2003天津市人文类竞赛真题及答案

2003 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。 ）1 设对一切实数 x 和 y,恒有 ，且知 ，则 。)()(yfxyf1)2(f 2f12 设 在 x = 0 处连续，则 a = 。, ;,1e2)ln()(2si0xadtxfx3 。12cosdx44 设函数 ，则 。txxttf21lim)()(tft2e)15 设函数 由方程 确定，则 dx 。)(yxysin)ln(32 0xdy二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。 ）1当 时，下列无穷小量0x ； ；xsin1ta 312x ； ，xico34 4xe从低阶到高阶的排列顺序为（ D ）（A） ； （B） ；（C） ； （D ） 。2设 ，在 x = 0 处存在最高阶导数的阶数为（ B ）,0,cot)(3xarxf（A） 1 阶； （B） 2 阶； （C） 3 阶； （D）4 阶。3设函数 在 x = 1 处有连续的导函数，又 ，则 x = 1 是（ B ）)(fy 21)(limxf（A）曲线 拐点的横坐标； （B）函数 的极小值点； )(fy（C）函数 的极大值点； （D）以上答案均不正确。)(xfy4设 ，则有（ 24324322 )cossin(,)cos(sin,cos1in dxxPdxxNxdMA ）(A) P 1 时， 。),10(xf 0)(xdtf命： ，得 ，解此方程得到唯一驻点 x = 2。0(xF12又，当 时， ；当 x 2 时， ，所以 在点 x = 2 处取得极小值 ，)(F)(F)(F)2(F又因为 x = 2 是唯一的极值点，所以 x = 2 是 的最小值点，最小值为 。七、计算 。 （本题 7 分）xd1解：命： ，则 ， 。t21tx dttttdx 3422 14)(1则 。Cxxxx ttttttd 223234 111ln12 ln2八、设 ，且 ，求 。 （本题 7 分）2)arct()(xy0)(y1)(dy解： 2ln4180)1ln(42120arctn21 arct2arct )n()()0(1)arctn()() arctn1 )ta()()(0)()( 1012021 22020 1211 uduu dut xxydxxy xxxdx tutx 命命九、设 在闭区间 上连续，且 ，证明：方程)(xf,)(xf10dt在开区间 内有且仅有一个实根。 （本题 8 分）)1,0(证明：设 ，又 ，于是有,1)(20xdtfx)(xf。01)(1)(01)( 0dttf；所以至少有一点 。,， 使 得又因 ，即 单调递增，所以仅有一个 。2)()(xf )(x 0)()1,0(， 使 得即方程 01)(0xdtf在开区间 内有且仅有一个实根。)1,0(十、设函数 f (x)具有二阶连续导函数，且 。在曲线 y = f (x)上任意取)(,)(,)(fff一点 作曲线的切线，此切线在 x 轴上的截距记作 ，求 。 （本题 9 分）0,(fx )(lim0xfx解：过点 的曲线 y = f (x)的切线方程为： ，)(,xf )(XffY注意到：由于 ，所以当 时， 。因此，此直线在 x 轴上的截距为0,0 0x0x。且 。)(xf)(limli00fxxx利用泰勒公式将 在 点处展开，得到。之 间 ；与在 xxfxfxfxf 0,)(21)(21)0()( 12类似可得： 。代入得之 间与在 0, 。21)0()(lim)(lim )(lim)(lilim)(li21)(li)(li 00 000120200 ffxffxff xfxfffxfxx xxxx十一、设 为一连续、正值、单调递减的函数，证明：)(f。102102)()(dxfdxf（本题 9 分）证明：方法一：要证原式，只需证。0)()()()( 1021010102 dxfxfdxfxfI现设 ，）， （ 1xtttt显然有 。又)(I ， x xxxdtftf dtffdtffd0 0202022 )()()( )()()(注意到： 为一正值、单调递减的函数，因此， 与 异号，由定积分的性质知：)(tfx)tx，即 单调递减，故 。于是有 ，即)(xI)(xI )10()(xI 0I，原式得证。1021010102 dtftfdtftf方法二：要证原式，只需证，0)()()()( 1021010102 xfxf