15_6424895_71.高考中悄然兴起的双切线问题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 高考中悄然兴起的双切线问题 解决 双切线 问题 的 通 法 我们把过一点作圆锥曲线的两条切线叫做圆锥曲线的双切线 ,关于 圆锥曲线的双切线 问题 ,近年来在高考中悄然兴起 ;由于 该类试 题 涉及双切线、双切点、 双斜率 等多种参量 ,而成为 难点 问题 . 母题结构 :己知 圆锥曲线 曲 线 点 P 作 曲线 交 曲 线 ,记切 线 B 的斜率分别 为 k1,k2(求 k1+解 题 程序 :根据 点 线 设 点 P(x0, 过点 线 切线 l:k(由直线 线条 件 (当 曲线 根据圆心到直线 等于圆的半经 ;当 曲线 圆 二次 曲线 时 ,把 直线 线 得关于 x或 根据 该一元二次方程根的判别式 =0),得关于斜率 称为斜率方程 ); 由 k1,根据 韦达定理 ,求 k1+子题类型 :(2011 年浙江 高考 理科 试题 )已知抛物线 C1:x2=y,圆 C2:=1 的圆心 为点 M. ( )求点 M 到抛物线 ( )已知点 P 是抛物线 异于原点 ),过点 P 作圆 交抛物线 ,B 两点 , 若过 M,P 两点的直线 l 垂直于 直线 l 的方程 . 解析 :( )由抛物线的准线 :y=点 M(0,4)到抛物线 d=4+41=417; ( )设 P(x0,A(x1,B(x2,0, 1,过点 2的切线 :k(则1|4|2 0201 (2(,设 别 为 k1,k2(则 k1, k1+)4(2 20 020x xx, 1)4( 20220 由 k( x2=y 联立得 :,由于 x1=x2=x1+k1+21)4(2 20 020x 16200xx,20 4;由 1 20 4=523 直线 l:y= 1151153 x+4. 点评 :解决双切线问题的关键是求两切线斜率的和与积 ;设出“统一”的切线方程 ,不仅有利 于通过建立斜率方程 ,求斜率的和与积 ,而且可以避免 对 两切线 分别运算 ,减少计 算 量 ,优化解题过程 . 的内切圆 子题类型 :(2009 年 江 西 高考试题 )如图 ,已知圆 G:(+y2= 的内接 内切圆 ,其中 A 为椭圆的左顶点 . ( )求圆 G 的半径 r; ( )过点 M(0,1)作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点 ,证明 :直线 圆 G 相切 . 解析 :( )设 B(2+r,过圆心 D ,则 | r: 236 r =6+r) y0=66;由 点 16)2( 2r+(66)2=1 r=32; ( )设过点 相切的直线 :y=,F 的斜率 分别 为 k1,k2(则1|12|22 326k+5=0 k1+89, 25;将 y=代入 66得 :(16)2 异于零的解 x=k k y=116161 22k k E(16161 2121k k), F(k k,116161 2222k k) 161(32)161(32 )161)(161()161)(161( 21222121222221 =2121161 =43 直线 RF:16161 2121k k=43(x+1163221 1k k) y=43 x+116161 2121k k+1162421 1k k(由 326=0116161 2121k k+1162421 1k k=116 24161 21 121 k )536( 48)536(2 1 11 k 37) y=43圆心 G 到直 线 距离 d=32 直线 圆 G 相切 . 点评 :对于椭圆、抛物线、双曲线 ,总存在圆 ,使其与任意内接三角形二边相切时 ,也与另一边相切 ,这是解析几何的著名问 题 ,使用 我们的方法可解决该名题 . 子题类型 :(2014 年 广 东 高考试题 )已知椭圆 C:222(ab0)的一个焦点为 ( 5 ,0),离心率为35. ( )求椭圆 ( )若动点 P(x0,椭圆外一点 ,且点 的两条切线相互垂直 ,求点 解析 :( )令 c= 22 ,c= 5 ,e=5 a=3,c= 5 b=2 椭圆 C:92x+42y=1; ( )设 两切线 为 l1,当 由 3, 2;当 x 轴且不平行于 设 l1,k1, l1:k1(代入 椭圆 :(9)8(;由直线 圆 =0 ( 程 ( 的 根 ,同理可得 程 (的 根 42020由 19420201 3,且当 3, 2 时 ,也满足 点 P 的轨迹方程 是 x2+3. 点评 :非圆曲线的 双切线问题 有别于圆的 双切线问题 是建立斜率方程的途径 ,除此之外的解题过程一致 ,解题思想 相同 ,即把 切线 的斜率视为基本量 :先由 切线 的斜率表示待求量 ,然 后 ,根据 斜率的和与积 ,“整体”去求待求量 . 1.(2012年 湖南 高考 文科 试题 )在直角坐标系 已知中心在原点 ,离心率为21的椭圆 :x2+= 0 的 圆心 .( )求椭圆 E 的方程 ; ( )设 P 是椭圆 E 上一点 ,过 直线 圆 C 相切时 ,求点 P 的坐标 . 2.(2008 年全国高中数学联赛试题 )如 图 ,P 是抛物线 x 上 的动点 ,点 B,C在 y 轴 上 , 圆 (+ 内切于 积的最小值 . 3.(2012年 湖南 高考 理科 试题 )在直角坐标系 曲线 +外 ,且对 ,2 的距离等于该点与圆 ( )求曲线 ( )设 P(x0, 3)为圆 过 2的两条切线 ,分别与曲线 ,当 x=四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 . 4.(2011 年浙江 高考 文科 试题 )如图 ,设 P 是抛物线 C1:x2=y 上的动点 做圆 C2:y+3)2=1 的两条切线 ,交直线 l:y= A,B 两点 . ( )求 到抛物线 ( )是否存在点 P,使线段 抛物线 处的切线平分？若存在 ,求出点 P 的坐标 ;若不 存在 ,请说明理由 . 5.(2013 年 辽宁 高考试题 )如图 ,抛物线 C1:y,C2:2 M(x0,抛物线 过 1 的切线 ,切点 为 A,B(M 为原点 A,B 重合于 O).当 - 2 时 ,切线 斜率为 ( )求 p 的值 ; ( )当 M 在 动时 ,求线段 点 N 的轨迹方程 (A,B 重合于 O 时 ,中点为 O). 6.(2010 年 广 东 高考试题 )一条双曲线22 的左、右顶点分别为 2,点 P(x1,Q(双曲线上不同的两个动点 .( )求直线 点的轨迹 E 的方程 ; ( )若过点 H(0,h)(h1)的两条直线 都只有一个交点 ,且 h 的值 . ( )由 c=2,e=1 a=4,2 椭圆 E:162x+122y=1; ( )设 P(x0,过 相切的直线 l:k(则1620x+1220y=1,且1|)2(|2 00 2 (2-2(2(0 )2( 22020 x y=21 2+2 5 2,518 点 P( 3),(518,557). ( )设 P(2t),C 的斜率分别为 k1, P 与圆相切的直线 l:k(则1|2)12(|221 4t2()k+4 k1+1( 1222tt t,1(4 14 222tt t;在 k( ,令 x=0 得 y=2B(0,2 C(0,2 |2t2|21| 12t 面积 S=21 | 21| 224t t(t1)=2(112t+2 8;当且仅当 t= 2 时 ,等号成立 积的最小值 =8. ( )设 M(x,y),由 |x+2|= 22)5( 知圆 x= x+20) 22)5( =x+5曲线 C1:0x; ( )设 A(x1,B(x2,C(x3,D(x4,C 的斜率分别为 k1, P(-4,与圆 k(x+4)(k 0),则1|9|2 0 728 k1+40y,21(将 k(x+4)代入 0x 消去 x 得 :20(k)=0 10)4(20 k , 20)4(20 k 0021 2010)4)(4( kk =400212102120 16)(4 kk =6400. ( )由抛物线的准线 :y=点 M(0,抛物线 d=311; ( )设 P(x0,过点 P 的圆 k(则 抛物线 处的切线 :x0(0)交直线 l 于点D(0202 3,且1|3|2 0201 ()2(当 1时 ,不合 题意 ),设 别 为 k2(则 k1, k1+)3(2 20 020x xx, 1)3( 20220 k( y=xA=,xB=; 由 xA+2)(11k +21k )=20202 311k +21k =01x 1)3( )3(2 220020 x 1x 48 点 P( 48 ,2 2 ). ( )设 过 点 物线 k(代入 (0 =160 ;因 当 - 2 时 ,k= 322 ;由 点 M(x0,抛物线 (1- 2 )2= 322 p=2; ( )设 A(21x),B(22x),N(x,t);由 ( )知 x=2k k1, k1+k2=x0,x=2 21 =k1+k2=x0,y=81(21(21(k1+21( x0=x