导数在函数中的应用

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 导数在函数中的应用 摘 要：新课程利用导数求曲线 的切线，判断或论证函数的单调性，函 数的极值和最值。导数是分析和解决问 题的有效工具。 中国论文网 /2/view-12905824.htm 关键词：导数 函数的切线 单调 性 极值和最值 导数（导函数的简称）是一个特 殊函数，它的引出和定义始终贯穿着函 数思想。新课程增加了导数的内容，随 着课改的不断深入，导数知识考查的要 求逐渐加强，而且导数已经由前几年只 是在解决问题中的辅助地位上升为分析 和解决问题时的不可缺少的工具。函数 是中学数学研究导数的一个重要载体， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 函数问题涉及高中数学较多的知识点和 数学思想方法。近年好多省的高考题中 都出现以函数为载体，通过研究其图像 性质，来考查学生的创新能力和探究能 力的试题。新课标下，对高中数学导数 概念的教学存在着很多争议，有些人认 为极限理论是微积分的理论基础，极限 运算是微积分的基本运算，学生先学好 极限的前提下，才能学好导数；但是另 一些人认为，极限理论的学习历来是微 积分学习的难点之一， 极限概念的掌 握不仅对于高中学生是一个学习难点， 对大学生来说也是个难点，如何让高中 学生更好的掌握导数的概念呢？从 HPM 中找到了答案。 HPM 研究方法“重现法则”提倡 数学知识的教学顺序应该跟随人类历史 上数学发展的顺序。HPM 研究认为： 在数学教学中运用数学史的最重要的依 据之一是历史发生原理，即个体对数学 概念的认知发展过程与该概念的历史发 展过程相似。数学史在很大程度上被认 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 为是重要数学思想的演变记录，学生在 学习中出现的困惑往往与数学发展史上 出现的困惑相一致。 回顾导数概念的发展史，我们知 道导数的概念先于极限的概念，就像积 分先于微分一样。众所周知，在古代的 穷竭发中已经有积分概念的幼芽，而微 分的概念和方法则几乎是与近代力学同 时产生与发展起来的，它也经历一段酝 酿的过程。 17 世纪随着当时航海、天文发展 的需要，有四种类型的问题引起人们研 究的热情，它们分别是已知物体移动 的距离是时间的函数，求物体在任意时 刻的速度与加速度；反过来已知加速度 是时间的函数，求速度与距离；求曲 线的切线；求函数的最大值、最小值； 求曲线的长、曲线的面积、曲面围成 的体积以及两个物体之间的引力。 17 世纪上半叶，罗伯瓦尔等借助速度合成 作切线的方法；费马借助于微小增量作 切线的方法，另外费马在一份手稿中提 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 出了求极大值与极小值的代数的方法； 笛卡儿在几何学中提出了求切线的 所谓“圆法”；巴罗也给出了求曲线切线 的方法等等。 反观新课标的导数概念的教学中， 在标准中明确指出：通过对大量实 例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬 时变化率的过程，了解导数概念的实际 背景，知道瞬时变化率就是导数，体会 导数的思想及其内涵。并在“说明与建 议”中明确指出：导数的概念是通过实 际背景和具体应用的实例引入的。教学 中，可以通过研究增长率、膨胀率、效 率、密度、速度等反映导数应用的实例， 引导学生经历由平均变化率到瞬时变化 率的过程，知道瞬时变化率就是导数。 通过感受导数在研究函数和解决实际问 题中的作用，体会导数的思想及其内涵。 证明不等式彰显导数方法运用的 灵活性把要证明的一元不等式通过构造 函数转化为 f（x）0 （0 使得 ex0-x0-1a -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 x022 ex0 成立？如果存在，求出符合 条件的一个 x0；否则说明理由。 分析：（1）证明：（）在 x0 时，要使（ex-x-1）ax2e|x|2 成立。 只需证： exa2x2ex+x+1 即需证： 1a2x2+x+1ex 令 y（x）=a2x2+x+1ex，求导数 y（x） =ax+1 ex-（x+1）ex（ex ） 2=ax+-xex y（x）=x（a-1ex） ，又 a1， 求 x0，故 y（x） 0 f（x）为增函数，故 f（x） y（0）=1，从而式得证 （）在时 x0 时，要使 ex-x- 1ax2e|x|2 成立。 只需证：exa2x2ex+x+1，即需 证：1ax22e-2x+（x+1）e-x 令 m（x）=ax22e-2x+（x+1）e- x，求导数得 m（x）=-xe-2xex+a（x- 1） -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 而 （ x）=ex+a（x-1）在 x0 时 为增函数 故 （ x）（0）=1-a0，从而 m（x） 0 m（x）在 x0 时为减函数， 则 m（x）m（0）=1，从而式得证 由于讨论可知，原不等式 ex-x-1ax2e|x|2 在 a1 时，恒成立 （2）解：ex0-x0-1a x02|x|2ex0 将 变形为 ax022+x0+1ex0- 10，使式成立，只需找到函 t（x） =ax22+x+1ex-1 的最小值， 满足 t（x）min -lna 时，t（x） 0 t（x）在 x=-lna 时，取得最小值 t（x0）=a2（lna） 2+a（ -lna+1）-1 下面只需证明：a2（lna ） 2- alna+a-10，在 0 又令 p（a） =a2（lna ） 2-alna+a-1，对 p（a ）关于 a 求导数 则 p（a ） =12（lna ） 20，从 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 而 p（a）为增函数 则 p（a ）p（1）=0 ，从而 a2（lna） 2-alna+a-10 得证 于是 t（x）的最小值 t（-lna）0 因此可找到一个常数 x0=-lna（0 最值证明在不等式中的应用，一般转化 不等式（转化的思想）构造一个函数， （函数的思想方法）然后求这个函数的 极（最）值，应用恒成立关系就可以证 明，对于应用导数解决实践问题，关键 是建立恰当的数学模型。 总之，导数作为一种工具，在解 决数学问题时使用非常方便，尤其是可 以利用导数来解决函数的单调性，极值，