秩亏自由网平差方法研究

1目录目录 11 引言 .11.1 研究进程 .11.2 选题目的 .21.3 本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段 .22 秩亏自由网平差 .32.1 问题的提出 .32.2 秩亏自由网平差原理 .52.3 S 的具体形式 73 平差方法分析及比较 .83.1 重心基准的秩亏自由网平差 .83.2 拟稳平差 .93.3 最小范数准则 minTpxP103.4 秩亏自由网的广义逆解法 113.5 分析与比较 134 实例分析 15结 论 .21致 谢 .22参 考 文 献 23中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 1 页1 引言1.1 研究进程近几十年来，测量平差与误差理论得到了很大的发展，除了经典测量平差方法（条件平差法、间接平差法、附有参数的条件平差法、附有限制条件的条件平差法） ，产生了一些新的测量模型，后者常称为近代测量平差方法.测量平差中的秩亏问题，引起了国内外许多学者的重视，纷纷发表文章从各个不同的角度加以论述.从大多数论文来分析，其中大部分谈论这类问题的求解方法.产生这种现象的原因，一方面是由于秩亏问题较古典平差问题新鲜，另一方面由于解决这类问题存在着各种各样的途径与方法.为了使秩亏问题更好的用于监测的目的，我国测量学者周江文教授于1980 年提出一种拟稳平差方法.这种方法的特点，首先通过分析，确定网中相对稳定的未知量，对整个网做自由网平差的同时，是这些稳定未知量拟合于他们的稳定值.这种方法，既区别于传统固定若干未知量作强制符合，使监测网造成不必要的变形；又区别于自由网平差，因后者未知量没有稳定的基准.这种平差方法既不歪曲观测，又有相对稳定的基准，在相对稳定点事先获得较合理、精度较高的近视值得情况下，能够解答出准度较高的待估参数值.我国大地测量学家刘大杰教授在在论亏秩自由网平差从传统的测量平差观点出发论述和分析亏秩自由网平差之解的性质着重讨论了：1、按“附加条件法”讨论亏秩自由网平差问题，其结果与“假观测值法”相同，但前者较后者更为恰当.2、亏秩平差之解具有方差最小性，也具有无偏性.3、亏秩平差之解与参考系的关系.于正林教授在自由网平差中若干问题的讨论一文中着重讨论了秩亏网平差、拟稳平差、和加权秩亏网平差结果之间的相互转换，以及各种自由网平差所求得的参数估计值的统计性质等问题.中国矿业大学环境与测绘学院，针对自由网秩亏问题，提出一种名为双重条件平差的方法，该方法简洁易懂，且法方程的系数不会出现秩亏问题，对秩亏自由网平差有一定的参考价值.总之，在国内学术界对秩亏自由网平差的研究很多，通过各种途径和方法来中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 2 页探讨和研究.1.2 选题目的“测量平差”是测绘学中一个重要的基础理论和应用学科.近四十年来，随着测绘科技和相关学科的迅速发展，该学科在理论上有突出进展其研究范围也由线性模型的经典平差向相关平差、滤波推估、秩亏平差、动态平差等方向扩展，从单纯地研究随机误差理论扩展至包括系统误差和粗差的全误差系统.而秩亏自由网平差在变形监测、GPS 网平差等有着重要的应用.1.3 本课题要研究或解决的问题和拟采用的研究手段1.3.1 本文研究的问题秩亏自由网是因为控制网中没有足够的起始数据, 即缺乏基准的平差问题 因此按间接平差进行平差时, 其误差方程的系数阵 B 不能满足列满秩的要求, 相应的法方程系数阵 是秩亏阵.为了求定未知参数的唯一确定解, TbNBP除了遵循最小二乘准则外, 还需增加新的基准约束条件 , 等价于最小范数准则, 从而得到未知参数的唯一确定解. 本文主要从传统的测量平差的观点出发, 来分析和论述亏秩自由网平差之解的性质,讨论了亏秩平差之解与传统自由网平差之解的关系, 与广义逆矩阵的关系, 不变量的条件, 以及几种算法.1.3.2 研究途径（1）文献查阅通过阅读 测量学、测量平差与误差理论 、广义测量平差 等专业书籍.了解与掌握误差理论与平差的基本知识和方法.在期刊网上检索相关文献，了解前人相关研究成果，对做好本次研究有重大的指导作用.（2）请教导师对于论文所涉及的知识，所存在的疑惑，通过咨询指导老师，老师的悉心解答对文章具有重要的指导意义.(3) 采集数据中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 3 页通过网上搜集数据，为文章后面的实例提供了有力的依据，使文章结构更加清晰明了.2 秩亏自由网平差2.1 问题的提出在经典间接平差中，必须有足够的起算数据.当控制网中仅含必要的起算数据，通常称为自由网.用经典方法平差这种网，俗称经典自由网平差.当控制网除必要的起算数据，还有多余的起算数据的网称为附合网，在间接平差时，不论是自由网还是附合网，当所选的参数不存在函数关系时，误差方程系数矩阵B 总是列满秩的，即 R(B)=t（t 为必要观测）.由此得到的法方程系数阵的秩BRPNRTb)()(法方程具有唯一解.下图水准网中,假定 的高程已知为 ，待定点 、 的高程平差值为33H1P2， .各段路线长度为 S，高差为等权观测，误差方程 011Xx022Xx（2-1）311Vl的显式为122330vxl法方程及其显式为(2-2)TBxl12w在误差方程系数阵 B 中，存在一个二阶行列式不等于零，如 ，故 B 的10秩 R（B）=2，即 B 为列满秩阵.由此法方程系数的秩 R(N)=R(B)=2，所以法方程有唯一解为(2-3)1()TxBl中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 4 页这就是经典自由网平差情况.水准网图上述间接平差函数模型还可以用下面方式组成：先设 点的平差值3P，参与列误差方程，然后另 ，将 作为参数的条件方033Xx03X0x程，于是其函数模型为(2-4)311VxlB(2-5)0TC式中 ,其显式为0T1122330vxll（即 ）123x30x将（2-5）代入（2-4）式即得，可见俩种模型等价，平差结果相同.在这种情况下，误差方程（2.1-4）的行列式等于零，即10其中有二阶行列式不等于零，故 R(B)=2，数 2 为网中必要观测数，B 为秩亏阵，中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 5 页其列亏数 d=3-2=1，表示缺少一个起始高程，因此给定条件式（2-5） ，转化成附有限制条件的间接平差问题，可求其唯一解.没有起算数据的并以待定点坐标为待定参数的控制网，也是自由网.是一种特殊用途的控制网.一般网中待定坐标个数为 u，必要观测为 t，全部观测为n，则 B 为 nu 阶矩阵，其秩 R(B)=tu，列亏数 d=u-t，相应的法方程系数阵N 也是秩亏阵，R(N)=tu，秩亏数也为 d=u-t.这种网称为秩亏自由网.产生秩亏的原因是控制网中没有起算数据，所以 d 就是网中必要起算数据的个数，对于水准网，必要的起算数据是一个点的高程，故 d=1.对于测角网，必要的起算数据是俩个点的坐标，故 d=4.对于测边网或边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一个方位，故 d=3.秩亏自由网的法方程系数阵 N 奇异，即 ,故 N 的凯利逆 不存在，法01方程有无穷解.如何合理的求解这类平差问题，就是本文要讨论的秩亏自由网平差问题.2.2 秩亏自由网平差原理秩亏自由网平差的误差方程为(2-6)11nuVBxl式中 u 为网中全部坐标参数的个数，系数矩阵的秩 rk（B）=td.122基准约束式为（2-8） ，令12TTduduSS则拟稳平差的基准约束条件为(3-5)20TSx顾及上述关系式，由（2-16） ， （2-14）式得(3-6)1()TsSxQWN中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 10 页(3-7)20TTSxPS由（2-21）式得(3-8)12()TSQ采用 标准化矩阵 ,即 =E，将上式（2-19）式的22G2（3-9）sTxS拟稳平差是全部网点分为俩个部分 ， 是拟稳点的坐标参数，基准约1X2束条件（3-5）仅包含参数 .所以拟稳基准拟稳点组的重心基准平差.2当所取的 时，拟稳平差就转化为经典自由网平差.2ud3.3 最小范数准则 minTpxP通过基准变换推导出 = +SD，从理论上证明了最小范数准则pinTpx与基准约束条件0TxSP等价.即上述的秩亏自由网平差模型（3-10）VBxl0TSPmin中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 11 页与（3-11）等价，俩者平差结果相同.说明基准条件与基准要求等价.在加权范数最小的条件下，即在minTpxP的条件下，未知数的解为PpxQW它的协因数阵为P TxppNG式中1()TpxQ为表示未知参数稳定程度的权矩阵.xP对与 G 阵满足（2-9） （2-10） （2-11）式的条件.3.4 秩亏自由网的广义逆解法秩亏自由网平差按附加基准约束模型（3-10）进行平差.称为附加条件法.广义逆解法则采用与（3-10）的等价模型（3-11）来计算.由（3-11）的前俩式，x 的最小二乘可由以下法方程得出Nx=W (3-12)此解不唯一，因为 N 为奇异阵.考虑参数约束要求minTpxP由（3-12）式可以解的参数加权最小范数的唯一解为VBxlminTpP中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 12 页(3-13)xmpPNW式中 是法方程系数阵 N 的加权最小范数逆， 不唯一，但其解唯一.xmPNxmPN根据加权最小范数逆的定义：对于相容方程 NX=W，则同时满足1/21()TxXp(3-14),()TxNGPGN的 G 称为 N 的加权最小范数逆，为 .xm在附加条件法参数解（2-16）式中的1()TpxQPS是 N 的加权最小范数逆，这里就不证明了.加权最小范数逆不唯一，有多种选择，但必须满足（3-14）中的俩个条件.当 正定是，在平差中常用的一种选择是xP(3-15)11 ()xmTTPxNN特别的当 为单位阵时x(3-16)()xmTP下面对最小范数逆解的唯一性给出证明：设有俩个最小范数逆为 和 ，相应的最小范数解为1mN21,mXW2X因为最小范数逆满足下列俩个方程：mN中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 13 页()TmN所以()TTTmN,12N上述俩式相减的12()TmO俩边右乘以 得到TN1212()()TmmN上式是个二次型，要成立的话，必须有：12()mO俩边同时右乘以任意解向量 ,得Y12()mN又因为 ,故有：YW12()mON所以：12mW可见，最小范数解不因最小范数逆不同而异，最小范数逆的解唯一.3.5 分析与比较秩亏自由网平差按附加基准约束模型（3-10）进行平差.称为附加条件法， 对于重心基准平差，以水准网为例，平差后各高程点的平均值 等于平差前各X个高程近似值的平均值，水准网的重心高程不变.这也说明秩亏自由网平差基准取决于所取坐标近似值系统.在拟稳平差中，基准权 （其中12uxuOPE中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 14 页u1+u2=u，u2d.） ，当 u2=d 时，就转换成为了经典自由网平差，也就是说经典自由网平差是拟稳平差的一种特例.最小范数准则 与基准约束条件 俩者等价，即俩种秩亏minTpxP0TxSP自由网平差模型等价.此外最小范数准则还与 等价（方差最小性）.下()mintrQ面证明：()()TTExtrx()TxxPtrE及 ()()TDxE可得 20 (T TxxPtrQtr上式右边为常量，上述等价性得证. 当 时，则有x()xtmin当 时，则有 .重心基准的参数估计具有最小xP20udiagE2()ixtr迹的性质，而拟稳平差仅拟稳点坐标参数估计具有最小迹.广义逆解与附加条件的解相同，下面证明附加条件参数解(2-15)1()TpxQNPS是 N 的加权最小范数逆.先证明一个有用的等式，由=E ()Txp俩边右乘 S，考虑 NS=0，得TpxQPS由(3-14)式得()TTppxxNSP)pxEQ1()TxxNESPN1()(TTTpxxxPS中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 15 页1()TTxxxPESPxpQN故有 1()xTmpxPS也说明采用模型（3-10）与模型（3-11）进行秩亏自由网平差结果是相同的，再次说明俩模型等价.总之， （1）无论用哪种方法所得到的改正数 V 是一样的，单位权中误差不变.（2）用附加条件法讨论时便于分析和验证估值的最优性，而用广义逆矩阵方法容易导出为未知数的唯一解，并可以根据广义逆矩阵的方法得到适当的算法.（3）对于一定的参考系秩亏平差的解具有方差最小性（即 ）.()xtrQmin（4）对所得的 可作为该网不受起算数据误差影响的内精度值，来衡量整个xQ网的精度.（5）当所平差的秩亏自由网的 G 阵已知时采用附加条件法较方便（测量上遇到的自由网，G 阵一般是已知的） ，当 G 阵不知道时，则宜采用广义逆矩阵法.4 实例分析例 1:图水准网， CBA、 点全为待定点，同精度独立高差观测值为mh35.12， h478.32， mh817.53，平差时选取 CBA、 三个待定点的高程平差值为未知参数 21X、 ，并取近似值)823.54100321mX（中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 16 页试分别用直接法和附加条件法求解参数的平差值及其协因数阵.解：1直接解法误差方程为601032xV法方程为062131x由法方程易知 21N， 121N， 01W所以有 6327)(11TQ未知参数的改正数为)(20)( 111 mWQNNxTT未知参数的平差值为 )821.5340.3210321xX（未知参数的协因数阵为21911 NQTX2附加条件法 解法一中已求得法方程为 0WxN的具体形式为：中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 17 页062131x该水准网有 3 个待定点，所以附加阵为 13TS3113G则有TN1321735291N所以有 )(2065291 mWNx 未知参数的的协因数阵为 2191TXGNQ结果与直接解法完全相同.中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 18 页例 2 如图的水准网中，观测高差距离和各带定点高程近视值列于表 1中分别进行下列自由网平差.如下图（1） 以 6 号点为固定点的经典自由网平差；（2） 以重心基准的自由网平差，P=E；（3） 以 1 2 5 6 四个点为拟稳基准的拟稳平差，Px=diag（1 1 0 0 1 1）.各种平差的参数估值分别记为 及解向量的各范数值；参数估值的协cxrs因数及其迹列于下列图表中.观测数据与改正数 表-1（m）ih（km）is10iiPs（m）0iX（mm）iV12386.80925.71431.225204.1188.7344.80.0490.0530.029-0.00486.80614.8640.023.47-6.38名称大小序 号中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 19 页456789-71.952-61.084-44.17810.84716.35011.409149.2142.9250.0128.298.0196.10.0670.0700.0400.0780.1020.05125.70631.21642.626单位权中误差201.859.04-7.55-1.914.412.561.50未知参数的估值 （mm） 表-2xcr sx1256340.88-0.10-0.50016.948.35-3.38-4.36-4.76-4.2712.684.090.81-0.17-0.57-0.0716.878.28Tx1357.721.03248.3871.32354.171.01其中 =（1 2 5 6 3 4 ） =（1 2 5 6） =（3 4）xx2x未知参数估值 的协因数 表-3xcQxrQxsQ1220.223614.38785.94173.32375.78133.6624参数大小点 号协因数大小点 号中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 20 页563413.8798015.717618.27284.46818.62533.36744.20284.22186.80545.51746.7720tr( )xQtr( )182.481648.491229.4021.8332.7620.47由上表所列的数值，可以清楚看到各种自由网平差所具有的特点.（1）各法所得得改正数 V 相同，均具有 .minTVP（2）普通秩亏自由网平差 ，且有 （ =248.38）和 tr(610ixixTx)=min( =29.40).1ixQx（3）拟稳平差满足 且有 （1.01）和 tr( )=min (tr 10i 1minTx1xQ)=20.47.1x（4）经典平差可以看做一种特殊的拟稳平差，满足 和 tr（ ）=0.60x6x(5)总之，各种秩亏自由网平差均满足 且有 .ixPminTpP中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 21 页结 论通过以上分析和实例验证，在经典间接平差中，必须有足够的起算数据，所选的待定参数之间不存在函数关系时，误差方程的系数阵总是列满秩的，且秩等于必要观测数，法方程系数是一个对称的满秩矩阵，即法方程有唯一解.而秩亏自由网没有起算数据参与的并以待定点参数的网，误差方程不是列满秩，其相应的法方程系数阵为奇异阵，要求出参数的解，一种从传统测量平差观点出发，利用假观测法或附加条件式来讨论，一种是从线性代数观点出发利用广义逆矩阵来讨论，俩种方法得到的结果是相同的，（1）无论用哪种方法所得到的改正数 V 是一样的，单位权中误差不变.（2）用附加条件法讨论时便于分析和验证估值的最优性，而用广义逆矩阵方法容易导出为未知数的唯一解，并可以根据广义逆矩阵的方法得到适当的算法.（3）对于一定的参考系秩亏平差的解具有方差最小性（即 ）.()xtrQmin（4）对所得的 可作为该网不受起算数据误差影响的内精度值，来衡量xQ整个网的精度.（5）当所平差的秩亏自由网的 G 阵已知时采用附加条件法较方便（测量上遇到的自由网，G 阵一般是已知的） ，当 G 阵不知道时，则宜采用广义逆矩阵法.中 南 林 业 科 技 大 学 本 科 毕 业 论 文 秩亏自由网平差方法研究第 22 页致 谢首先，向我的指导老师魏东升老师以衷心的感谢！感谢魏东升老师的细心的指导，在论文的进行过程中，魏东升师做了大量的指导工作，对论文的结构及内容提出了许多的意见和建议.在论文定稿期间，魏东升老师还花了大量的时间做了仔细认真的审阅并提出了许多宝贵的意见.同时也感谢教研室龙江平等老师的细心解答与指导.其次，在论文实践期间，感谢同学在论文过程中给予的帮助！在此，向帮助我的老师、同学、表示深深的感谢，感谢他们对我的支持和帮助.谢谢.中 南 林