高考数学二轮专题复习 知能专练（十一）数列的综合应用

知能专练（十一） 数列的综合应用一、选择题1(2018届高三金华十校联考)已知Sn为数列an的前n项和，且满足a11，a23，an23an，则S2 018()A231 0092B231 009C. D.解析：选A由an23an可得数列an的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S2 018(a1a3a2 017)(a2a4a2 018)(2)(131 009)231 0092.2(2017长沙质检)已知数列an的前n项和为Sn，a11，当n2时，an2Sn1n，则S2 017的值为()A2 017 B2 016C1 009 D1 008解析：选C因为an2Sn1n，n2，所以an12Snn1，两式相减得an1an1，n2.又a11，所以S2 017a1(a2a3)(a2 016a2 017)1 009.3数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100()A200 B200C400 D400解析：选BS100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.4我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，.第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，an.则a1a2a2a3an1an()An2 B(n1)2Cn(n1) Dn(n1)解析：选Ca1a2a2a3an1ann2n2n2n(n1)5设ansin，Sna1a2an，在S1，S2，S100中，正数的个数是()A25 B50C75 D100解析：选D当1n24时，an0，当26n49时，an0，当76n99时，an0.6(2017全国卷)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是()A440 B330C220 D110解析：选A设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意可知，N100，令100，得n14，nN*，即N出现在第13组之后易得第n组的所有项的和为2n1，前n组的所有项的和为n2n1n2.设满足条件的N在第k1(kN*，k13)组，且第N项为第k1组的第t(tN*)个数，若要使前N项和为2的整数幂，则第k1组的前t项的和2t1应与2k互为相反数，即2t1k2，2tk3，tlog2(k3)，当t4，k13时，N4955时，N440，故选A.二、填空题7(2018届高三浙江名校联考)数列an满足a11，且对于任意的nN*都有an1a1ann，则an_，_.解析：依题意an1ann1，故an1ann1，故a2a12，a3a23，anan1n，由累加法可得ana1，an，故2，故2.答案：8对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，an的“差数列”的通项为2n，则数列an的前n项和Sn_.解析：an1an2n，当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n.当n1时，a12也适合上式，an2n(nN*)Sn2n12.答案：2n129已知数列n2n的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn(nm)2n10恒成立，则实数m的取值范围为_解析：Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，得Sn222232nn2n1n2n12n1n2n12.Sn(nm)2n10恒成立，2n1n2n12n2n1m2n10对任意的正整数n恒成立，m2n122n1对任意的正整数n恒成立，即m1，m1，即m的取值范围是(，1答案：(，1三、解答题10已知数列an满足a12a222a32n1an，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)a12a222a32n1an，当n2时，a12a222a32n2an1，得，2n1an，an(n2)，又a1也适合式，an(nN*)(2)由(1)知bn(2n1)，Sn135(2n1)，Sn135(2n1)，得，Sn2(2n1)1(2n1)，Sn3.11已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明：是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：.证明：(1)由an13an1得an13，所以3，所以数列是首项为a1，公比为3的等比数列，所以an3n1，解得an.(2)由(1)知：an，所以，因为当n1时，3n123n1，所以，于是1，所以.12已知正项数列an，bn满足：对任意正整数n，都有an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列，且a110，a215.(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列an，bn的通项公式；(3)设Sn，如果对任意正整数n，不等式2aSn2恒成立，求实数a的取值范围解：(1)证明：由已知，得2bnanan1，abnbn1.由得an1.将代入得，对任意n2，nN*，有2bn.即2.数列是等差数列(2)设数列的公差为d，由a110，a215.经计算，得b1，b218.，3，d3.(n1)(n4)bn，an.(3)由(2)得2.Sn22.不等式2aSn2化为4a2.即(a1)n2(3a6)n80.设f(n)(a1)n23(a2)n8，则f(n)0，即a1时，不满足条件；当a10，即a1时，满足条件；当a10，即a1时，f(n)的对称轴为x