20_6354423_25.函数的不动点是高考不变的考点

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 函数的不动点是高考不变的考点 基本结论和典型 问题 函数 的不动点在函数研究与应用中 (如在函数迭代 和应用于求数列通项 ),占有重要地位 002 年上海春招试题中 f(x),方程 f(x)=f(x)的不动点 ,函数不动点的 几何意义 :就是函数 y=f(x)与 y=一般地 ,方程 个f )( n =x 的解称为 f(x)的 n 阶不动点 ,一阶不 动点简称不动点 ,二阶不动点又称为稳定点 . 母题结构 :记集合 M=x|f(x)=x,N=x|f(f(x)=x,则 : M N;当函数 f(x)单调递 增时 ,M=N; 当 f(x)是连续函数时 ,M 的充要条件是 N . 母题 解 析 :当 f(f(f(=f(N M N; 当 即 f(f(= f(f(设 x0为 f(x)是增函数 ,则 f(f( y0假设矛盾 ;假设 g(x)在 0,1内 单调递增 ,由 g(0)=1,g(1)=e g(x)的值域为 1,e a 0,1 (A). 点评 :解答本题的关键是利用 不动点 结论 :单调递 增 函数的稳定点也是其不 动点 ;函数 f(x)的稳定点实质是函数 f(x)的图像 关于 直线 y=x 对称的 图像 一定是反函数的 图像 )的 交点 . 质 子题类型 :(2002年 上海春招 试题 )对于函数 f(x),若存在 R,使 f(则称 f(x)的不动点 ,已知函数 f(x)=b+1)x+(a 0). ( )当 a=1,b= ,求函数 f(x)的不动点 ; ( )若对任意实数 b,函数 f(x)恒 有两个相异的不动点 ,求 a 的取值范围 ; ( )在 ( )的条件下 ,若 y=f(x)图象上 A、 B 两点的横坐标是函数 f(x)的不动点 ,且 A、 B 两点关于直线 y=2 12求 b 的最小值 . 解析 :( )当 a=1,b= ,f(x)=x x=3,或 函数 f(x)的不动点 是 x=3,或 ( )函数 f(x)恒有两个相异 的不动点 f(x)=x,即 bx+ 对任意实数 b,恒有两个相异的实根 对任意实数 b,不等式 =0 恒成立 ,且 a 0 1=(方程 f(x) 的两根满足 00,. ( )求证 :(b+2c); ( )若 00. ( )证明 :函数 f(x)的图像关于直线 x=21对称 ; ( )若 ff(= f( 称 f(x)的二阶周期点 ,如果 f(x)有两个二阶周期点 x1,确定 ( )对于 ( )中的 x1,a,设 f(x)的最大值点 ,A(x1,ff(),B(x2,ff(),C(x3,ff(),记 面积为 S(a),讨论 S(a)的 单调性 . 由 A= ()=-2,q=p=-1,q=f(x)=以 ,f(f(x)=x (-(3=x (x2-(x-3=x (+(2 (0 B=,- 3 ,3 . 由 A 中只含一个元素 x+c=0 有等根 (,且 A=b;又由 f(f(x)=x f2(x)+bf(x)+c=x f(x)xf(x)+bf(x)+c=x f(x)+(2x+b)f(x)x+c=0 f(x)b+1)x+b+c+1=0,由 b+1)x+b+c+1=0 的判别式 =(b+1)2-4(c+b+1)=(b+1)2-4(b+1)= g(x)在 0,1内 单调递增 ,由 g(0)=1,g(1) =e g(x)的值域为 1,e a 0,1A). ( )令 F(x)=f(x)为 x1,f(x) 的根 ,所以 ,F(x)=a(当 x (0, ,由于 a0 F(x)=a(0 +a(1+ x)0 f(x)1 (x1+ (1 (b+2c); ( )f(t)f(t)-f(t+x1+b),=x1+ 2x1+( )令 g(x)=f(x)-x=x+a,则 00,g(1)=2a0,00 00,且 x1+ (+4a0,且 2 a0,且 b=2; ( )由知 a , a ,不动点 函数 y2=x(x0,y0)的图像 ,不动点 函数 y2=x(x0,f(f(f( f(f(盾 ;若 f(f(f(f( f(f(矛盾 ;综上 ,M=N. f(f(x)=x x)+bf(x)+ x)+bf(x)+(bx+c) x)+bf(x)+f(x) af2(x)bf(x)f(x)0 f(x)a(f(x)+x)+b+1=0; f(x)= x+c=0没有实数根 =( 方程 a(f(x)+x)+b+1=0,即方程 a(b+1)x+ ac+b+1=0的判别式 1=a2(b+1)2ac+b+1)= 0 方程 a(f(x)+x)+b+1=0没 有实数根 方程f(f(x)=x 没有实数根 . 设 f(f(x)唯一不动点为 x0,f(t,则 f(f(=f(t)=f(f(t)=t,由 f(f(x)有唯一不动点 t= f(f(x)的不动 点 ,即存在性得证 ,下证唯一性 : ( )由 f(x)=a(1-2| f(21+x)=a(1-2|x|),f(21a(1-2|x|) f(21+x)=f(2