1.2数列的极限

第二节 数列的极限 一、数列极限的定义 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的 引例 我国古代数学家刘徽（公元 3 世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面 积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用 设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为 ；再作内接正十二边1A 形，其面积记为 ；再作内接正二十四边形，其面积记为 ；循此下去，每次2A3 边数加倍，一般地把内接正 边形的面积记为 这样，就得到一126nNn 系列内接正多边形的面积： ， nA321 它们构成一列有次序的数当 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而n 以 作为圆面积的近似值也越精确但是无论 取得如何大，只要 取定了，nA n 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积因此，设想无限增大（记为 ，读作 趋于无穷大） ，即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中， 内接正多边形无限接近于圆，同时 也无限接近于某一确定的数值，这个确定nA 的数值就理解为圆的面积这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数 （所谓数列） 当 时的极限在圆面积问题中我们看， nA321 到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基 本方法，因此有必要作进一步的阐明 数列的概念 如果按照某一法则，有第一个数 ，第二个数 ，这样依次1x2x 序排列着，使得对应着任何一个正整数 有一个确定的数 ，那么，这列有次nn 序的数 ， nxx321 就叫做数列 数列中的每一个数叫做数列的项，第 项 叫做数列的一般项例如：n ， ；， ；， ；， ；， nn都是数列的例子，它们的一般项依次为 n nn111， 以后，数列 ， nxx321 也简记为数列 nx 数列极限定义 一般地：如果数列 与常数 有下列关系：对于任意给定的正数 （不论它na 多么小） ，总存在正整数 ，使得对于 时的一切 ，不等式NNnnxx 都成立，则称常数 是数列 的极限，或者称数列 收敛于 ，记为an nxa 或 ，axlimn 如果数列没有极限，就说数列是发散的 如： 1li0,n 例 1 已知 ，证明数列 的极限是 0。2(1) nnxnx 证 22()1|0|nna （设 e N 时就有|nxa12()|0|n 即 2(1)limnn 例 2 证明 2lim(1)0n 析 不能直接解 来求 N，需变形，放大，再求 N。|n 证 22|1|1 解得 n 取 ，2N 故 210,|1|Nn 因此， 2lim()0n 二、收敛数列的性质 性质 1（极限的唯一性） 数列 不能收敛于两个不同的极限nx 性质 2（收敛数列的有界性） 如果数列 收敛，那么数列 一定有nxnx 界 性质 3 如果 且 ，那么存在正整数 ，当 时，axnlim0()0N 有 0()nx 性质 4（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列 收敛于 ，那么它nxa 的任一子数列也收敛，且极限也是 a 练习 P26 1 、2 小结与思考： 1中国古代数学家刘