数值分析历届考题

数值分析历届考题 03年秋季学期 一 简答题（每小题 5 分） 1. 数值计算中要注意哪些问题。 答：第一、两个相近的数应避免相减。 第二、绝对值很小的数应避免作除数。 第三、注意选取适当的算法减少运算次数。 第四、两个绝对值相差很大的数运算时，注意 “机器零 ”的问题。 第五、注意算法的收敛性和稳定性。 2. 用迭代法求解非线性方程 0)( ，迭代 收敛 的条件是什么，可以用什么方法来确定初值 0x 。 答：对于 非线性 方程 0)( 其迭代格式为 )( ），如果满足： （ 1） 当 , 时， ,)( ； （ 2） )(在 , 连续，且对任意的 , 都有 1)( 则有结论：对任意给定的 ,0 ，由迭代格式 )(1 kk ， k=0,1,2,产生的序列 敛于 *x ，即迭代收敛。 可以用二分法来确定初值 0x 。 3. 用消元法求解线性方程组时，为什么要选主元。 答： 因为用简单高斯消元法求得的近似解与精确解相差甚远，其主要原因是绝对值很小的数作除数，导致了误差的快速增长。为了避免这种情况的发生，我们可以通过行交换，在需要消元的列中，取绝对值最大者作为主对角线元素（即主元），计算效果将得到改善。 4. 矩阵的 条件数是什么，它对求解线性方程组有什么影响。 答：对于 n 阶可逆方阵 A，正实数 |A | 1A |称为 A 的条件数，记为 )。 条件数对于线性方程组 Ax=b 的影响如下： )( ，其中 b 为 A 精确时 b 产生的误差； )( ，其中 A 为 b 精确时 A 产生的误差。 5. 把下列二阶常 微分方程的初值问题 2)0(,1)0(1111化为一阶常微分方程组，并写出求解该方程的改进 法。 答：令 )()()()(21 11 )()()()(12221xx 中 2)0(1)0(21 所以用改进的 法表示为： )1(1)(1)(2)(2)( )()(1 p ， )()(2 p ， )1(1 11)(1)(2)(2)( )(21)1( 。 二 （ 20 分）给出数据表 x 0 1 2 f(x) 2 1 2 f(x) 求一个满足插值条件的 三次插值多项式 ，并写出余项公式。 解：先求出满足函数值插值条件 )()(2 ， i=0， 1， 2 的二次插值多项式 )(2 i x f(x) 一阶差商 二阶差商 1 0 2 2 1 1 3 2 2 1 1 由牛顿插值公式： ,)(,)()()( 2101010002 22)1(2 2 令 )()()()( 21023 ，其中 A 是待定常数，则 )(22)( 2101113 ，由已知条件 1)( 1 代入可得： 1)21()01( 1 A； 所以 22)2)(1(22)( 2323 其插值余项为 )2()1(!4 )()( 2)4( ，其中 )2,0( 。 三 （ 20 分）给出数据表 x .5 y 1 最小二乘法 求拟合曲线1（保留 3 位小数）。 解：对于曲线1，令，得 。 把 x， y 的数据转换为 t， z 的数据（取 3 位有效数字）： t=1/x 0.0 z=1/y 于 ，其法方程组为： 414124141414 其中： i i i i 数据代入后得法方程组为解得 所以拟合曲线为。 四 （ 15 分）确定下列 求积公式的系数 1k ， 2k ， 3k ，使公式成为 求积公式 1 1 321 )0()( 解：通过待定系数法： 当 1)( ，有 3212 （ 1） 当 )( 时，有 31 （ 2） 当 2)( 时，有31 （ 3） 由此得到一个关于未知数 1k ， 2k ， 3k 的线性方程组： 得55 555 88 55 五 （ 20 分）证明：对任意参数 t（ 1t ）下列求解常微分方程初值问题的算法，其局部截断误差都是 c： )1(2,)1(2()1(),(1 。 证：令)1(2,)1(2(),(121 则 211 )1( （ 1） 对 2K 作泰勒展开得： )(),()1(2),()1(2),( 212 。 代入到（ 1）式中： )(),(2),(2)1( 3122111 由于 )()(,()(,()(,(2)(,()()( 321 在ii )( 的条件下 )()()()( 33311 。 即对任意参数 t，上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都 是 )( 3 六 （ 16 分）证明：下列求解常微分方程初值问题的数值方法，其局部截断误差为 )( 3 ),(41),(47)(21 1111 证： ),(,(),( 11 )(),(),(),(),( 2)(),(),(),(!2),()()()( 3211 在ii )( 的条件下 将上述两式代入 ),(41),(47)(21 1111 ，可得： )(),(),(),(4),(2 321 )(),(),(),(4),(23 2 )(),(),(),(2),( 3 由于 )()(,()(,()(,(2)(,()()( 321 在 ii )(的条件下 )()()()( 33311 。 所以 上述求解微分方程初值问题的算法其局部截断误差都是 )( 3 05年秋季学期 一 简答题（每小题 4 分，共 20 分） 1. 设 x=y=按四舍五入得到的近似值，则 x+y， 绝对误差限， 相对误差限，有效数字 各是多少 。 答： 541 10211021)( x， 431 10211021)( y； 303 10211021)()()( ， 所以 x+y 三位有效， )( ； 325 10211021)()()( ， 所以 x/y 三位有效， )( 2. 同 03年秋季学期第一题 3 3. 在解线性方程组时，原始数据的误差对解的影响如何；对病态方程组可以采用什么方法处理。 答： 原始数据的误差 对于线性方程组 Ax=b 的影响如下： )( ，其中 b 为 A 精确时 b 产生的误差； )( ，其中 A 为 b 精确时 A 产生的误差； 其中 )=|A | 1A |为条件数。 对于病态方程组，可以使用迭代改善的方法处理。 4. 给出三个等距节点 1x ， 2x ，3x，及其相应的函数值，试导出二阶数值导数 )( 1 的计算公式。 答：以这三个点为节点的基本插值多项式为： )()()(2010210 ， )( )()(2101201 ， )()()(1202102 ； 求二阶导得：)(2)(20100 ， )( 2)(21011 )(2)(12022 ； 设 i 0 ， i=0， 1， 2。 则 )()(2)(1)()(2102121 。 5. 用数值方法求解常微分方程时，怎样选择合适的步长。 答：先选取一个步长 h，计算 )2( 1和 )( 1，如果 ，则将步长逐次减半，直到 为止。如果对于初始步长 h，就有 ，则尝试将步长逐次 加倍，知道满足 的最大步长。 二 （ 16 分）给出数据表 x 1 2 3 f(x) 2 4 12 f(x) 3 求一个 3 次插值多项式；并证明其余项公式为 )3()2)(1(!4 )()( 2)4( 解：先求出满足函数值插值条件 )()(2 ， i=0， 1， 2 的二次插值多项式 )(2 i x f(x) 一阶差商 二阶差商 1 1 2 2 2 4 2 3 3 12 8 3 由牛顿插 值公式： ,)(,)()()( 2101010002 673)2)(1(3)1(22 2 令 )()()()( 21023 ，其中 A 是待定常数，则 )(76)(2101113 ，由已知条件 3)( 1 代入可得： 2)32()12( 53 A； 所以 61592)3)(2)(1(2673)( 2323 由插值条件可知， 1x 是 R(x)的二重零点，0x 是 R(x)的单重零点，所以 )()()()(2210 ，其中 K(x)是待定函数。 令 )()()()()()(22103 ， 当 )( 4 阶导数连续时，反复用罗尔定理，可得!4 )()()4( ， 所以 )3()2)(1(!4 )()( 2)4( 。 三 （ 16 分）给出一组数据 X 最小二乘法求拟合曲线 。 解：对于曲线 ，两边取对数得： 令 yz ， ， am ，则可得到： 把 x， y 的数据转换为 t， z 的数据（取 3 位有效数字）： t=1/x z=于 ，其法方程组为： 515125151515 其中： i i i i 数据代入后得法方程组为解得 m 。 所以拟合曲线为 。 四 （ 16 分）用 龙贝格方法 求下列积分，要求 5 位有效数字。 21 1 解： 1 83 2()1(2 121 1221 12 21 4 1221 24 0 2 0 42 0 2 0 1221 五 （ 16 分） 对于非线性方程 f(x)=0，求证：改进的牛顿迭代格式： 321 )(2)()()()(xf ， k=0， 1， 在单根附近是至少三阶收敛的。并判别该方法对重根是几阶收敛。 解：（ 1）在单根的情况下，设 *x 是 0)( 单重根。 2)( )()(2 )()( )()( xf ， )(2 )()()(2 )()()(2)( )()()(1)( 32322 xf )(2)()(32 xf 所以 *x 是 )(二重零点， 0)()( * 即该迭代格式是三阶收敛的。 （ 2）在重根的情况下，设 *x 是 0)( m 重根。（ m1） 则 )()()( * m ，且 0)( * )()()()()( *1* m ， )()()()()()()()(1()( *1*2* )()()()1()()()()()(1( *1*2* )()()()(2)()1()( 2*2* m ， 同理： )()()()(3)()(1(3)()2)(1()()( 3*2*3* m 这时：422)()(3)()(2)()( 4444*22242*42*22*)()1()(3)2)(1()(2)(22244222222 )12)(1()1(3)2)(1()1(3)2)(1( 由于 的整数，所以显然 0)( 所以在重根情况下题设迭代法 线性 收敛。（一阶收敛） 06年冬季学期 一、 简答题 (每小题 4 分，共 20 分 ) 1. 设 x=y=按四舍五入得到的近似值，则 x/y 的 绝 对误差限，相对误差限，有效数字 各是多少。 答： 431 10211021)( x， 341 10211021)( y； 312 10211021)()()( ， 所以 位有效， )( ； 3142 10211021)()()( ， 所以 x/y 三位有效， 0 0 2 0 0 )( 2. 插值型数值积分方法的基本原理是什么，其截断误差是什么。 答：基本原理： n ()(，其中 )( )( n 次插值多项式。 截断误差： 是偶数n，)()!2()(是奇数,)()!1()()()(1)2(1)1(ba 3. 写出求解非线性方程组 0),( 21 ni ， i=1,2, ,n 一般迭代法的迭代格式和收敛条件。 答：一般迭代法的格式： ),( )()(2)(1)1( ， i=1,2, ,n， 其中： ),( 21 是 0),( 21 ni 的等价方程。 当)()()()()()()()(212221212111， 1G 时收敛。 4. 同 03季学期第一题 4 5. 把下列二阶常微分方程的初值问题化为一阶常微分方程组的初值问题，并写出数值求解的 欧拉格式。 1)0(0)0()1()1( 2 )()()()(21 11 )()()()(12221xx 中 1)0(0)0(21 所以用欧拉形式表示为： )1(1)(1)(2)(2)()1(， i=0,1,2, ,、 （ 16 分）给 出数据表 x 0 1 2 f(x) 1 2 9 f(x) 3 用 3 次插值多项式求 f(近似值，并估计误差： 解： 先求出满足函数值插值条件 )()(2 ， i=0， 1， 2 的二次插值多项式 )(2 i x f(x) 一阶差商 二阶差商 1 0 1 2 1 2 1 3 2 9 7 3 由牛顿插值公式： ,)(,)()()( 2101010002 123)1(31 2 令 )()()()( 21023 ，其中 A 是待定常数，则 )(26)(2101113 ，由已知条件 3)( 1 代入可得： 1)21()01( 43 A； 所以 1)2)(1(123)( 323 3 7 3 f )(0 0 7 8 1 2 4 )(|) )4(2)4( )2,0( 三、 （ 16 分）给出一组数据 x y 最小二乘法求拟合曲线 。 解：对于曲线 ，两边取对数得： 令 yz ， am ，则可得到： 把 x， y 的数据转换为 t， z 的数据（取 3 位有效数字）： x z=于 ，其法方程组为： 515125151515 其中： i i i i 数据代入后得法方程组为解得 m 。 所以拟合曲线为 。 四、 （ 16 分）用任意一种方法求下列积分，要求 5 位有效数字。 64 24 1 解：用龙贝格方法求解题目中的积分： 0 6()4(2 461 0 71 9 8 (2 4621 12 21 071 20 4 4621 24 0 7 0 9 5 4