第二章一元线性回归模型

第二章 一元线性回归模型建立模型是计量经济学的核心，我们首先介绍最简单的模型 一元线性回归 模型，该模型的特点是只有 两个变量 （自变量和因变量），而且函数形式为线性。1第一节 回归分析和回归方程2.1 回归分析1.含义经济变量之间的关系，大体可以分为两种类型：函数关系 随机关系 (相关关系 )随机关系的基本特征是一个变量不能根据其他变量的数值 ,精确地、一一对应地求出其数值，但我们可根据大量统计数据找出其数量变化方面的统计规律，这种统计规律即回归关系，表示这种规律的数学公式称为回归方程，有关回归关系的计算方法和理论称为回归分析。22.内容(1)根据样本观察值确定样本回归方程(2)检验样本回归方程对总体回归方程的近似程度(3)利用样本回归方程分析总体的平均变化规律即 :收集数据、参数估计、回归模型的建立、检验和预测。3人均月收入 X 人均月消 费 支出 Y 条件均 值 E(Y)180 155 160 165 170 175 165200 165 170 174 180 185 188 177220 179 184 190 194 198 189240 180 193 195 203 208 213 215 201260 202 207 210 216 218 225 213280 210 215 220 230 235 240 225300 220 236 240 244 245 237320 235 237 240 252 257 260 262 249340 237 245 255 265 275 289 261360 250 252 275 278 280 285 291 273某总体的家庭收支情况4人均月收入 X 条件均 值 E(Y)180 165200 177220 189240 201260 213280 225300 237320 249340 261360 273人均月收入与人均月消费支出条件均值5 从 散点图 (Scatterplot)可以看出，各个家庭的消费支出存在差异，但是各组家庭的平均消费支出随着收入水平的提高也在不断增加，消费支出的条件均值都落在一条直线上，这条直线描述了家庭收入变化时，消费支出的平均变化规律 。62.1.1 总体回归方程图 2 1中的直线称作总体回归直线，其对应的线性方程 称作总体线性回归方程，系数 称为总体回归参数。称为总体回归方程的随机设定形式回归分析的 主要任务 就是设法求出总体回归参数的具体数值，进而利用总体回归方程描述和分析总体的平均变化规律72.1.2 样本回归方程从前面所举的例子中可以看出，只有了解总体的概率分布，才能够确定总体回归方程，但是在现实的经济生活中，一般没有办法获得总体的数据，只能从总体中得到样本数据，利用样本信息对总体进行推断。设 样本回归方程 为：其中其 随机误差形式 为YX总体回归方程样本回归方程82.1.3 随机干扰项产生原因1、模型中被忽略因素的影响2、模型函数形式设定误差如采用线性函数代替非线性函数3、数据的测量误差登记性误差代表性误差4、随机因素的影响92.2 参数的最小二乘估计2.2.1 古典线性回归模型的基本假设1、 零均值 假定 ：随机误差项的期望或均值为零 ，该假定表明，随机误差项对 Y没有任何影响该假定表明：给定 X对应的每个条件分布都是同方差的，每个 Y值以相同的分布方式在它的期望值 E(Y)附近波动2 、 同方差 假定 ：每一个随机误差项的方差为常数，即 :103、 无自相关假定 ：任意两个随机误差项之间不相关，用数学形式表示为：4、 解释变量 与 随机误差项 不相关假定，即该假定表明，解释变量和随机误差项相互独立，互不相关，它们独自对因变量产生作用112.2.2 普通最小二乘法1.基本原理 ： 选择参数 使得残差平方和 最小由于 是 的二次函数，非负且连续可微，要使残差平方和最小即求其极值，分别用 对 求偏导数，并令偏导数为 0（ 2.2.1）(2.2.2)12整理得：(2.2.3)(2.2.4)求解方程组有13令斜率系数的离差形式14例 2.1 我国税收预测模型1985 2041 8964 18295524 4165681 803532961986 2091 10202 21332382 4372281 1040808041987 2140 11963 25600820 4579600 1431133691988 2391 14928 35692848 5716881 2228451841989 2727 16909 46110843 7436529 2859142811990 2822 18548 52342456 7963684 3440283041991 2990 21618 64637820 8940100 4673379241992 3297 26638 87825486 10870209 7095830441993 4255 34634 147367670 18105025 11995139561994 5127 46759 239733393 26286129 21864040811995 6038 58478 353090164 36457444 34196764841996 6910 67885 469085350 47748100 46083732251997 8234 74463 613128342 67798756 55447383691998 9263 79396 735445148 85803169 6303724816 15税收收入对 GDP的散点图1617从而得到我国税收模型线性回归方程估计出来的回归 (斜率 )系数它表明：国内生产总值每增加一亿元，我国税收将平均增加0.0946亿元182.3 普通最小二乘估计量的性质和分布2.3.1 最小二乘估计量的性质1、 线性 即估计参数 因变量 的线性组合19同样可以证明令 则其中20同理可得212.无偏性即因为所以223、 最小方差性 在所有的线性无偏估计量中，最小二乘估计量的方差是最小的由古典线性回归模型的假定可知，对每一个随机变量，有23证最小方差，设 为斜率系数的另外一个无偏估计量，从而有242.3 .2 估计参数的概率分布经过前面的推导可得：由于估计参数 都是 的线性组合，它们的概率分布取决于252.4 随机误差项方差的估计即总体方差 ，只有知道总体方差才能计算出估计参数的方差，但是总体随机误差项无法观测，因此只能 从它的估计值的残差出发，对总体随机误差项进行估计，可以证明262.5 一元线性回归模型的统计检验 2.5.1 拟合优度检验 ：对样本回归直线和样本观测值之间拟合优度的检验(2.5.2)(2.5.1)从图中可以看出，第 i个因变量 y的观测值与样本均值的总离差27将公式（ 2.5.1）两边平方后再求和，有由线性回归模型的基本假定可知(2.5.3)28上式用文字表示即为：TSS(总离差平方和 ) RSS(残差平方和 ) ESS(回归平方和 )TSS-Total Sum of SquareRSS-Residu