2004年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷

2004 年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷 （2004.9.12. 8:00 10:30） 三 题 号 一 二 13 14 15 16 总分 得 分 评卷人 考生注意： 1 本试卷共三大题（16 个小题） ，全卷满分 150 分 . 2完卷时间 150 分钟 ,用钢笔,签字笔或圆珠笔作答.不能使用计算器 . 3.解答题书写不要超出装订线。 一、选择题（本题满分 24 分，每小题 4 分） 本题共有 6 个小题,每题均给出 A、B、C、D 四个结论,其 中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后 的括号内.每小题选对得 4 分;不选、选错或选出的代表字母超 过一个（不论是否在括号内） ，一律得 0 分。 1 已知,点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,当 取最小值时,点(x ,y )与原点的距离2xy 是 ( ) A . B . C D354163498 2设双曲线 的离心率 e ，则双曲线的两条渐近线夹角 的 2xyab2,3 取值范围是 ( ) 得 分 评卷人 A. B C D ,63,62,322,3 3. 正四面体的 4 个面分别写着 1，2，3，4，将 4 个这样均匀的正四面体同时投掷 于桌面上，与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的乘积被 4 整除的概率是 ( ) A B C D. 189616136 4甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打比赛,另一人当裁判.每一局 的输方去当下一局的裁判,而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时,发现甲共打 12 局,乙共打 21 局,而丙共当裁判 8 局.那么整个比赛的第 10 局的输方 （ ） A必是甲 B必是乙 C必是丙 D不能确定 5曲线 x2+y2ay=0 与 ax2+bxy+x=0 有且只有 3 个不同的公共点,那么必有（ ） A(a 4+4ab+4)(ab+1)=0 B(a 44ab4)(ab+1)=0 C(a 4+4ab+4)(ab1)=0 D(a 44ab 4)(ab1)=0 6两个周期函数 y1,y2 的最小正周期分别为 a,b,且 b = na (n 2,n 为整数).如果函数 y3=y1+y2 的最小正周期为 t . 那么五种情形：”tb” 中,不 可能出现的情形的个数是 （ ） A. 1 B2 C3 D4 二、填空题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 本题共有 6 个小题，要求直接将答案写在横线上 . 得 分 评卷人 京翰教育中心 7已知 log a x = 24, log b x = 40, log abc x = 12 . 那么 log c x = 8 . 设 f (x) = (x2 8x +c1 ) ( x2 8x+c2 ) (x2 8x +c3 ) ( x2 8x+c4 ) . M =xf( x )= 0 . 已知 M =x 1,.x2 , x3, x4.,x5, x6, x7, x8 N . 那么 maxc 1,.c2, c3, c4 minc 1,.c2, c3, c4= 9 . 如果实数 x ,y 满足 3x + 2y1 0 , 那么 u = x2 + y2 + 6x2y 的最小值是 . 10 . 不等式组 sinx cosx tanx cotx 在 (0 , 2 )中的解集 (用区间表示)是 . 11 . 四面体 ABCD 中, AB = CD = a , BC = AD = b , CA = BD = c . 如果异面直线 AB 与 CD 所成的角为 , 那么 cos = . 12 设 a , b , x N* , a b . X 为关于 x 的不等式 lgblga 1 时 , f ( x ) = 1 + u 1 + 1 + 2 . ( 5 分 ) 当 u b” 不可能. 下面的例子表明另外的三种情形都可能出现：取 y2 = sinx + sin , 则 b = 6 .3x (1).令 y1 = sin , 此时 a =3 , y3= sinx, t =2 , t cosx 排除区间 , 由 tanx cotx 排除 , 由 cosx tanx 排除 , 解集为 ( , arcsin ) . , 43215 11. (1) 向量法： 记 = , = , = .由已知条件, | | = | |, a2 + b2DCaAbBcc 2 = c2 . 故 = ,同理 = . cos = =baba2c2ba|)( .2 (2) 几何法： 该四面体各棱是一个长方体的面对角线 , 设长方体三边为 x , y , z , 则 a2 = y2+z2 , b2 = z2+x2 , c2 = x2+y2 . 是 y , z 矩形中两对角线的夹角 , 故 cos =