高中数学 第四章 函数应用 1_1 利用函数性质判定方程解的存在学案 北师大版必修1

11利用函数性质判定方程解的存在学习目标1.理解函数的零点、方程的根与图像交点三者之间的关系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图像判断零点个数知识点一函数的零点概念思考函数的“零点”是一个点吗？梳理概念：函数yf(x)的零点是函数yf(x)的图像与横轴的交点的_方程、函数、图像之间的关系：方程f(x)0_函数yf(x)的图像_函数yf(x)_知识点二零点存在性定理思考函数零点有时是不易求或求不出来的如f(x)lg xx.但函数值易求，如我们可以求出f()lg 1，f(1)lg 111.那么能判断f(x)lg xx在区间内有零点吗？梳理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是_，并且在区间端点的函数值符号相反，即_，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解这个结论可称为函数零点的存在性定理类型一求函数的零点例1函数f(x)(lg x)2lg x的零点为_反思与感悟函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标跟踪训练1函数f(x)(x21)(x2)2(x22x3)的零点个数是_类型二判断函数的零点所在的区间例2根据表格中的数据，可以断定方程ex(x2)0(e2.72)的一个根所在的区间是()x10123ex0.3712.727.4020.12x212345A.(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)反思与感悟在函数图像连续的前提下，f(a)f(b)0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)f(b)0，却不能判断在区间(a，b)内无零点跟踪训练2若函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.类型三函数零点个数问题例3求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数反思与感悟判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数(2)利用函数图像交点的个数判定函数零点的个数跟踪训练3求函数f(x)ln x2x6零点的个数例4f(x)2x(xa)1在(0，)内有零点，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)反思与感悟为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单跟踪训练4若函数f(x)x22mx2m1在区间(1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是()A(，11，)B(，1)(1，)C，D(，)1函数yx的零点是()A(0,0) Bx0 Cx1 D不存在2函数f(x)x22x的零点个数是()A0 B1 C2 D33若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)0，f(2)0，则下列说法正确的是()Af(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点Bf(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点Cf(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点Df(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点4下列各图像表示的函数中没有零点的是()5函数f(x)x3()x的零点有()A0个 B1个 C2个 D无数个1方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图像与x轴交点的横坐标2在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点3解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图像4函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础答案精析问题导学知识点一思考不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)0的实数x.实际上是函数yf(x)的图像与x轴交点的横坐标梳理横坐标有实数根与x轴有交点有零点知识点二思考能因为f(x)lg xx在区间内是连续的，函数值从变化到1，势必在内某点处的函数值为0.梳理连续曲线f(a)f(b)0题型探究例1x1或x10解析由(lg x)2lg x0，得lg x(lg x1)0，lg x0或lg x1，x1或x10.跟踪训练14解析f(x)(x1)(x1)(x2)2(x3)(x1)(x1)2(x1)(x2)2(x3)可知零点为1，2,3，共4个例2C令f(x)ex(x2)，则f(1)0.3710，f(0)120，f(1)2.7230.由于f(1)f(2)0，方程ex(x2)0的一个根在(1,2)内跟踪训练22解析函数f(x)3x7ln x在定义域上是增函数，函数f(x)3x7ln x在区间(n，n1)上只有一个零点f(1)37ln 140，f(2)67ln 20，函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(2,3)内，n2.例3解方法一f(0)10210，f(x)在(0,1)上必定存在零点又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数故函数f(x)有且只有一个零点方法二在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图像知g(x)lg(x1)的图像和h(x)22x的图像有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点跟踪训练3解方法一由于f(2)0，即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点又因为函数f(x)在定义域(0，)内是增函数，所以它仅有一个零点方法二通过作出函数yln x，y2x6的图像，观察两图像的交点个数得出结论也就是将函数f(x)ln x2x6的零点个数转化为函数yln x与y2x6的图像交点的个数由图像可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点例4D由题意可得ax()x(x0)令g(x)x()x，该函数在(0，)上为增函数，可知g(x)的值域为(1，)，故a1时，f(x)在(0，)内有零点跟踪训练4D函数f(x)x22mx2m1的零点分别在区间(1,0)和(1,2)内，即函数f(x)x22mx2m1的图像与x轴的交点一个