碰 撞 发 生 的 时 间2L 2LMt a1 a2 (1 2 )(m M )g在 碰 撞 前 的 瞬 间 ， 卡 车 A 的 速 度 v1 和 重 物 B 的 速 度 v2 分 别 为v1 v0 a1t v0 a1 2LM(1 2 )(m M ) g， v2 v0 a2t v0 a2 2LM(1 2 )(m M ) g由 碰 撞 前 后 动 量 守 恒 ， 可 得 碰 撞 后 重 物 B 和 卡 车 A 的 共 同 速 度 v 为mv M v ma Ma 2LMv 2 1 v0 2 1m M m M (1 2 )(m M )g2LMgv0 1 (1 2 )(m M )由 冲 量 定 理 和 以 上 两 式 得 碰 撞 过 程 中 重 物 B 对 车 厢 前 壁 的 冲 量 为Mm 2( )MI M (v v1) 2(a1 a2 )L m 1 2 gLm M m M2LM卡 车 运 动 时 间 为 碰 撞 前 后 的 两 段 时 间 之 和 ， 由 t (1 2 )(m M ) g与 式 可 得t(ii) t 1g 1g卡 车 总 路 程 等 于 碰 前 和 碰 后 两 段 路 程 之 和1 v2 v2 mLs1(ii) v0t a1t2 0 2 21g 21g M m另 解 ， 将 卡 车 和 重 物 视 为 一 个 系 统 ， 制 动 过 程 中 它 们 之 间 的 摩 擦 力 和 碰 撞 时 的 相 互 作 用 力都 是 内 力 ， 水 平 外 力 只 有 地 面 作 用 于 卡 车 的 摩 擦 力 （ M m)1g 。 在 此 力 作 用 下 系 统 质 心做 加 速 度 大 小 为 1g 的 匀 减 速 运 动 ， 从 开 始 到 卡 车 和 重 物 都 停 止 时 所 经 历 的 时 间 为vt(ii) 01g系 统 质 心 做 匀 减 速 运 动 的 路 程 为v2xc=021g设 制 动 前 卡 车 和 重 物 的 质 心 分 别 位 于 x1 和 x2 ； 制 动 后 到 完 全 停 下 卡 车 运 动 了 路 程 s1(ii) ， 两 个质 心 分 别 位 于 x1 x1 s1(ii) 和 x2 x2 s1(ii) +L 。 于 是 有xc = M m M m M m 21g由 此 解 得v02 mL 21g M m评 分 参 考 ： 第 （ 1） 问 10 分 ， 式 各 2 分 ； 第 （ 2） 30 分 ， 式 2 分 ， 式 各 2 分 ， 式 各 2 分 。7四、 （ 40 分 ） 如 俯 视 图 ， 在 水 平 面 内 有 两 个 分 别 以 O 点与 O1 点 为 圆 心 的 导 电 半 圆 弧 内 切 于 M 点 ， 半 圆 O 的 半P径 为 2a ， 半 圆 O1 的 半 径 为 a ； 两 个 半 圆 弧 和 圆 O 的 半径 ON 围 成 的 区 域 内 充 满 垂 直 于 水 平 面 向 下 的 匀 强 磁 场Q（ 未 画 出 ） ， 磁 感 应 强 度 大 小 为 B ； 其 余 区 域 没 有 磁 场 。半 径 OP 为 一 均 匀 细 金 属 棒 ， 以 恒 定 的 角 速 度 绕 OM O1 O N点 顺 时 针 旋 转 ， 旋 转 过 程 中 金 属 棒 OP 与 两 个 半 圆 弧 均 接 触 良 好 。 已 知 金 属 棒 OP 电 阻 为 R ，两 个 半 圆 弧 的 电 阻 可 忽 略 。 开 始 时 P 点 与 M 点 重 合 。 在 t （ 0 t 圆 O1 交 于 Q 点 。 求（ 1） 沿 回 路 QPMQ 的 感 应 电 动 势 ；（ 2） 金 属 棒 OP 所 受 到 的 原 磁 场 B 的 作 用 力 的 大 小 。解 ：） 时 刻 ， 半 径 OP 与 半（ 1） 考 虑 从 初 始 时 刻 t 0 至 时 刻 0 t 2， 金 属 棒 OP 扫 过 的 磁 场 区 域 的 面 积 为S S 扇 形 OPM S 扇 形 O1QM S O1QO 式 中 ， S 扇 形 OPM 、 S 扇 形 O1QM 和 SO1QO 分 别 是 扇 形 OPM、 扇 形 O1QM 和 O1QO 的 面 积 。 由 几 何关 系 得1S扇 形 OPM (t )(2a)221S扇 形 O1QM (2t )a 22SO1QO (a sin t)(a cost)由 式 得1S (2t sin 2t)a 22通 过 面 积 S 的 磁 通 量 为 BS由 法 拉 第 电 磁 感 应 定 律 得 ， 沿 回 路 QPMQ 的 感 应 电 动 势 为 ddt式 中 ， 负 号 表 示 感 应 电 动 势 沿 回 路 逆 时 针 方 向 （ 即 沿 回 路 QPMQ） 。由 式 得 (1 cos 2 t) a2B, 0 t 2 8当 t 时 ， 沿 回 路 QPMQ 的 感 应 电 动 势 与 t 时 的一 样 ， 即2 2 2 a2B, 2 t （ 2） 在 t 时 刻 流 经 回 路 QPMQ 的 电 流 为i R1式 中R1 R L2a这 里 ， L 为 PQ 的 长 。 由 几 何 关 系 得L 2a 2a cos t, 0 t 2 L 2a, 2 t 半 径 OP 所 受 到 的 原 磁 场 B 的 作 用 力 的 大 小 为F iLB由 式 得F (1 cos 2t) 2a3B2R , 0 t 2由 式 得F 4a3B2R ,2