高中数学第一章计数原理3组合第2课时组合的应用课件北师大版选修2_3

第2课时 组合的应用 第一章 3 组 合 学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题. 2.能解决有限制条件的组合问题. 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点 组合应用题的解法 1.无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、 求值；四、作答. 2.有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般 地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数 的多少分类. 题型探究 例1 去年7月23日，某铁路线发生特大交通事故，某医院从10名医疗专 家中抽调6名赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科 专家.问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ 类型一 有限制条件的组合问题 解答 解 分两步：首先从4名外科专家中任选2名，有 种选法， 再从除外科专家的6人中选取4人，有 种选法， 所以共有 90(种)抽调方法. 解 “至少”的含义是不低于，有两种解答方法， 方法一 (直接法)：按选取的外科专家的人数分类： 选2名外科专家，共有 种选法； 选3名外科专家，共有 种选法； 选4名外科专家，共有 种选法. 根据分类加法计数原理，共有 185(种)抽调方法. 方法二 (间接法)：不考虑是否有外科专家，共有 种选法，若选取1名 外科专家参加，有 种选法；没有外科专家参加，有 种选法，所以 共有 185(种)抽调方法. (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 解答 (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 解答 解 “至多2名”包括“没有”、“有1名”和“有2名”三种情况，分 类解答. 没有外科专家参加，有 种选法； 有1名外科专家参加，有 种选法； 有2名外科专家参加，有 种选法. 所以共有 115(种)抽调方法. (1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一 样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，采用分类或分 步法或用间接法. (2)要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等 的确切含义，正确分类，合理分步. (3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处 理，即“正难则反”的策略. 反思与感悟 跟踪训练1 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派 5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； 解答 解 第一步：选3名男运动员，有 种选法； 第二步：选2名女运动员，有 种选法，故共有 120(种)选法. (2)至少有1名女运动员； 解答 解 方法一 (直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女 4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类加法计数原理知共有 246(种)选法. 方法二 (间接法)：不考虑条件，从10人中任选5人，有 种选法，其中 全是男运动员的选法有 种，故“至少有1名女运动员”的选法有 246(种). (3)既要有队长，又要有女运动员. 解答 解 当有女队长时，其他人选法任意，共有 种选法； 不选女队长时，必选男队长，共有 种选法，其中不含女运动员的选 法有 种， 故不选女队长时共有 种选法. 所以既有队长又有女运动员的选法共有 191(种). 解答 解 方法一 可作出三角形 116(个). 方法二 可作三角形 116(个)， 其中以C1为顶点的三角形有 36(个). 类型二 与几何有关的组合应用题 例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A ，B的六个点C1，C2，C6，线段AB上有异于A ，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形 ？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形 ？ 解答 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异 面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法. (2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题 来解决. 反思与感悟 跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无 三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为 A.205 B.110 C.204 D.200 解析 解析 方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类 ，则得到所有的取法总数为 205. 方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个 点的情况，得到所有构成四面体的个数为 205. 答案 命题角度1 不同元素分组、分配问题 例3 有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配 方式？ (1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本； 类型三 分组、分配问题 解答 (2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； 解答 解答 (3)分成三组，每组都是2本； (4)分给甲、乙、丙三人，每人2本. 解答 分组、分配问题的求解策略 反思与感悟 常见形式处理方法 非均匀不 编号分组 n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不 考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为： A 均匀不编 号分组 将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等 ，不管是否分尽，其分法种数为 (其中A为非均匀不编号分 组中的分法数).如果再有k组均匀组应再除以 非均匀编 号分组 n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组 间的顺序，其分法种数为 均匀编号 分组 n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的 顺序，其分法种数为 跟踪训练3 某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间 至少住1人，且A，B不能住同一房间，则不同的安排方法的种数为 A.24 B.48 C.96 D.114 解析 解析 5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种. 当为(3,1,1)时，有 60(种)，A，B住同一房间有 18(种)，故有60 1842(种). 当为(2,2,1)时，有 90(种)，A，B住同一房间有 18(种)， 故有901872(种). 根据分类加法计数原理共有4272114(种). 答案 命题角度2 相同元素分配问题 例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子， 求下列方法的种数. (1)每个盒子都不空； 解答 (2)恰有一个空盒子； 解答 解 恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板 ， 然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000|00|， 解 恰有两个空盒子，插板分两步进行. 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块 隔板，有 种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒. 这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子， 如|00|0000|，有 种插法. 将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有 种插法. 故共有 30(种). (3)恰有两个空盒子. 解答 相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成 一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒 ”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称 之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm)，有 种方法.可描 述为n1个空中插入m1块板. 反思与感悟 跟踪训练4 有10个运动员名额，分给班号分别为1,2,3的3个班. (1)每班至少有1个名额，有多少种分配方案？ 解答 解 因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个 空隙，在9个空隙中选2个位置插入隔板，可把名额分成3份，对应地分 给3个班级，每一种插板方法对应一种分法，共有 36(种)分法. 下图是其中一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是2个、5个、3个 . 解 因为要求每班至少2个名额，和第(1)小问中的要求不一样，可以先 从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题 目转化为7个名额分给3个班级，每个班级至少1个名额，按照第(1)小问 的方法，可得有 15(种)分法. 下图是其中的一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是314(个) ，213(个)，213(个). (2)每班至少有2个名额，有多少种分配方案？ 解答 (3)每班的名额不能少于其班号数，有多少种分配方案？ 解 2班、3班分别先给1个和2个名额，此时问题转化为7个名额分给3个 班级，每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有 15( 种)分法. 下图是其中一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是033(个)， 213(个)，224(个). 解答 (4)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？ 解 增加3个名额，使得每个班级至少有1个名额，此时问题转化为13个 名额分给3个班级，每个班级至少1个名额，按照第(1)小问的方法，可 得有 66(种)分法. 下图是其中一种分法，表示1班、2班、3班的名额分别是312(个)， 615(个)，413(个). 解答 当堂训练 23451 1.从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中 男、女医生都有，则不同的组队方案共有 A.70种 B.80种 C.100种 D.140种 解析 解析 可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名. 答案 2341 2.某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按 下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选 一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有 A.210种 B.420种 C.56种 D.22种 答案解析 解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所 以每天不同午餐的搭配方法共有 210(种). 5 2341 3.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各 选修3门，则不同的选修方案共有 A.36种 B.48种 C.96种 D.192种 答案解析 解析 甲选2门有 种选法，乙选3门有 种选法，丙选3门有 种选法. 共有 96(种)选法. 5 2341 4.直角坐标平面xOy上，平行直线xn(n0,1,2，5)与平行直线 y n(n0,1,2，5)组成的图形中，矩形共有 A.25个 B.36个 C.100个 D.225个 答案解析 解析 在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取 2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为 1515 225. 5 解析 方法一 可分三类： A，B，C三人均不入选，有 种选法； A，B，C三人中选一人，有 种选法； A，B，C三人中选二人，有 种选法. 由分类加法计数原理，共有选法 756(种). 方法二 先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人均入选的情况，即共 有选法 756(种). 5.要从12人中选出5人参加一次活动，其中A，B，C三人至多两人入选， 则有_种不同选法. 解析 23451答案 756 规律与方法 1.无限制条件的组合应用题的解题步骤 (1)判断.(2)转化.(3)求值.(4)作答. 2.有限制条件的组合应用题的分类 (1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特 殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”. 若正面入手不易，则