中南大学工程硕士研究生课程教学大纲-2010-2-22

中 南 大 学 工 程 硕 士 研 究 生 课 程 教 学 大 纲 高 等 工 程 数 学 课程编号：070112100 课程名称：高等工程数学（Advanced Engineering Mathematics） 学分： 3 总学时：48 （+16 学时的课外讨论学习） 先修课程要求：高等数学、线性代数、概率论 适应专业：全校非数学类专业工程硕士研究生 参考书目：（注：加*号的为指定教材） 1*姚仰新，罗家洪，庄楚强高等工程数学，武汉：华南理工大学出版社, 2007 2*格林伯格（美） 高等工程数学（第二版） （英文版） ，北京：电子工业出版社， 2004 3*郑洲顺等科学计算与数学建模讲义，长沙：中南大学教材科，2006 4*王国富，王志忠应用统计，长沙：中南大学出版社，2003 5姜启源、谢金星、叶俊数学模型（第三版） ，北京：清华大学出版社， 2003 6韩旭里，万中数值分析与实验，北京：科学出版社，2006 7解可新，韩立兴，林友联最优化方法，天津：天津大学出版社，1997 8R. FletcherPractical Methods of Optimizatrion, John Wiley and Sons,Chichester,1980 9陈宝林最优化理论与算法，北京：清华大学出版社，1989 10李庆扬，王能超，易大义数值分析(21 世纪数学系列教材)（第四版） ，武汉：华中 科技大学出版社，2006 11朱勇华，邰淑彩，孙韫玉应用数理统计，武汉：武汉大学出版社，2000 12汪荣鑫 ，数理统计西安：西安交通大学出版社， 1986 、课程性质、目的与任务 “高等工程数学”课程全面实施工程硕士研究生人才培养模式的改革，积 极贯彻研究性教学和探索式学习的教育思想，提高学生的综合素质，培养创新 拔尖人才，培养学生创新思维、创新意识和能力，将本课程建设与教学作为学 生学习数学知识、培养学生的实践与创新能力，提高学生数学应用能力和综合 素质的最佳结合点。 本课程教学的重要目标是提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。在 该课程教学中全面训练学生运用数学工具建立数学模型、应用科学计算方法解 决实际问题的技能技巧；全面训练学生运用统计分析工具分析处理实际问题数 据、利用最优化方法建立实际问题数学模型的技能技巧；突出学生自主学习和 自主实践，提高学生的科学计算能力、数学建模能力、统计分析能力、优化建 模能力和科研论文写作能力，培养从事现代科研活动的能力和相关素质。本课 程作为全校各专业工程硕士研究生公共选修课，目的是提高学生的数学素质， 培养学生应用数学方法分析解决实际问题的意识和能力。 本课程通过将科学计算与数学建模结合，以数学建模思想为主线贯穿教学 过程，以科学计算理论和方法为基础融会数学建模思想，通过课堂内数学建模 实例分析和课外结合专业特点的数学建模与计算实践指导，使学生学会如何在 适当的简化假设下运用合适的数学工具建立描述实际问题特征的数学模型，进 行因果关系分析、科学计算、定量分析，以便更深刻地认识所研究的对象；将 统计方法和最优化理论与方法结合，以数据处理思想为主线贯穿教学过程，以 最优化理论和方法为基础融会课堂教学内容，使学生学会如何在大量信息数据 条件下运用合适的数学工具分析处理数据、建立描述实际问题特征的数学模型、 进行优化处理与计算，以便更深刻地认识所研究的对象。使学生具备运用适当 的数学工具去分析和解决实际问题的能力，以期达到“学数学用数学”的教学 目的。 二、课程基本要求 (1) 结合本科阶段数学基础课的教学内容，进一步突出培养学生运用现代 数学理论、科学计算方法、统计分析方法、最优化理论分析解决实际问题的能 力； (2) 教师教学过程中要始终以数学建模和数据处理思想为主线，利用数学 模型实例着重进行科学计算、数学建模、优化方法和统计分析方法的讲解，引 导课程内容的讲授； (3) 学生按照课程教学大纲要求，结合专业特点，在教师指导下完成数学 建模、科学计算、数据统计分析和最优化处理的综合实践, 重点进行数学建模、 科学计算、科技论文写作等的实践训练。 三、课程教学基本内容以及重点难点 课程的基本内容 (1) 科学计算与数学建模绪论：数学模型及其重要意义，数学建模的过程，数学建 模的一般步骤，数学建模的重要意义；科学计算方法简介，计算机中数的浮点表示，误 差的基本概念及误差分析的重要性，误差在算术运算中的传播，算法的数值稳定性。 (2) 城市供水量的预测模型插值与拟合算法：城市供水量的预测问题，求函数 近似表达式的插值法，求插值多项式的 Lagrange 法，插值余项，插值误差的事后估计法， 求插值多项式的 Newton 法，求插值多项式的改进算法，分段低次插值，三次样条插值； 求函数近似表达式的拟合法，城市供水量预测的简单方法，供水量增长率估计与数值微 分，利用插值多项式求导数，利用三次样条插值函数求导，城市供水量预测。 (3) 湘江流量估计模型数值积分法：湘江水流量估计的实际意义，数值求积的 必要性， 构造数值求积公式的基本方法，求积公式余项，求积公式的代数精度，求数值 求积的 NewtonCotes 方法 Romberg（龙贝格）算法，Gauss（高斯）型求积公式与测量 位置的优化选取。 (4) 养老保险问题非线性方程求根的数值解法：养老保险问题：非线性方程求 根的数值方法，根的收索相关定义，逐步搜索法，二分法， 迭代法，Newton 公式， Newton 法应用举例，弦截法与拋物法，养老保险模型的求解。 (5) 小行星轨道方程计算问题线性方程组求解的直接法：小行星轨道方程问题， 线性方程组直接解法概述，直接解法，小行星轨道方程问题的模型求解。 (6) 回归问题 线性方程组求解的迭代法：回归问题，线性方程组迭代法概述， 迭代法，关于回归模型的求解。 (7) 常微分方程模型的数值解法：常微分方程模型举例，初值问题数值解法的推导 方式及常用解法，求解初值问题的线性多步法，常微分方程边值问题的数值解法。 (8) 统计分析与优化设计绪论：数理统计及其重要意义，数理统计处理数据的一般步 骤；最优化理论与方法的发展及其重要意义，最优化方法处理实际问题步骤。 (9) 数理统计的基本理论与方法：统计量及其分布，常用的抽样分布，参数估计方 法 ，假设检验方法。 (10) 回归分析方法：一元线性回归分析，多元回归分析，包括：参数估计，变量选 取，多重共线性问题。 (11) 方差分析与正交试验设计：一元方差分析，二元方差分析，正交试验设计。 (12) 线性规划基本理论与方法：线性规划建模案例，线性规划基本概念与理论，线 性规划单纯型方法，线性规划退化与循环问题处理方法。 (13) 线性规划对偶理论：线性规划的对偶形式、对偶理论，对偶单纯型方法。 教学的重点与难点 教学重点：数学建模的基本原理与过程，误差分析原理，科学计算方法，算法的构 造原理，数学建模报告的写作方法，回归分析与方差分析，线性规划理论与方法，基本非 线性规划方法，培养学生科学计算、数学建模、统计分析与优化处理的基本能力。 教学难点: 如何更好地融合科学计算与数学建模的知识，把数学建模的思想渗透到 科学计算、数理统计与最优化方法的教学过程中，培养学生应用数学的意识和能力，提高 学生应用计算机技术、统计分析方法和科学计算方法解决实际问题的实践能力。 四、课程知识模块与学时分配 本课程主要由科学计算与数学建模、应用数理统计、最优化方法、矩阵论、标量场 与向量场理论等知识模块构成。根据我校工程硕士各专业的要求和课程的培养目标，各知 识模块的学时分配为：科学计算与数学建模（18 学时） 、应用数理统计（14 学时） 、最优化 方法（8 学时） 、应用案例分析专题讲座（8 学时） ，其他知识模块的学习讨论（16 学时） 。 科学计算与数学建模 22 学时 序 号 内 容 学 时 序 号 内 容 学 时 1 科学计算与数学建模绪论 2 6 回归问题线性代数方程组求解的迭代解法 2 2 城市供水量的预测插值与拟合算法 4 7 常微分方程模型的数值解法简介 2 3 湘江流量估计模型数值积分法 4 8 科学计算应用案例分析 2 4 养老保险问题非线性方程求根的数值解法 2 9 数学建模案例分析 2 5 小行星轨道计算问题 线性代数方程组求解的直 接解法 2 应用数理统计 16 学时 序 号 内 容 学 时 序 号 内 容 学 时 1 参数估计与假设检验 2 4 方差分析 2 2 回归分析：一元回归分析 2 5 正交试验设计 4 3 回归分析：多元回归分析 4 5 数理统计综合应用案例分析 2 最优化方法 10 学时 序 号 内 容 学 时 序 号 内 容 学 时 线性规划基本理论与方法 2 有约束非线性规划 2 线性