2011天津市l理工高等数学竞赛真题答案

2011 年 天津市大学数学竞赛试题参考解答(理工类)一. 填空题（本题 15 分，每小题 3 分）:1. 设 是连续函数, 且 , 则 ()fx0()lim41cosxf01()lixxf2e.2. 设 , 若 则 2fabli(),xfa,b4.3. 1elndxxen.xC4. 设 是连续函数, 且 其中 由 x 轴、y 轴以及()fy(,)(,)d,DfyfxyD直线 围成, 则 1xx1.25. 椭球面 平行于平面 的切平面方程为 22yz0yz和 0 .二. 选择题（本题 15 分，每小题 3 分）:1. 设 则 在 处()2)ln(1,fxx()f0x(A) , (B) , (C) , (D) 不可导. 00f()2f答: (A)2. 设函数 具有二阶导数, 且满足方程 已知 则()yf sine0.xy0(),fx(A) 在 的某个邻域中单调增加, (B) 在 的某个邻域中单调增少, x0 ()f(C) 在 处取得极小值, (D) 在 处取得极大值.f 0答: ( C)3. 图中曲线段的方程为 , 函数 在区间 上有连续的导数, 则积分 ()yfx()fa表示 0)daxf(A) 直角三角形 AOB 的面积, (B) 直角三角形 AOC 的面积, (C) 曲边三角形 AOB 的面积, (D) 曲边三角形 AOC 的面积. 答: (D) OxCyA(,0)Ba()fx4. 设在区间 上的函数 且 令 ,ab()0,fx()0,fx().f1()d,baSfx则2(),Sf31,2Saba(A) (B) (C) (D) 122,S213,S231.答: (C ) 5. 设 曲面 取上侧为正 , 是 在 的部分, 则(,)|,0,xyzyz10x曲面积分(A)(B) d0, 1d2d.xyzy(C) (D) 122d,yzyz 12,x答: (B) 三. (6 分 ) 设函数 其中函数 处处连续. 讨论200()(d0sinxtut,x,f, . 在 处的连续性及可导性. (fx解 2 200 00 0(1)(d(1)(dlim()li limxx xt xutuf 2200()()lilixx20()xf因此, 在 处连续.()f20030(1)(d()limlixx tutf 200(1)(dlim3xxu2200()()lili3xx()因此, 在 处可导, 且 ()fx01()().3f四. (6 分 ) 设函数 由方程 确定, 又函数 由方程 确定, ()tcost()yx2e1yx求复合函数 的导数y0d.ty解 方程 两边对 求导cos0txtdsin0.xt当 t=0 时, x=0, 故00dco1.sittxx方程 两边对 x 求导2e1y2de.yy当 时, 故0x,020d.exyx因此,00d.dtxty五. (6 分) 设函数 在 上二阶可导，且 ，记 ，()f,)0()limxf10()()xftd求 的导数，并讨论 在 处的连续性.(x(解 由已知的极限知 从而有0,ff1()d.t当 时, 从而有 0x10001()()d()d,xfxxffxtfu),().x因为 00()lim()li(0),xxf所以, 在 处连续.()当 时,2()(),xff在 处, 由 有 0x0,2000()()()1()limlilim(0)2xxxfff 所以, 2(),()100.fffx而200000()()()()lim()lilimlilim2xxxxxffff 111,2f故 在 处连续.()六. (7 分) 设函数 在 上可导, 且满足 : ()yx)2,(0).yxy() 研究 在区间 的单调性和曲线 的凹凸性.0, ()() 求极限 30lim.x解 ( ) 当 时, 有20,y故 在区间 单调增加. 从而当 时, 也单调增加. 可见, 曲线y(,)0x2yx在区间 向下凸.()x0(或当 时, 可得22().yxy可见, 曲线 在区间 向下凸. )()(,() 由题设知 , 应用洛必达法则023200limlilim3xxxyy2111li().3x七. (7 分) 设 在 上具有连续导数, 且 试证()fx ,0fxf211300()d()d.ff证 令 则 在 连续, 且对 ,() ,xxFtt()Fx1(01)x30()2()dfff 20()2()d().xfftfx又由题设知, 当 时, 令 则 在1x.20()d(),gftfxg上连续, 且01()2(),1gffxx故有 00,.x因此(),(,1)Fx于是 在 上单调增加, 取 , 即得()x01 ,1.Fxx211300()()d()dftft所证结论成立.八. (7 分) 设函数 具有二阶导数, 且 直线 是曲线 上任意一点()yfx().fxaL()yfx处的切线, 其中 记直线 与曲线 以及直线 所围成(,af ,1.aa()yfx0,1的图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积为 试问 为何值时 取得最小值.VV解 切线 的方程为 即aL()(),yffx.fx于是10()2()()dVfaxffax1d().32x 可见, 在 连续, 在 可导. 令 ()a1(,1),()2()()320aVfffa由于 在 内有唯一的驻点 ()0,f,).并且, 当 时, ; 当 时, 因此, 在 处3a(0a2(1)3()0Va()Va23取得最小值.九. (7 分) 计算 其中 为从点 沿圆周 在第(sin)d(cos)d,Lyxy L(,)O2xy一象限部分到点 的路径.1,A解 令 则i 1,PQOxy1aaL()fx(1,)A(,0)Bcos(1).QPyx取点 作有向直线段 其方程为 从 0 变到 1).(1,0).B,OB(yx作有向直线段 其方程为 从 0 变到 1). 由曲线 、 有向直线段 和 形,A(xLABO成的闭曲线记为 (沿顺时针方向) , 所围成的区域记为 , 则 0LLDsindcos)dyy0(in(cos1)dABOLxys)D(id(sOBy10cos)04y1sin.4十. (8 分) 设（1）有向闭曲线 是由圆锥螺线 ： ， （ 从 0 变到 ）和有向直线段 构成， 其中AOzyx,in,cos 2AO， ；0,2（2）闭曲线 将其所在的圆锥面 划分成两部分， 是其中的有界部分. 2xy（）如果 表示一力场，求 沿 所做的功 ；xzF,1FW（）如果 表示流体的流速，求流体通过 流向上侧的流量. (单位从略）解（）作有向直线段 其方程为 从 变到 0).,AOxzy0(2所求 沿 所做的功为dWzxyzA(d)Oyxz20cosinsicos 02dx.2()d0 24（） 所在的圆锥面方程为 ，曲面 上任一点处向上的一个法向量为2zxy2(,1)(,1)xynz在 面上的投影区域为 , 在极坐标系下表示为:OD0,2.r故所求流体通过 流向上侧的流量为dd()dxyzyxyzzx Oxy22dyxxy 20dcosindrr.2230cosin26注: () 的另一解法 应用 Stokes 公式， 可得Wddyzxzx2dyx.2 20 0sinsinr 24十一. (8 分 ) 设函数 在心形线 所围闭区域 上具有二阶连续(,)uxy:1coLrD偏导数, 是在曲线 上的点处指向曲线外侧的法向量( 简称外法向), 是 沿 的nL un(,)xyL外法向的方向导数, 取逆时针方向.( ) 证明 : dd.LLuusxyA( ) 若 求 的值.221,yxLsnA( ) 证 由方向导数的定义d(cosi)d.LLuussnxy其中, 是 相对于 x 轴正向的转角.设 是 L 的切向量 相对于 x 轴正向的转角, 则或 故 11,21.21d(sincos)d.LuusnyA.x( ) 解 应用格林公式22d()d(1)dDDLuusyxyxnx由对称性1cos01LsrA203(cos)d.十二 .(8 分 ) 设圆 含于椭圆 的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即2xy21xyab在这两点处圆与椭圆都有公共切线).() 求 与 满足的等式; () 求 与 的值, 使椭圆的面积最小.ab解 () 根据条件可知 , 切点不在 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆y相切于点 , 则 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在 处椭圆的切线斜0xy0()x 0(,)xy率等于圆的切线斜率, 即 . 注意到 因此, 点 应满足2001bxa0x200201()2(3)xybay由(1)和(2)式, 得(4)2200.bya由 (3) 式得 代入(4) 式2