数学建模思想在解高考数学题中的应用探究

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 数学建模思想在解高考数学题中的 应用探究 【摘要】数学建模是“普通高中 数学课程标准修订” 提出来的六大数学 核心素养之一，近几年高考数学试题非 常重视数学建模思想的考查，本文以高 考数学真题为载体，从函数等五大数学 模型的应用进行探究. 中国论文网 /9/view-13003183.htm 【关键词】数学建模高考数学题； 探究 普通高中数学课程标准（修订） 提出我国中学生在数学学习中，应培 养好六大核心素养，数学建模就是其中 的六大数学核心素养之一，它是运用数 学思想、方法和知识解决实际问题的过 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 程，把现实世界的原型问题进行数学抽 象与提炼，用数字、符号或图形表格等 建立数学模型，继而应用数学工具、方 法求出数学模型的解，进而还原为实际 问题的解，并与原型问题进行对照修改、 深化、扩展，再寻求更优化的解答.近几 年高考相当重视数学建模思想的考查， 下面以高考数学题为载体进行探究. 一、函数模型 挖掘数学应用问题的隐含条件， 建立目标函数，把问题转化为函数模型 求解. 例 1（2016 年四川卷）某公司为 激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资 金比上一年增长 12%，则该公司全年投 入的研发资金开始超过 200 万元的年份 是（）. （参考数据： lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30） A.2018 年 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年 解析设 2015 年后的第 n 年，该 公司全年投入的研发资金为 y，由题意 有 y=130（1+12% ）n，又 y200，得 1.12n2013，两边取对数，得 nlg2- lg1.3lg1.12195，所以 n4，选 B. 点评：本题是指数函数模型在实 际生活中的应用，考查了在实际问题中 提取数量关系、建立数学模型，在不等 式的求解过程中，考查了数据处理和运 算求解能力. 二、线性规划模型 线性规划是辅助人们进行科学管 理的一种数学方法，在经济管理、交通 运输、工农业生产等经济活动中有着广 泛的应用.在高考数学试题中，有关线性 规划的应用与求解是热点与难点，主要 有迁移线性规划思想求函数的最值问题、 通过二元一次不等式组表示的平面区域 来确定实际问题的最优解等数学模型. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 例 2（2016 年全国卷）某高科 技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、 乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要 甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工 时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时，生产 一件产品 A 的利润为 2 100 元，生 a 一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现 有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在 不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为多少 元？ 解析设生产产品 A，产品 B 分别 为 x，y 件，利润之和为 z 元，那么， 1.5x+0.5y150，x+0.3y90，5x+3y600 ，x0，xN+，y0，yN+. 目标函数为 z=2 100x+900y.作出 二元一次不等式组的平面区域（如图所 示） ，即可行域为图中的阴影部分，包 括边界内的整数点，图中阴影四边形的 顶点坐标分别为（60，100） ， （0，200） ， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 （0，0） ， （90，0） ，当直线 z=2 100x+900y 经过点（60，100）时，z 取 得最大值 216 000 元. 点评：试题以工业生产中的现实 问题为载体，考查线性规划最优解的模 型，侧重数学建模、分析解决问题和运 算求解能力的考查，对数形结合思想和 方法要求较高. 三、排列组合模型 排列组合应用问题蕴含着许多丰 富的数学思想和方法.其因内容的抽象、 思维的独特、解题方法的特殊性而成为 高考数学科命题的一个热点和考点，若 能认真理解题意，抽象出其中的数量关 系，构建“排位置 ”“投球入盒”“抓球”“填 格子”等几种数学模型来求解，则可简 捷、巧妙地解决. 例 3（2013 年全国卷）6 个人排 成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同 排法共有种.（用数字作答） 解析本题属有条件的“排位置” 模 型，可用直接法或间接法求解. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 思路 1：先排甲、乙共有 10A22=20（种）排法，再排其余的 4 个 人，有 A44=24（种）排法，据分步法 原理，可知所求共有 2024=480（种）. 思路 2：用间接法.6 个人排成一 行的排法总数为 A66=720（种） ，其中 甲、乙两人相邻的排法数为 2A55=240（种） ，所以 6 个人排成一行， 其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 720-240=480（种）. 点评：试题以生活中的真实情境 为素材，考查考生运用分类加法计数原 理和分步乘法计数原理，解决实际问题 的能力，在运算过程中应合理应用排列 组合公式优化运算，引导考生关心身边 的数学问题、发展数学应用意识. 四、立体几何模型 新课程标准明确指出教师可借助 几何模型，在直观认识和理解空间点、 线、面的位置关系基础上，抽象出空间 线、面的位置关系的定义，并了解可以 作为推理依据的公理和定理.在高考中常 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 考的模型有柱体、锥体和台体，因此， 教师应灵活运用模型化，处理立体几何 知识及生活中与几何图形有关的应用问 题，帮助学生找到解题突破口，把问题 化难为易. 例 4（2015 年全国卷） 九章 算术是我国古代内容极为丰富的数学 名著，书中有如下问题：“今有委米依 垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为 米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆 放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之 一） ，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的 高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各 为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的 米约有（）. A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛 解析因为米堆为一个圆锥的四分之一， 由米堆底部的弧长为 8 尺，可知圆锥底 面圆的四分之一圆周长为 8 尺，从而可 得米堆的底面半径 R=16 尺.又圆锥的 高为 5 尺，可算得米堆的体积为 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 V=3203 立方尺，所以可估算出米堆约 有 22 斛，选择 B. 点评：试题以九章算术中的 问题为背景，传承了中国文化，考查了 考生的应用意识和数学建模思想.根据米 堆形状和所给条件，建立立体几何模型， 计算出堆放米的体积，着重考查考生空 间想象、逻辑推理、运算、应用和估算 能力，体现了新一轮高中课程改革的要 求. 五、概率统计模型 在近几年的全国和各省市高考试 题中， “概率与统计 ”应用问题是考查的 重点内容，试题非常注重理论联系生活 实际，常考的数学模型有古典概率、互 斥事件、条件概率、分布列、二项分布、 正态分布、直方图、茎叶图、线性回归 模型等等. 例 5（2014 年全国新课标卷） 4 名同学各自在周六、周日两天中任选 一天参加公益活动，则周六、周日都有 同学参加公益活动的概率为（）. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 A.18B.38C.58D.78 解析由题意知 4 名同学各自在周 六、周日两天中任选一天参加公益活动 有 24 种情况，而 4 名同学都选周六有 1 种情况，4 名都选周日有 1 种情况， 故周六、日都有同学参加公益活动的概 率为 p=24-1-124=78，故选 D. 点评：试题选取考生熟悉的情境， 属于简单的古典概率模型问题，考查了 概率的基本知识和方法，引导考生关注 生活中的数学问题，增强数学应用意识. 例 6（2016 全国新课标卷）某 险种的基本保费为 a（单位：元） ，继续 购买该险种的投保人称为续保人，续保 人本年度的保费与其上年度出险次数的 关联如下： 上年度出险次数 012345 保费 0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 设该险种一续保人一年内出险次 数与相应概率如下： 一年内出险次数 012345 概率 0.300.150.200.200.100.05 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 （1）求一续保人本年度的保费 高于基本保费的概率； （2）若一续保人本年度的保费 高于基本保费，求其保费比基本保费高 出 60%的概率； （3）求续保人本年度的平均保 费与基本保费的比值 解析（1）设 A 表示事件：“一续 保人本年度的保费高于基本保费”，则 事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大 于 1，故 P（ A） =0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. （2）设 B 表示事件：“一续保人 本年度的保费比基本保费高出 60%”， 则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数 大于 3，故 P（B）=0.1+0.05=0.15. 又 P（ AB）=P（B） ， 故 P（ B|A）=P （AB）P（A） =P（B）P（A）=0.150.55=311， 因此，所求概率为 311. （3）记续保人本年度的保费为 X，则 X 的分布列为： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a P0.300.150.200.200.100.05 EX=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a 0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a， 所以m 保人本年度的平均保费 与基本保费的比值为 1.23. 点评：试题考查互斥事件、条件 概率、分布列等模型，通过概率、数学 期望的计算考查运算求解能力，通过随 机变量的分布列考查数据处理能力，利 用贴近生活的实际问题考查分析问题、 解决问题的能力、应用意识和数学建模 思想方法. 纵