高中数学 第三章 三角恒等变形 3 二倍角的三角函数(二)学案 北师大版必修4

3 二倍角的三角函数(二)学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用知识点一半角公式思考1我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2替换，结果怎样？思考2根据上述结果，试用sin ，cos 表示sin ，cos ，tan .思考3利用tan 和倍角公式又能得到tan 与sin ，cos 有怎样的关系？梳理正弦、余弦、正切的半角公式sin ，cos ， tan 知识点二辅助角公式思考1asin xbcos x化简的步骤有哪些？思考2在上述化简过程中，如何确定所在的象限？梳理辅助角公式asin xbcos xsin(x)(其中tan )类型一应用半角公式求值例1已知sin ，3，求cos和tan .反思与感悟(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：先化简所求的式子；观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)跟踪训练1已知sin ，且，求sin ，cos 和tan .类型二三角恒等式的证明例2求证：.反思与感悟证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法跟踪训练2证明：tan .类型三利用辅助角公式研究函数性质例3已知函数f(x)sin2sin2 (xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障跟踪训练3已知函数f(x)coscos，g(x)sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合类型四三角函数在实际问题中的应用例4如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值反思与感悟此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围跟踪训练4某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)1若cos ，(0，)，则cos 的值为()A. B C D2已知tan3，则cos 等于()A. B C. D3函数f(x)sin2xsin xcos x在区间上的最大值是()A1 B2 C. D34函数f(x)sin xcos x，x的最小值为_5化简：.(180360)1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式2辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中满足： 与点(a，b)同象限；tan (或sin ，cos )3研究形如f(x)asin xbcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sin xcos xsin；sin xcos x2sin等答案精析问题导学知识点一思考1结果是cos 2cos2112sin2cos2sin2.思考2cos2，cos ，同理sin ，tan .思考3 tan，tan .梳理 知识点二思考1(1)提常数，提出得到.(2)定角度，确定一个角满足：cos ，sin (或sin ，cos )一般为特殊角，则得到(cos sin xsin cos x)(或(sin sin xcos cos x)(3)化简、逆用公式得asin xbcos xsin(x)(或asin xbcos xcos(x)思考2所在的象限由a和b的符号确定题型探究例1解sin ，且3，cos .由cos 2cos21，得cos2.，cos .tan 2.跟踪训练1解sin ，cos .又，sin ，cos ，tan 4.例2证明要证原式，可以证明.左边tan 2，右边tan 2，左边右边，原式得证跟踪训练2证明左边tan 右边，原等式成立例3解(1)f(x)sin(2x)2sin2sin21cos212sin12sin1，f(x)的最小正周期为T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，有2x2k，即xk (kZ)，所求x的集合为x|xk，kZ跟踪训练3解(1)f(x)cos2xsin2xcos 2x，f(x)的最小正周期为T.(2)h(x)f(x)g(x)cos 2xsin 2xcos，当2x2k(kZ)时，h(x)有最大值，此时x的取值集合为.例4解如图，连接AP，设PAB(090)，延长RP交AB于M，则AM90cos ，MP90sin .所以PQMB10090cos ，PRMRMP10090sin .所以S矩形PQCRPQPR(10090cos )(10090sin )10 0009 000(sin cos )8 100sin cos .令tsin cos (1t)，则sin cos .所以S矩形PQCR10 0009 000t8 100(t)2950.故当t时，S矩形PQCR有最小值950 m2；当t时，S矩形PQCR有最大值(14 0509 000) m2.跟踪训练4解连接OC，设COB，则045，OC1.ABOBOAcos ADcos sin ，S矩形ABCDABBC(cos sin )sin sin2sin cos (1cos 2)sin 2(sin 2cos 2)cos(245).当2450，即22.5时，Smax(m2)割出的长方形桌