行测数学运算---平均数问题解题技巧

【“平均数 ”问题解题技巧 】甲班和乙班，在数学期终考试中，考一样的题目，哪一个班考得好呢？ 把每一个班所有人的得分加起来，然后除以这个班的人数，就得出这个班的平均分数.哪一个班平均分数高，就算哪一个班考得好.篮球队员的身材都很高，一个队里还是有高有矮，哪个篮球队身材更高呢？把一个队所有队员的身高数加起来，再除以全队人数，就算出这个队的平均身高.通常，用平均身高来衡量一个球队的身材高矮.要衡量“若干个数“的大小，常用的办法就是求它们的平均值.求平均值有两种方法，我们通过一个例子来说明.例 1 一学期中进行了五次数学测验，小明的得分是95，87，94，100，98.那么他的平均成绩是多少？解：方法 1 把所有分数加起来，除以次数，即（95879410098）594.8.方法 2 先设一个基数，通常设其中最小的数，例如本题设 87 为基数，求其他数与 87 的差，再求这些差的平均值，最后加上基数，即（95-87 ）+（87-87）+（94-87 ）+（100-87 ）+（98-87）5+87=（8+0+7+13+11 ） 5+87=7.8+87=94.8.对若干个数求平均数，概括成以下两种方法.方法 1：各个数的总和数的个数方法 2：基数+每一数与基数的差求和 数的个数.这两种方法将形成两种解题思路.方法 2 的好处是使计算的数值减小，减少计算量，特别便于心算 .当然，也可以设其他的数为基数.进入中学后，学了负数，我们还可以设中间的那个数作为基数. 方法 2 启示我们，求平均数就是把数之间的“差“扯平.给大家分享下我的个人考试经验：虽然自己在这篇帖子里面说的主要是申论的考试技巧和做题经验，但我更想跟大家分享的是自己在整个公务员考试的过程中的经验的以及自己能够成功的考上的捷径。公务员考试那是一个题海战术，只有在考试前大量做题、训练才会有成功的把握。我比别人成功其实也就是比别人多了一点，我做了很多题。我相信报考公务员的人都抱着一颗一定要成功的心。其实很多人不是没有努力，90%的人都是没有找到好的备战方法。我考试的时候是从报名考试就规定自己每天要做多少题，把所做题目涉及到的所有知识点都必须要搞懂，不懂的就百度，但是这样做耗费太多时间了，先不说别的，当我遇到一个知识点不知道的时候，我就去百度，但是搜到的那些资料我不知道哪一个是对的，只好把所有的都看完了自己再总结，得出结论。这样真的是特别特别的浪费时间，做题的时间也 拿捏不准。有一天我在搜行测的一道模拟题知识点的时候搜到了一个“公务员考试宝典题库训练软件” ，由于国考大战在即，就花了几十块钱买来练习，刚开始的时候觉得题量太多，但是一个月的训练之后，效果非常理想。因为题库里不仅有练习题，还有相关解析，就不用到处去找资料浪费时间了，而且可以卡着时间练习，这样我就能在真正的考试中不会出现时间不够用的情况。真的这个软件在我的公务员考试中那是起了决定性作用的，这也是我今天要推荐给诸位的最有分享价值的好东西 。想学的朋友可以到这里下载，我做了超链接，按住键盘左下角 Ctrl 键，然后鼠标左键点击本行文字即可连接。基本上在这个软件上练习一个月就足够了，行测和申论花用2/3 的时间来练习，其他的时间可以相对少一点。非常极力的推荐给正在高压学习的朋友们，希望你们也能找到最好的方法，成就自己的人生。一、一些简单的问题求平均数可以产生许多数学题，这一节将通过一些简单的例子，增加对“平均“这一概念的理解.例 2 小明 4 次语文测验的平均成绩是 89 分，第 5 次测验得了 97 分，5 次测验的平均成绩是多少？解：按照例 1 中的两种思路，有两种计算方法：先算出 5 次成绩的总和，再求平均成绩，就有（894+97）5=90.6（分）.从算每一次“差“的平均入手，就有89+（97-89）5=90.6（分）.很明显，第二种方法计算简易.例 3 小强 4 次语文测验的平均成绩是 87 分，5 次语文测验的平均成绩是 88.4 分，问第 5次测验他得了多少分？解：两种思路，两种计算方法：从总分数（总成绩）来考虑.第 5 次成绩=5 次总成绩-4 次总成绩=88.45-874=94（分）.从“差的平均“来考虑，平均成绩要提高88.4-87.因此，第 5 次得分应是87+（88.4-87）5=94（分）.请大家想一想，例 2 与例 3 这两个问题之间的关系.例 4 小明前几次数学测验的平均成绩是 84 分，这一次要考 100 分，才能把平均成绩提高到 86 分，问这一次是第几次测验？解：平均每次要提高（86-84）分，这一次比原来的平均成绩多了（100-84）分，平均分摊在每一次上，可以分摊多少次呢？（100-84）（86-84）=8（次）.因此这一次测验是第 8 次.例 5 寒假中，小明兴致勃勃地读西游记 ，第一天读 83 页，第二天读 74 页，第三天读71 页，第四天读 64 页，第五天读的页数，比五天中平均读的页数还多 3.2 页，问小明在第五天读了多少页？解：前四天，每天平均读的页数是（83+74+71+64）4=73（页）.很明显，第五天读的页数比 73 页多，由此平均数就增加了.为了便于思考，画出下面的示意图：图上“73“后面的虚线，表示第五天后增加的平均数，现在要用 3.2 去补足这些增加的平均数值，3.2 共要补足四份，每份是3.54=0.8.由此就知道，第五天读的页数是73+0.8+3.2=77（页）.例 6 甲、乙、丙三人，平均体重 63 千克. 甲与乙的平均体重比丙的体重多 3 千克，甲比丙重 2 千克.求乙的体重.解：甲与乙的平均体重比丙的体重多 3 千克，也就是甲与乙的体重之和比两个丙的体重多32=6（千克）.已知甲比丙重 2 千克，就得出乙比丙多32-2=4（千克）.从方法 2 知道丙的体重+差的平均=三人的平均体重.因此，丙的体重=63- （3 2） 3=61（千克）.乙的体重61+4=65（千克） .例 7 下面是一串有规律的数5，9，13，17，21，25，29.从小到大排到，后一个数与前一个数的差都是 4，求这串数的平均数 .解：上面共有 7 个数，第 2 个数比第 1 个数多 4，而第 6 个数比第 7 个数少 4.因此，第 1个和第 7 个的平均数（5+29）2=17，与第 2 个和第 6 个的平均数（9+25） 2=17 是相等的.同样道理，第 3 个和第 5 个的平均数也是 17.由此，可以得出这串数的平均数，就是头、尾两数的平均值 17.当把一些数排列好前后次序，相邻的两个数，后一个减前一个的差都相等，这列数，就称为等差数列.例 7 中的这串数就是一个等差数列. 等差数列可长可短，不论它有多少数，总有一个基本性质：它的所有数的平均数，就是头、尾两数的平均数.很明显，当等差数列有奇数个数时，这一平均数恰好是最中间的这个数.当等差数列有偶数个数时，这一平均数也就是最中间两个数的平均数.利用这一性质，我们很容易求一个等差数列的所有数之和，它等于平均数乘以数的个数.例 7 中 7 个数之和是（5+29）27=119.例 8 小强在前五天平均每天做了 3.6 道数学题，第四、五两天共做了 5 题. 第六天，为了使后三天的平均数超过六天的平均数，第六天他至少要做多少题？解：（前三天题数3+后三天题数3） 2=六天题数 6.因此，只要后三天平均数超过前三天平均数，也就是后三天做的题数，比前三天做的题数多，后三天的平均数就超过六天平均数了.前三天做的题数是3.65-5=13（题）.第四、五天已做了 5 题，13-5=8，小强第六天至少要做 9 题.答：小强第六天至少要做 9 题.二、部分平均与全体平均例 9 某次考试，21 位男同学的平均成绩是 82 分，19 位女同学的平均成绩是 87 分，全体同学的平均成绩是多少？解：有两种求法：方法 1男同学的总分数 8221=1722，女同学的总分数 8719=1653，全体同学的总分数 1722+1653=3375，全体同学的人数 21+19=40，全体同学的平均成绩 337540=84.375.方法 2以男同学的平均成绩 82 分作为计算的基数，女同学每人平均多（87-82）=5（分） ，19 人多了 519=95（分） ，现在平均分摊给全体 40 人.因此，全体同学的平均成绩是82+（87-82）1940=82+9540=84.375（分）.注意 从部分的平均数，来求全体的平均数，不能简单地把部分平均数再进行求平均，如例9， （82+87）2=83.5，它不是全体的平均成绩 .这一基本概念，大家必须弄清楚.例 10 甲班 52 人，乙班 48 人. 语文考试中，两个班全体同学的平均成绩是 78 分，乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高 5 分.两个班的平均成绩各是多少？解：两个班的全体人数是52+48=100（人）.他们的分数总和是78100=7800（分）.以甲班同学的平均成绩为基数，乙班每人平均多了 5 分，如果乙班的分数总和少了548=240（分） ，乙班的平均成绩就与甲班的一样，因此甲班的平均成绩是（7800-240）100=75.6 （分）.乙班的平均成绩是75.6+5=80.6（分）.例 11 女同学的人数是男同学人数的一半，男同学的平均体重是 41 千克，女同学的平均体重是 35 千克，全体同学的平均体重是多少千克？解：题目没有告诉我们女同学或男同学有多少人，怎么办？设全体女同学是 1 组人，那么男同学就是 2 组人.女同学的体重总和： 351 组人数.男同学的体重总和： 412 组人数.全体总人数：（1+2）组人数.全体同学平均体重是（351+412）（1+2） =39（千克）.上面算式中每一项都有“组人数”，因此可以约掉.实际上和“1 个女同学与 2 个男同学”的情形一样.还有一种计算方法，以女同学体重为基数，2 组人每人都多（ 41-35）千克，平摊给（2+1）组人，因此全体同学的平均体重是35+（41-35）2（2+1）=39 （千克）.例 12 某班有 50 人，在一次数学考试后，按成绩排了名次.结果，前 30 名的平均分数比后20 名的平均分数多 12 分.一位同学对“ 平均”的概念不清楚，他把前 30 名的平均成绩，加上后20 名的平均成绩，再除以 2，错误地认为这就是全班的平均成绩. 这样做，全班的平均成绩是提高了，还是降低了？请算出提高多少或降低多少.解：全班平均成绩降低了.按照这位同学的计算，相当于把前 30 名同学比后 20 名同学平均多出的 12 分作了平分.因此相当于前 30 名同学每人少了 6 分，后 20 名同学每人多了 6 分，合起来全班的总分就少了306-206=60（分）.全班的平均成绩也就降低了60（30+20）=1.2（分）.例 13 某学校入学考试，确定了录取分数线. 报考的学生中，只录取了 均分比录取分数线低 26 分. 所有考生的平均成绩是 70 分.那么录取分数线是多少？我们把录取学生的人数算作 1，没有被录取的人数算作 3.以录取分数线作为基数，没有被录取的考生总共少了 263 分，录取的学生总共多了 101分，合起来，总共少了263-101（分）.对所有考生来说，每人平均少了（263-101）（3+1） =17（分）.也就是每一考生的平均分 70（分）比录取分数线少了 17（分） ，因此录取的分数线是70+17=87（分）.注意 这道题可检验如下：没有被录取的考生的平均成绩是 87-26=61（分） ，被录取考生的平均成绩是87+10=97（分）.全体考生的平均成绩是61+（97-61）（3+1）=70 （分） ，或（613+971）（3+1） =70（分）.由此就知道，上面解答是正确的.例 14 某次数学竞赛原定一等奖 10 人，二等奖 20 人. 现在将一等奖中最后 4 人调整为二等奖，这样得二等奖的学生平均分提高了 1 分，得一等奖的学生的平均分提高了 3 分.那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？解：根据题意前六人平均分=前十人平均分+3.这说明在计算前十人平均分时，前六人共多出 36=18（分） ，来弥补后四人的分数，因此后四人的平均分比前十名平均分少184=4.5（分）.当后四人调整为二等奖后，这时二等奖共有 20+4=24（人） ，平均每人提高了 1 分，这由调整进来的四人来供给，每人平均供给244=6（分）.后四人平均分=（原二等奖平均分）+6.与前面算出的前六人平均分比较，就知原来一等奖平匀分比原来二等奖平均分多4.5+6=10.5（分）.我们可以画出示意图来说明上面的计算.从前十名来说，前六名用二条虚线所夹部分，来弥补后四人的二条虚线所夹部分这一块的不足.对二等奖来说，可以画出如下示意图：三、从平均数求个别数例 15 A，B，C ，D 四个数的平均数是 38，A 与 B 的平均数是 42；B ，C，D 三个数的平均数是 36，那么 B 是多少？解：A，B，C ，D 四个数的平均数是（A+B+C+D）4=（A+B ）4+（C+D ）4=（A+B） 2+（C+D）+22.这说明 A 与 B 的平均数，C 与 D 的平均数，两者的再平均，就是四个数的平均数 .因此，C 与 D 的平均数是382-42=34.题目已给出 B，C ，D 三个数的平均数 36，B 是34+（36-34）3=40.还有一个解法：四个数的平均数是 38，B，C，D 三个数的平均数是 36，还是按照例 3 中的计算，A 是36+（38-36）4=44.己知 A 与 B 的平均数是 42，因此 B 是422-44=40.注意 知道若干个数的平均数，也就是知道了它们的和，已知 A，B ，C，D 四个数的和，又已知其中三个数 B，C ，D 的和，自然能求出（做一次减法）第四个数 A.又已知 A 与 B 的和，就很容易求出 B，这就是例 15 的实质.例 16 某次考试，A，B，C，D，E 五人的成绩统计如下：A， B，C， D 的平均分 75 分.A， C，D，E 的平均分 70 分.A， D，E 的平均分 60 分.B， D 的平均分 65 分.求 A 得了多少分.解：由 A，C，D，E 四人平均分和 A，D，E 三人平均分，按照例 3 的方法，就可求出 C 的得分：60+（70-60）4=100（分）.由 A，B，C ，D 四人平均分和 B，D 两人平均分，按照例 15，可以求出 A 与 C 平均分：752-65=85（分）.上面已算出 C 得 100 分，因此 A 得852-100=70（分）.例 17 某次考试，小英等 7 人的平均分是 78 分，其中最高得分是 97 分，最低得分是 64分，小英得了 88 分，余下的 4 个人中有 3 个人得了相同的分数.分数各不相同的 5 个人的平均分是 80 分，其中还有一位同学与别人的得分都不同，他的得分是多少分？解：7 个人的分数总和是787=546（分）.分数各不相同的 5 个人平均分是 80 分，那么另 2 位分数相同的同学每人得分是（546-805）2=73（分） .这位与别人的得分都不相同的同学，他的得分是546-97-64-88-733=78（分） .例 18 A，B，C，D 四个数，两两配对可以配成六对，先请你想一想，是怎样配对的. 这六对数的平均数分别是12，13，15，17，19，20.原四个数的平均数是多少？解：每一个数与其他三个数可以配成三对，因此在上面六个平均数中，每个数都要被计算3 次，每次计算中都用一个数的一半.因此，这六个平均数之和是 A+B+C+D 的 3 倍的一