高中数学 第二单元 平面向量 2_2_2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算学案 北师大版必修4

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算学习目标1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.知识点一平面向量的正交分解思考如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b垂直，记作ab.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？梳理如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为_.在正交基底下分解向量叫做_.知识点二平面向量的坐标表示思考1如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30，且|a|4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?思考2在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a(1,1)，则向量a的位置确定了吗？梳理(1)基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向_的两个_e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个_e1，e2.这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底.(2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a_，(a1，a2)就是向量a在基底e1，e2下的坐标，即a_，其中a1叫做向量a在_上的坐标分量，a2叫做a在_上的坐标分量.(3)若xe1ye2(x，y)，则的坐标(x，y)点A的坐标(x，y).知识点三平面向量的坐标运算思考设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ax1iy1j，bx2iy2j，根据向量的线性运算性质，向量ab，ab，a(R)如何分别用基底i、j表示？梳理(1)若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab_，ab_，a(a1，a2)_.即两个向量的和与差的坐标等于两个向量_；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量_.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_.即一个向量的坐标等于向量终点的坐标_.(3)在直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，点B(x2，y2).则线段AB中点的坐标为_.类型一平面向量的坐标表示例1如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105，a，b.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标.反思与感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.跟踪训练1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，的坐标.类型二平面向量的坐标运算例2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4).设a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n的值；反思与感悟向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.跟踪训练2已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.类型三平面向量坐标运算的应用例3已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10).若(R)，试求当为何值时：(1)点P在第一、三象限的角平分线上；(2)点P在第三象限内.反思与感悟(1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.跟踪训练3已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.1.设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b等于()A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3)2.已知向量(3，2)，(5，1)，则向量的坐标是()A. B.C.(8,1) D.(8,1)3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B. C.(3,2) D.(1,3)4.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量等于()A.(7，4) B.(7,4)C.(1,4) D.(1,4)5.如图，在66的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_.1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时(xBxA，yByA).3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.答案精析问题导学知识点一思考互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底梳理正交基底正交分解知识点二思考1a2i2j.思考2对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定对于向量a，给定a的坐标为a(1,1)，此时给出了a的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关，所以不确定梳理(1)相同单位向量正交基底(2)a1e1a2e2(a1，a2)x轴y轴知识点三思考ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.梳理(1)(a1b1，a2b2)(a1b1，a2b2)(a1，a2)相应坐标的和与差相应坐标的积(2)(x2x1，y2y1)减去始点的坐标(3)题型探究例1解(1)作AMx轴于点M，则OMOAcos 4542，AMOAsin 4542.A(2，2)，故a(2，2)AOC18010575，AOy45，COy30.又OCAB3，C，即b.(2).(3)(2，2)(，).跟踪训练1解如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60，2sin 60)，C(1，)，D(，)(2,0)，(1，)，(12，0)(1，)，(2，0)(，)例2解由已知，得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)a(5，5)，解得跟踪训练2(1)(4,7)(2)(7，1)(3)例3解设点P的坐标为(x，y)，则(x，y)(2,3)(x2，y3)，(5,4)(2,3)(7,10)(2,3)(3,1)(5,7)(35，17)，则(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5