八年级数学下册分式单元完整全套教案和单元测试练习

第一讲、分式的认识 【引入】 （1） 面积为 3m2的长方形，一边长 4m，则它的另一边长为多少？（2）面积为 Sm2的长方形，一边长 am，则它的另一边长为多少？（3）一箱葡萄售价为 a 元，总量 m 千克，箱重 n 千克，则每千克葡萄的售价是多少？【知识归纳】1、整式和分式统称有理数，即有理式 整 式分 式 （整式包含单项式和多项式，单项式：只含有数与字母的积的代数式；多项式：几个单项式的和；）2、分式的定义：如果 A、B 是两个整式，并且 B 中含有字母，B0，那么式子 AB叫做分式其中 A 叫做分式的分子，B叫做分式的分母分式是不同于整式的另一类式子，如 nmas,等都是分式；且字母可以表示不同的数，因此分式比分数更具有一般性；3、分式 B有意义的条件 ：第一， B 中含有字母；第二，B04、分式 A值为 0 的条件：当 A=0 时且满足 B0 时才会有 AB=0【例题解析】例 1：下列各式中哪些是整式？ 哪些是分式？ x； 2x； 2()xy； (2)3xy （5） x例 2：当 x 取什么值时，下列分式有意义？ ()； (1)4x； 24x例 3：确定字母的取值,使分式值为 0： （1） 、 ； （2） 12x ； （3） 21|x【轻松一练】一、选择题:1.下列各式32211,45xabmay中,是分式的有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2.当 x=-3 时,在下列各分式中,有意义的有( )(1) 33(2)3(2)32, , 4xxxx.A. 只有(1); B. 只有(4); C.只有(1)、(3); D.只有(2)、(4)3、 x为任意实数时，分式一定有意义的是 （ ）A 21 B 21x C 21x D 1x4、若分式 x 无意义,则( ) A.x=1 B.x=-1; C.x=1 或-1 D.没有这样的实数5.对于分式 1 的变形永远成立的是( )A. 2x; B. 21x; C. 21()x; D. 1x6、要使分式 21x的值为零，则 x 的取值为（ ）Ax=1 Bx=-1 Cx1 且 x-2 D无任何实数二、填空题:1.不改变分式的值,使分式的首项分子与分式本身都不含“-号:2ab=_; (2)ab=_.2.当 x_时, 1x 有意义.3.当 a=_时,分式 23a 的值为零.4.当分式 4x=-1 时,则 x_.5、已知 x=2 时，分式 31xk的值为零，则 k= 6.小明参加打靶比赛,有 a 次打了 m 环,b 次打了 n 环, 则此次打靶的平均成绩是_环.三、解答题1、给出 4 个整式：2，x+2，x-2，2x+1（1）从上面的 4 个整式中选择 2 个整式，写出一个分式；（2）从上面的 4 个整式中选择 2 个整式进行运算，使运算结果为二次三项式请你列出一个算式，并写出运算过程2、当 x 的取值范围是多少时，（1）分式 32有意义；（2）分式 142x 值为负数3、已知 xy42，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；（3）y 的值是零；（4）分式无意义4、已知 2+ 3 =22 ，3+ 8 =32 ，4+ 15=42 ，若 10+ ba=102 （a，b 为正整数） ，则 a+b=_.第二讲、分式的约分和分式的通分【知识归纳】1、分数的基本性质：分数的分子与分母都同乘以（或除以）一个不等于 0 的数，分数的值不变2、分式的基本性质：分式的分子与分母都同乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变如果 A、B、M 是整式， AB= ， = ()AMB（其中 M 是不等于零的整式） 注意：分式中的 A，B，M 三个字母都表示整式，其中 B 必须含有字母，除 A 可等于零外，B，M 都不能等于零.因为若 B=0，分式无意义；若 M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.3、约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做约分；:根据分式的基本性质：分子、分母都要同除以最大公约式最大公约式：系数取最大公约数；字母取相同字母；相同字母取最低次幂4、最简分式：经过约分后，分子和分母没有公因式的分式，叫做最简分式；注意：一般分式的约分，都要是所得结果成为最简分式或整式；（一找公因式要找全，二约分要彻底）5、通分：利用分式的基本性质，分子分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，使异分母分式化为同分母分式的过程，这样的分式变形叫做分式的通分；通分的关键是要确定各分式的公分母，各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，即为最简公分母最简公分母的条件：系数取最小公倍数；字母取所有字母；取所有字母的最高次幂注意：为确定最简公分母，通常先将各分母分解因式【例题解析】 );0( (m3n-5 ;) ()2 ;12 ;4) (1 22 nnmxyxx）： （例;24)( ;9273)5( ;168)4( 2513 5102 ;12 22 32323 yxma cabyxabcab ）（）（）： 约 分 （例 423222 5a1(6) 1-x)(5 )4( 31)( 1)( 3 bcnmabcnnm 、；、 ；、）、 通 分 ： （例 【轻松一练】1、选择题:1若分式 yx中的 x、y 的值都变为原来的 3 倍，则此分式的值( ).A、不变 B、是原来的 3 倍 C、是原来的 31 D、是原来的 612化 简 ab2的 结 果 是 （ ） .A、 B、 ab C、 ab D、 ba3式子 2a a2的运算结果为 ( ).A、 b B、 ab42C、 a D、 4a4.下列各式计算正确的是( )A.22ab; B.223()xyxyC.23546xy; D. 1xy5.下列分式中,最简分式是( )A. a B.2xyC.2xD. 2a6.已知 x 为整数,且分式 21的值为整数,则 x 可取的值有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个二、填空题:1、当 x 时，分式 2x有意义. 当 x 时，分式 3x2的值为零.2、化简：3xy 2y3x= .3.计算 a2b 1bccd 1d的结果是_.4.若代数式 4x有意义,则 x 的取值范围是_.三.约分:(1)32105abc; xya32.(3)243269x. 四.通分:（1） 24,xy （2） 12,x13 394,122 xm）（ 五、解答题1、从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并将它化简：x 2-4xy+4y2，x 2-4y2，2x-4y2、 若分式21-b3的值为 0，则 b 的值是多少？ 3、若分式2n的值为正数,求 n 的取值范围.第三讲 分式的乘除法运算【知识归纳】1、分式乘除法性质（1）乘法法则：分式乘分式 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。即： bdac （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；用式子表示为： bcaddcba2.分式的乘方1.分式乘方法则用式子表示是： ()n(n 是正整数,b0) 注意：分式乘方要把分子分母分别乘方；2. ()(1*()(1)nnnnaabb3.分式乘除,乘方混合运算时,要先乘方,再化除为乘,最后进行约分并把结果化成最简分式或整式。正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数【例题解析】例 1： zyx2（2） 34ab 2169； （3）32154xyz； 例 2：（1） cab3 （2） 326xy（3） 242a例 3、 （1）23abc（ ）（2）23yx（ ）； （3） 32ba（ 2-4） 2.【轻松一练】一、选择题： 1.下列计算中，正确的是 （ ）A32abcd 3= acdb B 2abc 3= 4 C32ab =1 D2ab =42、化简 xy1等于（ ）A、1 B、xy C、 yx D、 xy 3.与 ab cd的运算结果相同的是 （ ）A B ab（ cd） C abdc D ab（ dc）4、下列计算正确的是（ ）A、xy y1 =x B、xyxy=1 C、 12x D、 12x 5、化简 x2)(的结果是（ ）A、-x-1 B、-x+1 C、- 1x D、 1x 二、算一算（1） 4ab 23 （2） 1xyz 2 （3）23abc（24） （4） （23ac） 3； （5） （2ab)( a)2； （6）32nbca 3n； （7）3+12nba2+3n； （8）243a 2 （9） （-2xy） 3（2）3（- yx）三、解答题1、先化简，再求值(1) a12，其中 a=1; (2) ,其中 x=32、解方程组： 4253ba，并求 2412ab的值；3、 baa1， 则 式 子，已 知 的值是多少？【小试牛刀】观察下列计算： 从计算结果中找规律，利用规律性计算： ；第四讲、 分式加减法间的运算【知识归纳】同分母分数的加减法：同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减异分母分数相加减，先通分，变为同分母分数，然后再加减1、同分母分式的加减法法则：分母不变，把分子相加减表示为 bca。注意：同分母分数的加减法法则是与同分母分式的加减法法则基本上是一致的，其中只有一字之差，一个是数，一个是式2、异分母分式的加减法法则：先通分变为同分母的分式后再加减表示为： bdcabdca。【例题解析】例 1：（1） yzx5 （2） x43 （3）2()xy+2()x； 例 2 ：（1） 23x 4； （2） + 2 （3）a+2+ 42a 【轻松一练】一、选择题：1、计算 1a 的结果是（ ）A、 B、 a C、-1 D、2 2、化简 ba2的结果是（ ）A、a+b B、a-b C、a 2-b2 D、1 3、计算 )(的结果为（ ）A、 ab B、 ba C、 b D、 ba 4、分式 a-b+2的值为 （ ）A2abBa+b C2abD以上都不对5、计算 )1(a）（ 的结果为（ ）A、a-1 B、-a-1 C、1-a D、a+1 6、化简 b242的结果是（ ）A、-2a-b B、b-2a C、2a-b D、b+2a二、填空题：1.计算 a1 ；2. 2ab+ - 32a ； 3.若 2Mxyy ,则 M=_.4.不改变分式的值,把分式 0.451x 中分子、分母各项系数化成整数为 _.三、计算下列各题： 2ab 2a； 21x-x-1 3y- 259； （4） 2mn 2m；4、解答题1.已知 a+ 1a=6,求2的值. 2、已知分式： xBxA1,12 （x1） 下面三个结论：A，B 相等，A，B 互为相反数，A，B 互为倒数，请问哪个正确？为什么？3.已知 x=2,y= 12,求 2241()()xyxy 的值.【小试牛刀】.阅读下列题目的计算过程:2332(1)1(1)xxx ，=x-3-2(x-1) =x-3-2x+2 =-x-1 (1)上述计算过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:_.(2)错误的原因是_.(3)本题目的正确结论是_.第五讲 整数指数幂的性质【知识归纳】1、当 m,n 是正整数时，（1）a mana ； （2） （a m） na ； （3） （ab） na b n（4）a a a （mn， a0） ； （5） ()nb (b0)（分式乘方法则）.2.零指数幂与负整指数幂（1） )0(0，即：任何不等于零的数的零次幂都等于 1. 注意： 零的零次幂无意义。（2） 为 正 整 数 ）nan,1；即： 任何不等于零的数的 n （ n 为正整数）次幂，等于这个数的 n 次幂的倒数.即可表示为： 1na。注意：正整数的运算性质可推广到全体整数。3.科学计数法利用 10 的正整数次幂，把一个绝对值大于 10 的数表示成 a10n的形式，其中 n 是正整数，1 a10.例如，864000 可以写成 8.64105.类似地，我们可以利用 10 的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a10-n的形式，其中 n 是正整数，1 a10.例如，0.000021 可以表示成 2.110-5.【例题解析】例 1：（1）3 -3； （2） 103（3） 2-05 （4）2)y(x (6) )5( -322 ）（ yx例 2： 用科学计数法表示下列各数：0.00002， 0.000023， 234000， -32000000， -0.00000102.例 3：计算：(1)（210 5）（2.510 4） ； （2） （410 8）（10 2） 3例 4：判断下列等式是否正确？为什么？ ;ba)( ;1 m-yxyxa）（【轻松一练】1、选择题1、下列说法正确的是（ ）A、a 2b3=a6 B、5a 2-3a2=2a2 C、a 0=1 D、 （2） -1=-2 2、下列运算正确的是（ ）A、4x 6（2x 2）=2x 3 B、2x -2= 21x C、 （-2a 2） 3=-8a6 D、 ba23、计算-2 2+（-2） 2-（- 1 ） -1的正确结果是（ ）A、2 B、-2 C、6 D、10 4、下列各式：（- 3 ） -2=9；（-2） 0=1；（a+b） 2=a2+b2；（-3ab 3） 2=9a2b6；3x 2-4x=-x其中计算正确的是（ ）A、 B、 C、 D、二、计算： (1) (310-8)(4103) (2) (210-3)2(10-3)3(3)651073 (4) 264105.0(5) 249 (6) 2891三、填空： _23yx _323yx 264 126 _0132yx _3ba四、用科学记数法表示下列各数：1236500=_ -379001=_378000=_ 5760000000=_0000 04=_ -0. 034=_ 0. 003 009=_ -0.00001096=_ 五、解答题1、计算（1） 、|-3|+（1- 2 ） 0+ 8-（ 21） -2 （2） 、 （-3） 0-（-1 ） 3-2-2+（ 1-）32、先化简，再求值： ,212-2 abab）（ 其中 a=5,b=-3第六讲 分式方程【分式方程定义】1、分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程；例 1. 判断下列各式哪个是分式方程。（1） 5xy （2） x1 (3) 03x21 (4) 521x 例 2.在 ,0中，哪个是方程 1的解，为什么？ 【可化为一元一次方程的分式方程】 1.分式方程通过去分母、整理最后可以化简得到一个一元一次方程的分式方程，叫做可化为一元一次方程的分式 方程；例 1：（1） 52408x； （2）201x（ 可化为一元一次方程的分式方程吗？）【分式方程的解法】 1、解分式方程常用的方法：（1）拆项法；（2）去分母法；（2）换元法；2、解分式方程 （1）能化简的先化简；-化 (2)方程两边同乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程；-约(3)解整式方程；-解 （4）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。-验3、增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根。如何验根：只要把求得的 x 的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根。此时原分式方程无解。例 1：解分式方程 12x解：方程两边同乘最简公分母 (),得整式方程 12x 解整式方程，得检验：将 x=1 代入原方程，可知 x=1 使分式方程两边的分式分母均为零，这两个分式没意义，因此 x=1 不是原分式方程的解. 原方程无解例 2、 （1） 386x （2） 863x两边同时乘以最小公倍数 得： 两边同时乘以最简公分母 得：（ ） A（ ） A例 3、 （09 年上海中考）用换元法解分式方程 013x时，如果设 x1 =y，将原方程化为关于 y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ）A、y 2+y-3=0 B、y 2-3y+1=0 C、3y 2-y+1=0 D、3y 2-y-1=0例 4、 （2005宿迁）若关于 x 的方程 01xm 有增根，则 m 的值是（ ）A、3 B、2 C、1 D、-1例 5. 若关于 x 的方程 )2(1xx有增根，求 m 的值分析：若原分式方程有增根，则增根只能是 x=1 或 x=2，通过把 x=1 或 x=2 代入由原分式方程所化成的整式方程，即可求出 m 的值。解：将原分式方程去分母，化为整式方程，得 2)1(2x， 因为分式方程有增根，只能是 x=1 或 x=2，把 x=1 代入，得 23m；把 x=2 代入，得 2m。所以 m 的值为 或 。【轻松一练】一、1、下列关于 x 的方程中，是分式方程的是（ ）A、 635x B、 xa37 C、 bxa2 D、 312x 2、下列式子不属于分式方程的是（ ）A、 31x B、 51x C、 523x D、 632x 3、若分式方程 m无解，则 m 值为（ ）A、1 B、0 C、-1 D、-24、 （2007山西）关于 x 的方程： 1a 的解是负数，则 a 的取值范围是（ ）A、a1 B、a1 且 a0 C、a1 D、a1 且 a05、 （2011 鸡西）分式方程 )2(1xmx有增根，则 m 的值为（ ）A、0 和 3 B、1 C、1 和-2 D、3二、解方程：（1） 4x1； （2） 351x； （3） =2； 13x-1（4） = （5） + =2 （6） 252x=112x 2x+3 x-3x-2 12-x（7） 251x （8） 06)(2x (9) 2141x. 三、填空题1.当 m=_时，方程 2xm有增根。2.若关于 x的方程 834k无解, 则 k的值为 ；3.若关于 的方程 2x无解, 则 的值为 ；四、解答题1.关于 x的方程 k34有增根，求 k的值。2.若关于 x的分式方程 21xm的解为正数,求 m的取值范围。3、a 为何值时，分式方程 ax13无解第七讲 分式的实际应用【知识归纳】1、列方程解应用题 (1)审； (2)设； (3)列； (4)解； (5)答2、应用题基本公式有四种：(1)行程问题：路程=速度时间(2)数字问题：掌握十进制数的表示法(3)工程问题：工作量=工时工效(4)顺水逆水问题： v 顺水=v 静水+v 水； v 逆水=v 静水-v 水【例题解析】例 1：（2011南平）某商店销售一种玩具，每件售价 92 元，可获利 15%，求这种玩具的成本价设这种玩具的成本价为 x 元，依题意列方程正确的是（ ）A、 92 =15% B、 x92 =15% C、92-x=15% D、x=9215%例 2、为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？解：设甲工厂每天加工 x 件产品，则乙工厂每天加工 1.5x 件产品，依题意得105.210x解得:x=40经检验：x=40 是原方程的根，所以 1.5x=60答：甲工厂每天加工 40 件产品，乙工厂每天加工 60 件产品.【中考真题演练】1、货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶 20 千米,求两车的速度各多少?设货车的速度为 x千米/小时 ,依题意列方程正确的是（ ） 2035x x3520 2035x x35202、 （2011长春）小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为 2800 米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的 4 倍，骑自行车比步行上学早到 30 分钟设小玲步行的平均速度为 x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A、 308x B、 3084x C、 3058x D、302850x 3、 （2010青海）某施工队挖掘一条长 90 米的隧道，开工后每天比原计划多挖 1 米，结果提前 3 天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖 x 米，则依题意列出正确的方程为（ ）A、 19x B、 3901- C、 90x D、304、 （2011青岛）某车间加工 120 个零件后，采用了新工艺，工效是原来的 1.5 倍，这样加工同样多的零件就少用 1 小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工 x 个零件，则根据题意可列方程为 5、某商店经销一种商品，由于进货价降低了 6.4%，使得利润率提高了 8%，那么原来经销这种商品的利润率是多少？6、某车间加工 1200 个零件后，采用了新工艺，工作效率是原来的 1.5 倍，这样加工同样零件就少用 10 h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？7、市政工程公司修建一段 6000 米长的河岸，修了 30 天后，从有关部门获知汛期将提前，公司决定增派施工人员以加快进度，工效比原来提高了 20%，工程恰好比原计划提前 5 天完工. 求该公司完成这项工程实际的天数.8、甲、乙两地相距 360km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客车的速度提高了50%，从甲地到乙地的时间缩短了 2 h，求原来的平均速度 。第八讲 分式单元小测一、选择题：（每小题 2 分，共 20 分）1下列各式： ba， x3， y5， 1432x， ba， )(yxm中，是分式的共有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2下列判断中，正确的是（ ）A分式的分子中一定含有字母 B当 B0 时，分式 A无意义C当 A0 时，分式 的值为 0（A、B 为整式） D分数一定是分式3下列各式正确的是（ ）A 1bax B 2xy C 0,amn D amn4下列各分式中，最简分式是（ ）A yx853 B yx2C 2xy D 2yx5化简 29m的结果是（ ）A. 3 B. 3 C. 3m D. m36若把分式 xy2中的 x 和 y 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ）A扩大 3 倍 B不变 C缩小 3 倍 D缩小 6 倍7A、B 两地相距 48 千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去 9 小时，已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则可列方程（ ）