2009年全国高考文科数学试题及答案-湖南卷

2009 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）含答案 数学（文史类） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 的值为 【 D 】2log A- B. C. D. 21212 2. 抛物线 =-8x 的焦点坐标是 【 B 】 2y A（2，0） B. （- 2，0） C. （4，0） D. （- 4，0） 3设 是等差数列 的前 n 项和，已知 =3， =11，则 等于 【 C 】nsna1a57s A13 B. 35 C. 49 D. 63 4如图 1 D，E，F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则 【 A 】 A + + =0 BC B =0 C =0EF D =0 图 1 5某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人 到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A14 B. 16 C. 20 D. 48 6平面六面体 - 中，既与 共面也与 共面的棱的条数为【 C 】BCD1A1A1 A3 B. 4 C.5 D. 6 7若函数 y=f(x)导函数在区间 a,b是增函数，则函数 y=f(x)在区间a,b上的图象可 能是（A） 2 8. 设函数 在 内有定义，对于给定的正数 K，定义函数()yfx,) (),(fxfkkkf 取函数 。当 = 时，函数 的单调递增区间为 【C】()2xfK1f A B C D ,0,)(,)(1,) 二 填空题：本大题共七小题，没小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上。 9 . 某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运 都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 . 10. 若 ，则 的最小值为 .0x2x2 11. 在 的展开式中， 的系数为 6 (用数字作答) 。4(1) 12 . 一个总体分为 A.B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本。已 知 B 层中每个个体被抽到的概率都为 ，则总体中的个体数为 120 12 13. 过双曲线 C： 的一个焦点作圆 的两条切线， 21xyab(0,)b22xya 切点分别为 A.B，若 （O 是坐标原点），则双曲线线 C 的2AB 离心率为 2 。 14. 在锐角 中， 则 的值等于 2 ， 的取值范围ABC6bxlycosCA 为 。(,3) 15. 如图 2，两块斜边长相等的直角三角板在一起， 若 ，则ADxByC , 312 图 2 三 解答题：每小题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤。 16 （每小题满分 12 分） 以知向量 。(sin,cosin),(1)ab 本文由教育网站大全编辑整理，中国两千万教师上网主页，您还等什么？ 输入 ，掌握一手教育咨询，下载最新试卷，马上设为主页吧！ 发表教育论文，推荐到 文科爱好者杂志： 理科爱好者杂志： 读与写杂志： （）若 / ，求 的值；abtn （）若 求 的值。 ,0, 解（） 因为 ，所以 ，于是 ，故/2sico2sinsincoa tan = 14 （）由 = 知， +（cos -2sin =5，所以ab2sin2) 1-2sin2 +4 =5.si 从而-2sin2 +2（1-cos2 =4，即 sin2 +cos2 = -1，于是 Sin（2 + ）= - 42 又由 00， 在区间（ ， ）内为增函数；1 ()f 当 x 时， （ ）0， 在区间（ ， ）内为减肥函数2fxx12x 当 时， （ ）0， 在区间（+ ， ）内为增函数1()f 所以 在 = 处取极大值，在 = 处取极小值()fx1x1 因此，当且仅当 时，函数 在 处存在唯一极小值，所以2c()f22tx 于是 的定义域为()gt(, 由 得 于是/2)310fttc231t2(66,()g 当 时， 所以函数 在区间 内是减函数，2t/2)6(),ttt)gt2, 故 的值域为()g(,8. cos,nADurr 本文由教育网站大全编辑整理，中国两千万教师上网主页，您还等什么？ 输入 ，掌握一手教育咨询，下载最新试卷，马上设为主页吧！ 发表教育论文，推荐到 文科爱好者杂志： 理科爱好者杂志： 读与写杂志： 20 （本小题满分 13 分） 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆x 边形是一个面积为 8 的正方形（记为 Q） （1） 求椭圆 C 的方程： （2） 设点 P 是椭圆 C 的左准线与 轴的交点，过点 P 的直线 L 与椭圆 C 相交x 于 M.N 两点，当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内（包括边界）时，求直线 L 的斜率的取值范围。 解 （1） 依题意，设椭圆 C 的方程为 焦距为 ，由题设条 21(0),xyab2c 件知， 所以 28,abc24.b 故椭圆 C 的方程式为 214xy （3） 椭圆 C 的左准线方程为 所以点 P 的坐标 ，显然直线 的,(4,0)l 斜率 存在，所以直线 的方程为 。kl()ykx 如图，设点 M， N 的左边分别为 线段 MN 的中点 G ，12(,), 0(,)xy 由 得22 (4)18ykxx 222(1)6380k 8 由 解得 22(16)4()38)0kk2k 因为 是方程的两根，所以 ，于是12,x 2126x = ，012x28k024()1kykx 因为 0，所以点 G 不可能在 轴的右边，有直线 , 方程分0x28k 12FB1 别为 所以点 在正方形 内（包括边界）的充要条件为,yxQ002xy 既 亦即 222481kk210k 解得 ，此时也成立31k 故直线 斜率的取值范围是 , )l 321 21.（本小题满分 13 分） 对于数列 若存在常数 M0,对任意的 ，恒有nunN 1121n u 则称数列 为 数列nB (I) 首项为 1，公比为 的等比数列是否为 B-数列？请说明理由;2 (II) 设 S 是数列 的前 n 项和。给出下列两组判断：nxn A 组：数列 是 B-数列。 数列 不是 B-数列。xn 数列 是 B-数列。 数列 不是 B-数列n S 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 本文由教育网站大全编辑整理，中国两千万教师上网主页，您还等什么？ 输入 ，掌握一手教育咨询，下载最新试卷，马上设为主页吧！ 发表教育论文，推荐到 文科爱好者杂志： 理科爱好者杂志： 读与写杂志： 判断所给命题的真假，并证明你的结论； ()若数列a 是 B 数列，证明：数列 a 也是 B 数列。n2n ,则 ，于是解 （ I） 设 满 足 题 设 的 等 比 数 列 为 a1()n 1221 31()()*(),2nnnna - + - + - 1nn1a21a = 2n32 -（ ） （ ） =3 3n1（ ） 所以首项为 1，公比为 的等比数列是 B-数列 2 （）命题 1：若数列 是 B-数列，则数列 是 B-数列nxns 此命题为假命题 事实上设 =1，n N，易知数列 是 B-数列，但 =n，xnns - + - + - =n1nss12s1 由 n 有的任意性知，数列 不是 B-数列。n 命题 2：若数列 是 B-数列，则数列 不是 B-数列。nsnx 此命题为真命题。事实上，因为数列 是 B-数列，所以存在正数 M，对任意的 n N，s 有 - + - + - M 1n