046一种改进的非线性纯反馈系统的自适应动态面控制

第 40 卷 增刊 东南大学学报(自然科学版) Vol.40 Sup 2010 年 9 月 JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY (Natural Science Edition) Nov. 2010 一种改进的非线性纯反馈系统的自适应 动态面控制 鲁 瑶 许莉娟 张天平 (扬州大学信息工程学院, 扬州 225009 ) 摘要: 本文研究了一类带有未知 扰动的非线性纯反馈系统的控制问题.通过引入动态面技术， 结合神经网络 逼近方法,并利用积分型 Lyapunov 函数,提出了一种改进的自适应动态面控制方案.将一阶滤波器引入后推 设计中避免了传统后推方法中对虚拟控制反复求导而导致的计算复杂性问题.与已有文献相比,该方案放宽 了对于控制系统的要求,有效地减少了可调参数的数目,无需虚拟控制增益系数导数的信息.理论分析证明了 闭环控制系统是半全局一致终结有界的,且跟踪误差收敛到一个小的邻域内. 关键字: 纯反馈系统; 自适应控制; 动态面控制; 积分型 Lyapunov 函数 中图分类号: TP273 文献标识码: A 文章编号 : 1001-0505(2010) 增刊 (II)-XXXX-XX An improved adaptive dynamic surface control for a class of nonlinear systems in pure feedback form Lu Yao Xu Lijuan Zhang Tianping (College of Information Engineering, Yangzhou University, Yangzhou 225009, China.) Abstract: The problem of adaptive control is studied for a class of nonlinear systems in pure feedback form with unknown system functions and uncertain disturbances in this paper. By introducing dynamic surface control technique, and incorporating the approximation capability of neural networks, and using integral-type Lyapunov function, an improved adaptive dynamic surface control is developed for the above systems. By introducing the first order filter, the explosion of complexity caused by the repeated differentiations of certain nonlinear functions such as virtual controls in traditional backstepping design is avoided. Compared with the existing literature, the proposed approach relaxes the restriction of the system and reduces the number of adjustable parameters effectively, and does not require the derivative of the virtual control coefficients. By theoretical analysis, the closed-loop control system is shown to be semi-globally uniformly ultimately bounded, with the tracking error converging to a small neighborhood of the origin. Key words: pure feedback systems; adaptive control; dynamic surface control; integral-type Lyapunov function 近年来, 后推技术的应用得到了广泛的关注, 许多学者将自适应后推方法与模糊控制相结合提出了一 些非线性自适应模糊后推控制方法 1,2. 文献3,4提出了针对带扰动的严格反馈系统自适应后推控制方案. 基于 分析方法与小增益定理方法, 文献5提出了一种自适应神经网络控制方案, 解决了一类完整的IS 非仿射纯反馈系统的控制问题. 针对后推设计中由于对虚拟控制反复求导而导致的参数膨胀问题, SWAROOP. D.等人提出了动态面控制(DSC)方法 6. 文献7 引入动态面技术, 针对一类不确定非线性严格 反馈系统, 提出了一种基于神经网络的自适应动态面控制方案, 引入动态面控制方法避免了参数膨胀, 简 化了设计, 但是该控制系统仅考虑控制增益为常数且并未考虑到系统扰动和未建模动态. 文献8针对一类 带摄动的严格反馈动态系统, 引入动态面控制方法, 利用积分型 函数, 提出了一种直接自适应神Lyapunov 经网络控制方案. 文献9 基于 方法, 对一类带扰动的控制增益未知的非线性纯反馈系统提出了Lyapunov 一种神经网络动态面控制方案, 采用动态面控制技术, 避免了后推设计中的参数膨胀问题. 文献10在9 的基础上提出了针对一类不确定非线性纯反馈系统的自适应动态面控制方案. 本文在文献10的基础上, 针对一类带有扰动的不确定非线性纯反馈系统, 提出了一种自适应动态面 控制方案. 与其的区别在于, 文献10仅仅讨论了控制增益为已知常数的情况 , 而本文将其扩展到控制增 收稿日期：2010-5-18. 基金项目：国家自然科学基金资助项目(60874045); 江苏省自然科学基金资助项目 (BK2009184). 作者简介:鲁瑶 (1986), 女, 硕士生, ; 许莉娟(1983), 女, 硕士生，; 张天平(联系人), 男, 教授, 博 士生导师, 东南大学学报( 自然科学版) 第 40 卷 2 益为未知函数, 且带有未知扰动的一类非线性纯反馈系统, 放宽了对于控制系统的要求; 对于参数的 估计设计中采用了对权向量模值的估计, 减少了估计参数的数量, 并且取消了文献9中关于控制增益偏导 数的假设, 降低了设计的复杂性; 在前面 步采用一般动态面控制设计方法, 并且利用虚拟控制来消去1n 前 步中的未知扰动项, 在第 步采用积分型 函数设计方法, 将两种方法相结合提出了一种自1n Lyapunov 适应动态面控制方案, 并证明了整个闭环系统的稳定性, 且跟踪误差收敛到原点的一个较小的邻域内. 1 问题描述及基本假设 考虑如下一类单输入单输出非线性系统 (1) 111, 1iiiinnnnxfgxdtinuxy 其中： , ； 为系统状态向量； 为系统输入, 为系统输12,Ti ixx iR2, nRuRyR 出； 为已知的非零常数, 为未知光滑函数； , 为未知连续函数, 且满足,g ngx()ifA1n . , 为未建模动态或外来干扰.0if indt, 控制目标：设计自适应控制器 , 使系统输出 尽可能好地跟踪一个给定的期望轨迹 , 闭环系统全uy d 局一致终结有界, 跟踪误差收敛到一个小的残差集内. 假设 1：光滑非线性函数 符号已知且满足 , 不失一般性, 令 .ngx01nngxg()0ngx 假设 2：参考输入 光滑可测, 且 , 为已知正常数.T,dddy 220:dddyB 假设 3： , , , 为未知常数, 已知非负函数.,iniixtp1 nxtRipix 文中将使用径向基函数(RBF)神经网络 在紧集 上来逼近未知光滑非线性函数 , ()()TfZqzR()fZ 其中 表示神经网络的输入向量, 表示未知权向量, 为神经元节点数. zZ12,llw 1l 为基函数向量, 为第 个节点的输出, 通常选择为高斯函数T12()(),()llssZR isi , 其中 为基函数的中心, 是高斯函2exp/,i ii ivkl T12iiiqvv ik 数的宽度. 令未知理想权向量 , 则* Targmnsup|()()|lZfZ (2)*() 其中 为逼近误差.()Z 2 自适应动态面控制器设计 本文采用动态面控制技术, 结合 RBF 神经网络逼近方法进行设计, 设计过程共包含 步. 在前 步n1 中设计虚拟控制 , ( )再以 为输入通过一阶滤波器得到 , 在第 步设计自适应控制器 . 定i2,n iiznu 义 .1dzy Step 1：定义第一个动态面 (3)11sxz 用 RBF 神经网络逼近 , 且 , 则有12f2 (4)12f x 其中未知正常数 .1 所以, , 将方程(1)与(4)代入, 则可得:1sxz (5)121211,nsxgdtz 选取虚拟控制： (6)22112111 ksxasxg 选取 的自适应律为：1 (7)1211 x 其中 为 的估计值, 为估计误差. , , , 为设计常数.11 0a1k 增刊 鲁瑶, 等: 一种改进的非线性纯反馈系统的自适应动态面控制 3 引入新变量 作为虚拟控制 通过一阶滤波器之后的输出, 并且 为时间常数. 即2z22 , (8)2z220z 令 , 则有 2y2y 于是有 22212312,dyysyy (9)24 其中 为非负连续函数.213212,dsy 取 , 则知 , 由方程(5)及假设 3 知 VsV 2222212111211gxzsxasxsxp (10)1 12kgysxap 存在非负连续函数 满足：,dsy (11)12121|,dxy Step ：定义第 个动态面 ii , (12)iisz,in 用 RBF 神经网络逼近 , 且 , 则有1if1ix (13)1i iif x 其中未知正常数 . 2ii 所以 (14)111,iiiiiinisxgdxtz 选取虚拟控制： (15)21111 iiiiiiiiiigsksasxzg 选取 的自适应律如下：i (16)211 iiiiiiixa 其中 为 的估计值, 为估计误差. , , , 为设计常数.ii i 0ik 引入变量 作为虚拟控制 通过一阶滤波器之后的输出. 并且 为时间常数, 即1z1i 1 , (17)1iiiz11iiz 定义 ,可得 .iiiyiy 则有 2111221,iiii iiidysyy (18)24i 其中 为非负连续函数. 122,iiiidsy 取 , 则知 . 由方程(14)及假设 3 得2sVsiV 222211 1ii iiiiii iiigxzxasxsxp (19)211 1 1()iiiiiiiiiiiiikgsyax 存在非负连续函数 满足：121,iiiidy (20)121|,iiidxsy Step ：定义第 个动态面 nn (21)1nnsz 用 RBF 神经网络逼近 , 且 , 则有1nfxnx (22)11nf x 其中未知正常数 . 2 所以 (23)111111,nnnnnnsxgdxtz 选取虚拟控制： 东南大学学报( 自然科学版) 第 40 卷 4 (24)222111111 nnnnnnnnngsksxasxzg 选取 的自适应律如下：1n (25)211111 nnnnns 其中 为 的估计值, 为估计误差. , , , 为设计常数.1n1n 0a1nk 引入变量 作为虚拟控制 通过一阶滤波器之后的输出. 并且 为时间常数, 即z n , (26)nnzz 令 则有 . nnynny 2121,nnndyysyy (27)24nn 其中 为非负连续函数. 121,nnnnds 取 , 则知 . 由方程(23)及假设 3 得2VsVs 2 222111112s nnnnngxzxasxsx 1np 2 212 1 1nnnkgssyxap (28)2 存在非负连续函数 满足：2,ndsy (29)11211| ,n nndxsy Step ：定义第 个动态面 n (30)nsz 由方程(1)中子系统 知, nnnxfgudt (31),nnnfxgudxtz 定义一个光滑的标量函数如下 (32)10,nsnnVz 根据积分第二中值定理, 又可改写为 , 其中 . 又由假设 1 知 关于sn 2sxs0,1snV 正定. 对 关于 求导, 由假设 3 及方程(31)有：nssnVt11 10 0,n ns ss nn nnjjgxzgxzdgxzxd 121110() ,nnnnnjjjjgxzf (33) 1 11 421 2210 0, ,nnnnnj nnj jj jzsgxszdsgxszxdp 将(33)式化简得 (34)21sn jjVuZp 在上式中 122 3210,nnnnnnn jjZfxgxgzgxszdsx (35)1 121 1 110 0,nnjnnnjjjjszds fgd 用 RBF 神经网络对 函数进行逼近有 (36)nnZZ 其中 为未知正常数, .2n 2,nxszR 利用(36)式及 Youngs 不等式 , 在(34) 式中 (37)222 2nnnnnnsuuasZ 增刊 鲁瑶, 等: 一种改进的非线性纯反馈系统的自适应动态面控制 5 将(37)式代入(34)式可得 (38) 2 2221 nsnnnnnjnjVusZapZ 取控制律为： (39)21nnnnngksZ 取 的自适应律: n (40)2Za 其中 为 的估计值, 为估计误差. , , , 为设计常数。nn 0nnnk 则(38)式可化为 (41) 2222211 1 nsnnnnnnjnjVksgsZapZ 存在非负连续函数 满足：12,dyy (42)121| ,nnnnndZy 3 稳定性分析 定义有界闭集： 1T121,:psyVRT1,:,ipiiiiiV 2,1n, nnnnn 其中 , , , 为正常数由设计者给定. 3ip 3p211Vs22211, ,iiiijjjsyi 易知 . 令连续函数 在有界闭集 上的最大值为11npR22n nppR nidi , 连续函数 在有界闭集 上的最大值为 , .iM, jdj jH1,n 可得如下稳定性定理. 定理 1：考虑由纯反馈非线性系统(1), 控制律(39)及自适应律(7), (16), (25)和(40)组成的闭环系统, 若假 设 1-3 成立 , 则对于任意给定的正常数 及初始条件满足 , 满足式(43)的正常数 , pnVp,ika,i1i 使得闭环系统半全局一致终结有界, 且跟踪误差收敛到一个小的残差内.其中 满足,ik1 (43) 002101,1,min,i niikigin 证明：考虑如下 Lyapunov 函数 (44)2211 nnsiiiiiVy 将 对时间 t 求导, 则有V (45)121 nnnsiiiii 将(10), (19), (28), (41)式和(9), (18), (27) 式及(7), (16), (25), (40)式代入(45)式中可得 122 221111111 4nniiiiiiiiiiiiksygsyxa 2 221 11 n nnnniiiiiiisZapp (46) 12 2212ii niiiiii iksksgy 东南大学学报( 自然科学版) 第 40 卷 6 当 时, , . 于是, 将(43)式代入(46)式可得Vp2iiM2iiH (47)0V 其中 (48) 2 2122114nnnnii nii ii ap 当 , 且 , 则有 , 由此可知当初始条件 时, . 将式(47) 两边同乘Vp0p0 0Vp,0tt 可得：0te (49)00ttdet 将式(49)两边在 上积分得：,t (50)00tVte 因此, 闭环系统内的所有信号, 都是一致终结有界的. 从而 也都是一致终结有界的. 根据1,iisy 1,iixz 式(43), (48)可知, 对于给定的任意常数 可以通过选择合适的 使得 任意小, 最终0,Bp1,iMi,ai0 使得 足够小.1s 4 结语 本文研究了一类不确定非线性纯反馈系统的跟踪控制问题. 用 RBF 神经网络逼近未知系统函数, 基 于 DSC 技术提出了一种自适应神经网络动态面控制算法. 这种方法解决了传统后推中由于循环设计所导 致的“计算膨胀” 问题. 通过调整控制律中的参数可以使得跟踪误差足够小并且保证闭环系统内所有信号一 致终结有界. 参考文献 (References) 1 Yang Y S, Feng G, Reng J S. A combined backstepping and small-gain approach to robust adaptive fuzzy control for strict- feedback nonlinear systemsJ. IEEE Trans on Systems, Man and Cybernetics-Part A: Systems and Humans, 2004, 34(3): 406- 420. 2 Lee C Y, Lee J J. Adaptive control for uncertain nonlinear systems based on multiple neural networks J. IEEE Trans on Systems, Man and Cybernetics-Part B: Cybernetics, 2004, 34(1): 325-333. 3 Yang Y S, Zhou C J. Robust adaptive fuzzy tracking control for a class of perturbed strict feedback nonlinear systems via small- gain approachJ. Information Sciences, 2005, 170(2-4):211-234. 4 Wang M, Chen B, Dai S L. Direct adaptive fuzzy tracking control for a class of perturbed strict-feedback nonlinear systemsJ. .Fuzzy Sets and Systems, 2007, 158(24): 2655-2670 5 Wang C, Hill D J, Ge S S, Chen G. An ISS-modular approach for adaptive neural control of pure-feedback systemsJ. Automatica. 2006, 42(5):723-731 6 Swaroop D, Hedrick J k, Yip P P, et al. Dynamic surface control for a class of nonlinear sys