高中数学 黄金100题系列 第63题 空间平行关系的证明 理

第63题 空间平行关系的证明非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对*百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。I题源探究黄金母题【例1】如图，在空间四边形中，分别是的中点，求证：（1）平面；（2）平面；【解析】（1）分别为的中点，为的中位线，平面，平面，平面（2）分别为的中点为的中位线，平面，平面，平面II考场精彩真题回放【例2】【2017课标II理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点。（1）证明：直线 平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角的余弦值。【答案】(1)证明略；(2) 。【解析】分析：(1)取的中点，连结，由题意证得，利用线面平行的判断定理即可证得结论；解析：（1）取的中点，连结，。因为是的中点，所以,由得，又,所以。四边形为平行四边形，。又平面，平面，故平面。（2）略【名师点睛】平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型；证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.【例3】【2015福建理17】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点.()求证：平面 ； ()求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值【答案】()详见解析；() 【解析】解法一：（）如图，取的中点，连接，又G是BE的中点，、又F是CD中点，由四边形ABCD是矩形得，所以从而四边形是平行四边形，所以，又，所以解法二：()如图，取中点，连接，又是的中点，可知，又面，面，所以平面在矩形ABCD中，由，分别是，的中点得又面，面，所以面又因为，面，面，所以面平面，因为面，所以平面（）略【技巧点拨】证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；【例4】【2017浙江19】如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点（）证明：平面PAB；（）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值【答案】（）见解析；（）【解析】分析：（）取PA中点F，构造平行四边形BCEF，可求证；解析： （）如图，设PA中点为F，连结EF，FB因为E，F分别为PD，PA中点，所以且，又因为，所以且，即四边形BCEF为平行四边形，所以，因此平面PAB（）略【名师点睛】证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第79页复习参考题B组第2题【母题评析】本题是以正方体为载体考查空间直线与平面的垂直关系，这种题型能充分考查学生的逻辑思维能力与空间想象能力，以及综合分析与解决问题的能力这在高考中常常出现在解答题的第1小题位置【思路方法】两平面平行（或垂直）问题常转化为直线与直线平行（或垂直），而直线与平面平行（或垂直）又可转化为直线与直线平行（或垂直），所以在解题时应注意“转化思想”的运用。这种转化实质上就是：将“高维问题”转化为“低维问题”，将“空间问题”转化为“平面问题”【命题意图】本类题主要考查空间空间直线、平面间的平行与垂直关系的证明和判断，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、转化能力【考试方向】这类试题在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中【难点中心】求空间直线、平面间位置关系的证明的主要难点：（1）对几何体结构认识不透，空间想象能力较差，难以下手；（2）不能正确利用条件中中点、垂直关系实施有效的转化III理论基础解题原理考点直线、平面平行的判定及其性质定理定理内容符号表示分析解决问题的常用方法直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。即将“空间问题”转化为“平面问题”平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行判定的关键：在一个已知平面内“找出”两条相交直线与另一平面平行。即将“面面平行问题”转化为“线面平行问题”直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行IV题型攻略深度挖掘【考试方向】在选择题中，主要考查空间直线、平面间的平行与垂直的概念、定理、公理、推论等的辨析及位置判断；在解答题中主要考查直线与平面间的平行与垂直，主要出现在第1小题中【技能方法】（1）证明线线平行转化为证明线面平行或面面平行；（2）证明线面平行转化为证明线线平行（垂直）或面面平行；（3）证明面面平行转化为证明线线平行（垂直）或线面平行【易错指导】（1）忽视定理的关键条件，如忽视平面与平面平行的判定定理中，两条直线相交的条件；（2）胡乱推广平面几何的结论而用于证明空间问题；（3）受定势思维的影响，凭直觉思维主观臆断而误导结论V举一反三触类旁通考向1空间直线与平面平行的证明【例1】【2018四川省成都市第七中学模拟】“直线与平面内无数条直线平行”是“直线/平面”的（）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【例2】【湖南省五市十校教研教改共同体2018届高三联考】如图，在矩形， 平面， ， 为的中点.（1）求证： 平面；（2）记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，求.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）连接，四边形为平行四边形，在矩形中， ，四边形为平行四边形，.平面.（2）连接，由题意知， ，.【例3】【2018湖北省襄阳市调研】如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点， ，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示()求证：EM平面ABC；()求出该几何体的体积【答案】()见解析 ()4 ()解：由己知， ， ， ，且， 平面， ，又， 平面， 是四棱锥的高，梯形的面积 ， ，即所求几何体的体积为4【解法指导】一般地，对于用判定定理证明，即证明平面内的某条直线与已知直线平行，可根据题设条件去寻找这条“目标直线”，从而达到线线与线面的转化若借助面面平行的性质来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此“目标平面”的寻找多借助“中位线”来完成【跟踪练习】1【2017-2018河南省洛阳名校联考】在三棱锥中， 是边长为6的正三角形， ，平面分别与、交于分别是、的中点，如果直线平面，那么四边形的面积为（ ）A. B. C. 45 D. 【答案】AACSO，ACOB，S0OB=O，AO平面SOB，AOSB，则HDDE，即四边形DEFH是矩形，四边形DEFH的面积S=3=，故选：A.2.【广西桂梧高中2018届高三联考】如图，在直三棱柱中， ， ， ， 分别是的中点.（1）求证： 平面； （2）求点到平面的距离.【答案】(1)见解析，(2) (2)解： ， , ，又点M到平面的的距离为， 设点与平面的距离为，由可得，即，解得，即点到平面的距离为. 3.【江西省临川二中、新余四中2018届高三联考】如图，多面体是由三棱柱截去一部分而成， 是的中点.（1）若， 平面， ，求点到面的距离；（2）若为的中点， 在上，且，问为何值时，直线平面？【答案】(1) ；(2)证明见解析.（2）当时，直线平面，理由如下：设，则，取的中点，连接，可得，是梯形的中位线，当时，四边形为平行四边形，即，面，直线平面，此时【点睛】：本题主要考查了点到面的距离，直线与平面平行的判定，属于基础题；在求点到面的距离中主要采用证明线面垂直找出距离或者等体积法；线面平行主要通过一下几种方式：1、利用三角形中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等.考向2空间平面与平面平行的证明【例1】【2017山西省临汾一中高三3月月考】如图，四棱锥中，底面是正方形，是四棱锥的高，点分别是的中点（1）求证：平面；（2）求四面体的体积 （2）因为是四棱锥的高，由知是三棱锥的高，且，所以 【点睛】面面平行问题其实质是将其转化为线面平行或线线平行问题，而线面问题可转化为线线平行的问题或面面平行问题，线线平行问题又可转化为线面平行或面面平行问题因此，线线平行、线面平行、面面平行三者之间关系非常紧密，它们可相互进行转化证明【跟踪练习】1【广西桂林市柳州市2018年届高三综合模拟】在正四棱柱中， 为底面的中心， 是的中点，若存在实数 使得时，平面平面，则_【答案】【点睛】: 当Q为CC1的中点时，QBPA，D1BPO，由此能求出平面D1BQ平面PAO2.【江西省南昌市2018届上学期高三摸底】如图，在四棱锥中， ， ， 平面， .设分别为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）三棱锥的体积（2）由（1）知，平面平面，点到平面的距离等于点到平面的距离.由已知， ， ， ，三棱锥的体积.3.【2016郑州一中考前冲刺三】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，与交于点，点分别在线段上，.（1）求证：平面平面；（2）若平面平面，且，求几何体的体积.（2）在中，即又平面平面，平面又由（1）知，平面，且在梯形中，的面积，几何体的体积考向3空间垂直与平行综合【例1】【2017山东高考18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,（）证明：平面B1CD1;（）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1.【答案】证明见解析.证明见解析.(II)因为,，分别为和的中点,所以,因为为正方形,所以,又平面,平面所以因为所以又平面，.所以平面又平面,所以平面平面.【例2】【2017太原市高三二模】如图，在多面体中，四边形是正方形，是正三角形， ，.（1）求证：平面；（2）求多面体的体积.（2）在正方形中，又是等边三角形，所以,所以，于是，又，平面，又，平面，于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成.又直三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，故多面体的体积为.【点睛】圆柱与圆锥的组合主要有两种方式：（1）圆柱内有一棱锥，圆柱与圆锥底面重合、圆锥顶点为圆柱底面中点，解答时抓住它们有相同的高和底面即可建立相关关系；（2）圆锥内接一个圆柱，圆柱一底面在圆锥底面上，另一底面在圆锥侧面上，解答时主要作轴截面，通常利用三角形相似等知识来解决【跟踪练习】1.【2018江西省南昌市第二中学月考】在如图所示的多面体中， 平面， （1）在上求作点，使平面，请写出作法并说明理由；（2）求三棱锥的高【答案】（1）详见解析（2）.（2）在等腰梯形中，可求得梯形的高为，从而的面积为.平面，是三棱锥的高.设三棱锥的高为.由，可得，即，解得，故三棱锥的高为.2.【2017北京大兴区一模】如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点（）求证：PABD；（）求证：平面BDE平面PAC；（）当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【答案】详见解析解析：证明：（I）因为，所以平面，又因为平面，所以.（II）因为，为中点，所以，由（I）知，所以平面，所以平面平面.（III）因为平面，平面平面，所以.因为为的中点，所以，.由（I）知，平面，所以平面.所以三棱锥的体积.3.【2018衡水金卷】如图1，平行四边形中， ， ，现将沿折起，得到三棱锥 (如图2)，且，点为侧棱的中点.（）求证：平面平面； （）求三棱锥的体积；（）在的角平分线上是否