高考数学二轮复习 第四板块 拓视野 巧迁移练酷专题教学案 文

第四板块 拓视野 巧迁移第一讲创新应用问题一、实际应用问题(1)应用性问题叙述中往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化.(2)建立数学模型后，运用恰当的数学方法解模(如借助不等式、导数等工具加以解决).典例(1)一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角分别截去边长为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，当无盖方盒的容积最大时，x的值应为()A6B3C1 D.解析无盖方盒的底面边长为62x，高为x，其容积V(x)(62x)2x4x324x236x(0x3)，则V(x)12x248x3612(x1)(x3)，当x(0,1)时，V(x)0，函数V(x)单调递增；当x(1,3)时，V(x)0，函数V(x)单调递减故当x1时，无盖方盒的容积最大答案C(2)(2016四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年 B2019年C2020年 D2021年解析设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元由130(112%)n200，得1.12n，两边取常用对数，得n，n4，从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元答案B反思领悟解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型创新预测为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人的交通违规行为进行处罚教育为了更加详细地研究处罚金额对闯红灯人数的作用，在某一个路口进行了五天试验，得到当天的处罚金额与闯红灯人数的统计数据如下表：当天处罚金额x(单位：元)05101520当天闯红灯人数y8050402010(1)根据以上数据，建立当天闯红灯人数y关于当天处罚金额x的回归直线方程；(2)现按照处罚金额用分层抽样的方法，从这五天闯红灯的人中抽取40人进行交通安全教育，再从这40人中被处罚的金额为15元和20元的行人中，随机抽取2人进行重点教育，求所抽取的2人被处罚金额不同的概率参考公式：，.解：(1)由题意得(05101520)10，(8050402010)40，iyi0805501040152020101 150，025100225400750，所以3.4，403.41074，所以当天闯红灯人数y关于当天处罚金额x的回归直线方程为3.4x74.(2)这五天中闯红灯的行人共计200人，从中抽取40人，则抽样比为，故应从被处罚金额为15元的行人中抽取204(人)，记为A1，A2，A3，A4；应从被处罚金额为20元的行人中抽取102(人)，记作B1，B2.从上述6人中随机抽取2人的基本事件有A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，B1，A1，B2，A2，A3，A2，A4，A2，B1，A2，B2，A3，A4，A3，B1，A3，B2，A4，B1，A4，B2，B1，B2，共15个记“所抽取的2人被处罚金额不同”为事件M，则M包含的基本事件有A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，A4，B1，A4，B2，共8个故P(M).二、创新性问题(1)以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.(2)以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.(3)以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.典例设D是函数yf(x)定义域内的一个区间，若存在x0D，使得f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”若函数f(x)ax23xa在区间1,4上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是()A(，0B.C. D.解析由题意，方程ax23xax在区间1,4上有解，显然x1，所以方程ax23xax在区间(1,4上有解，即求函数a在区间(1,4上的值域，令t4x5，则t(1,11，a，当t(1,0时，a0；当t(0,11时，0a，当且仅当t3时取等号综上，实数a的取值范围是.答案C反思领悟高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略创新预测1定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差已知向量列an是以a1(1,3)为首项，公差为d(1,0)的等差向量列，若向量an与非零向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，则_.解析：易知an(1,3)(n1,0)(n,3)，因为向量an与非零向量bn(xn，xn1)(nN*)垂直，所以，所以.答案：2(2017青岛一模)如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”给出下列函数：yx2；yex1；y2xsin x；f(x)以上函数是“H函数”的所有序号为_解析：由不等式x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，得x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，即(x1x2)f(x1)f(x2)0.所以函数f(x)为定义域R上的单调增函数yx2在(，0上单调递减，在0，)上单调递增，不合题意；因为yex1，所以yex0，故该函数在R上为单调增函数，满足题意；因为y2xsin x，所以y2cos x0，故该函数在R上为单调增函数，满足题意；显然，函数f(x)为偶函数，而偶函数在y轴两侧的单调性相反，故不合题意综上，为“H函数”答案：3.如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若xe1ye2(其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向上的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y)，向量的斜坐标为(x，y)给出以下结论：若60，P(2，1)，则|；若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)；若(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2y1y2；若60，以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2y2xy10.其中所有正确结论的序号是_解析：对于，OP是两邻边长分别为2,1，且一内角为60的平行四边形较短的对角线，解三角形可知|，故正确；对于，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，故正确；对于，(x1，y1)，(x2，y2)，所以(x1e1y1e2)(x2e1y2e2)，因为e1e20，所以x1x2y1y2，故错误；对于，设圆O上任意一点为P(x，y)，因为|OP|1，所以(xe1ye2)21，所以x2y2xy10，故正确故填.答案：三、数学文化问题高考中数学文化问题，往往以古代数学名著如九章算术数书九章算数书等为背景，考查高中数学中的三角函数、数列、立体几何、算法等知识，体现数学的科学价值和人文价值.1三角函数中的数学文化典例第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为，那么tan_.思路分析本题先根据题意确定大、小正方形的边长，再由直角三角形中锐角的三角函数值确定角满足的条件，由此依据相关的三角函数公式进行计算即可解析依题意得大、小正方形的边长分别是1,5，于是有5sin 5cos 1，即有sin cos .从而(sin cos )22(sin cos )2，则sin cos ，因此sin ，cos ，tan ，故tan7.答案7相关链接1 700多年前，赵爽绘制了极富创意的弦图，采用“出入相补”原理使得勾股定理的证明不证自明该题取材于第24届国际数学家大会会标，题干大气，设问自然，流露出丰富的文化内涵既巧妙地考查了三角函数的相关知识，又丰富了弦图的内涵，如正方形四边相等寓言各国及来宾地位平等，小正方形和三角形紧紧簇拥在一起，表明各国数学家要密切合作交流等等创新预测欧拉公式eixcos xisin x是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，复数ee(1i)2的虚部是()A1B1C2 D2解析：选D依题意得，ee(1i)22i12i，其虚部是2.2数列中的数学文化典例(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏C5盏 D9盏思路分析此问题实质是等比数列问题，相当于已知S7，求a1.解析每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前7项的和S7381，公比q2，依题意，得S7381，解得a13.答案B相关链接我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差(或等比)数列问题，因此，各级各类考试试卷中涉及等差(或等比)数列的数学文化题也频繁出现解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差、等比数列的概念、通项公式和前n项和公式求解创新预测中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A192里 B96里C48里 D24里解析：选B依题意，每天走的路程成公比为等比数列，设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意有378，解得a1192，则a219296，即第二天走了96里3立体几何中的数学文化典例(1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)其直观图如图所示，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是()Aa，bBa，cCc，bDb，d思路分析观察题目所给直观图，理解题干中有关“牟合方盖”的特征叙述，结合“当其正视图和侧视图完全相同时”这个关键条件作答解析当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.答案A相关链接“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程(2)我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A4 B8C8 D82思路分析根据题设所给的三视图，可知其所对应几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，再根据祖暅原理和有关数据计算即可解析由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为238，半圆柱的体积为(12)2，因此该不规则几何体的体积为8.答案C相关链接祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个有关几何求积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年人民教育出版社数学必修2(A版)第30页“探究与发现”中专门介绍了祖暅原理本题取材于祖暅原理，考查几何体的三视图和体积计算，既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化创新预测(2017武汉模拟)中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为()A1.2 B1.6C1.8 D2.4解析：选B该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4x,3，1的长方体，组合体的体积VV圆柱V长方体2x(5.4x)3112.6(其中3)，解得x1.6.4算法中的数学文化典例(1)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()A9 B18C20 D35思路分析读懂程序框图，按程序框图依次执行即可解析由程序框图知，初始值：n3，x2，v1，i2，第一次循环：v4，i1；第二次循环：v9，i0；第三次循环：v18，i1.结束循环，输出当前v的值18.故选B.答案B相关链接九章算术系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合(2)(2017安徽二校联考)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n”表示m除以n的余数)，若输入的m，n分别为495,135，则输出的m()A0 B5C45 D90解析该程序框图是求495与135的最大公约数，由495135390,13590145,90452，所以495与135的最大公约数是45，所以输出的m45.答案C创新预测公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为_(参考数据：sin 150.258 8，sin 7.50.130 5)解析：n6，S6sin 602.598 13.1，不满足条件，进入循环；n12，S12sin 3033.1，不满足条件，继续循环；n24，S24sin 15120.258 83.105 63.1，满足条件，退出循环，输出n的值为24.答案：241(2017大连二模)定义运算：xy例如：343，(2)44，则函数f(x)x2(2xx2)的最大值为()A0B1C2 D4解析：选D由题意可得f(x)x2(2xx2)当0x2时，f(x)0,4；当x2或x0时，f(x)(，0)综上可得函数f(x)的最大值为4.2朱载堉(15361611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作律学新说中制成了最早的“十二平均律”十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍设第三个音的频率为f1，第七个音的频率为f2.则()A. B.C4 D.解析：选A设13个音的频率所成的等比数列an的公比为q，则依题意，有a13a1q122a1，所以q2，所以q42.3(2017宜昌三模)已知甲、乙两车间的月产值在2017年1月份相同，甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙车间以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同到2017年7月份发现两车间的月产值又相同，比较甲、乙两个车间2017年4月份月产值的大小，则()A甲车间大于乙车间 B甲车间等于乙车间C甲车间小于乙车间 D不确定解析：选A设甲车间以后每个月比前一个月增加相同的产值a，乙车间每个月比前一个月增加产值的百分比为x，甲、乙两车间的月产值在2017年1月份均为m，则由题意得m6am(1x)6.4月份甲车间的月产值为m3a,4月份乙车间的月产值为m(1x)3，由知，(1x)61，即4月份乙车间的月产值为m，(m3a)2(m26ma)9a20，m3a，即4月份甲车间的月产值大于乙车间的月产值4.如图，某广场要规划一矩形区域ABCD，并在该区域内设计出三块形状、大小完全相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周均设置有1 m宽的走道，已知三块绿化区的总面积为200 m2，则该矩形区域ABCD占地面积的最小值为()A248 m2 B288 m2C328 m2 D368 m2解析：选B设绿化区域小矩形的宽为x，长为y，则3xy200，y，故矩形区域ABCD的面积S(3x4)(y2)(3x4)2086x2082288，当且仅当6x，即x时取“”，矩形区域ABCD的面积的最小值为288 m2.5已知函数yf(x)(xR)，对函数yg(x)(xR)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数yh(x)(xR)，yh(x)满足：对任意的xR，两个点(x，h(x)，(x，g(x)关于点(x，f(x)对称若h(x)是g(x)关于f(x)3xb的“对称函数”，且h(x)g(x)恒成立，则实数b的取值范围是_解析：根据“对称函数”的定义可知，3xb，即h(x)6x2b，h(x)g(x)恒成立，等价于6x2b，即3xb恒成立，设F(x)3xb，m(x)，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d2，即|b|2，b2或b2(舍去)，即要使h(x)g(x)恒成立，则b2，即实数b的取值范围是(2，)答案：(2，)6三国魏人刘徽，自撰海岛算经，专论测高望远其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高均为3丈的标杆BC和DE，前后标杆相距1 000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A，C，F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A，E，G三点也共线，问岛峰的高度AH_步(古制：1步6尺，1里180丈1 800尺300步)解析：如图所示，由题意知BCDE5步，BF123步，DG127步，设AHh步，因为BCAH，所以BCFHAF，所以，所以，即HF.因为DEAH，所以GDEGHA，所以，所以，即HG，由题意(HG127)(HF123)1 000，即41 000，h1 255，即AH1 255步答案：1 2557对于定义在区间D上的函数f(x)，若存在闭区间a，bD和常数c，使得对任意x1a，b，都有f(x1)c，且对任意x2D，当x2a，b时，f(x2)c恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数给出下列结论：“平顶型”函数在定义域内有最大值；函数f(x)x|x2|为R上的“平顶型”函数；函数f(x)sin x|sin x|为R上的“平顶型”函数；当t时，函数f(x)是区间0，)上的“平顶型”函数其中正确的结论是_(填序号)解析：由于“平顶型”函数在区间D上对任意x1a，b，都有f(x1)c，且对任意x2D，当x2a，b时，f(x2)c恒成立，所以“平顶型”函数在定义域内有最大值c，正确；对于函数f(x)x|x2|，当x2时，f(x)2，当x2时，f(x)2x22，所以正确；函数f(x)sin x|sin x|是周期为2的函数，所以不正确；对于函数f(x)，当x1时，f(x)2，当x1时，f(x)2，所以正确答案：8(2018届高三兰州八校联考)某公司为了变废为宝，节约资源，新研发了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间近似满足函数关系y且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴(1)当x200,300时，判断该项目能否获利如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府每个月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低？解：(1)当x200,300时，设该项目所获利润为S，则S200x(x400)2，所以当x200,300时，S0，因此该项目不能获利当x300时，S取得最大值5 000，所以政府每个月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损(2)由题意可知，每吨生活垃圾的平均处理成本为f(x)当x120,144)时，f(x)x280x5 040(x120)2240，所以当x120时，f(x)取得最小值240；当x144,500时，f(x)x2002200200，当且仅当x，即x400时，f(x)取得最小值200，因为200240，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨生活垃圾的平均处理成本最低9为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：年固定成本每件产品的成本每件产品的销售价每年可最多生产的件数甲产品20a10200乙产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且6a8.另外，当年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x(xN*)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；(3)如何决定投资可使年利润最大解：(1)y1(10a)x20(1x200，xN*)，y20.05x210x40(1x120，xN*)(2)10a0，故y1为增函数，当x200时，y1取得最大值1 980200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1 980200a)万美元y20.05(x100)2460(1x120，xN*)，当x100时，y2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元(3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980200a)万美元，生产乙产品的最大年利润为460万美元，(1 980200a)4601 520200a，且6a8，当1 520200a0，即6a7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润；当1 520200a0，即a7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；当1 520200a0，即7.6a8时，投资生产乙产品100件可获得最大年利润10某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3 000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩，评定为“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果如下表，其对应的频率分布直方图如图所示.等级不及格及格良好优秀成绩70,90)90,110)110,130)130,150频数6a24b(1)求a，b，c的值；(2)试估计该校安全意识测试被评定为“优秀”的学生人数；(3)采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训然后从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中有1人为“优秀”的概率解：(1)由频率分布直方图可知，成绩在70,90)的频率为0.005200.1，由成绩在70,90)内的频数为6，可知抽取的学生答卷数为60，则6a24b60，即ab30.由频率分布直方图可知，成绩在130,150内的频率为0.010200.2，即0.2.由得a18，b12.进而可得c0.015.(2)由频率分布直方图可知，成绩在130,150内的频率为0.2，由频率估计概率，可知从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为0.2，设该校安全意识测试被评定为“优秀”的学生人数为n，则0.2，解得n600，所以估计该校安全意识测试被评定为“优秀”的学生人数为600.(3)评定等级为“良好”和“优秀”的学生人数之比为241221，故选取的6人中评定等级为“良好”的有4人，记为a，b，c，d，评定等级为“优秀”的有2人，记为A，B，则从这6人中任取2人，所有基本事件为AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15个，记事件M为“所抽取的2人中有1人为优秀”，则事件M含有8个基本事件，为Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，所以P(M).第二讲临界知识问题一、定义新知型临界问题从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力.多与函数、平面向量、数列联系考查.典例(1)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp，下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2解析根据题意可知若a，b共线，可得mqnp，所以abmqnp0，所以A正确；因为abmqnp，而banpmq，故二者不一定相等，所以B错误；对任意的R，(a)bmqnp(mqnp)(ab)，所以C正确；(ab)2(ab)2m2q2n2p22mnpqm2p2n2q22mnpq(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，所以D正确故选B .答案B点评本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力(2)若数列an满足：对任意的nN*，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列(an)*例如，若数列an是1,2，3，n，则数列(an)*是0,1,2，n1，已知对任意的nN*，ann2，则(a5)*_，(an)*)*_.解析因为am5，而ann2，所以m1,2，所以(a5)*2.因为(a1)*0，(a2)*1，(a3)*1，(a4)*1，(a5)*2，(a6)*2，(a7)*2，(a8)*2，(a9)*2，(a10)*3，(a11)*3，(a12)*3，(a13)*3，(a14)*3，(a15)*3，(a16)*3，所以(a1)*)*1，(a2)*)*4，(a3)*)*9，(a4)*)*16，猜想(an)*)*n2.答案2n2点评本题以数列为背景，通过新定义考查学生的自学能力、创新能力、探究能力创新预测在平面直角坐标系xOy中，是一个平面点集，如果存在非零平面向量a，对于任意P，均有Q，使得a，则称a为平面点集的一个向量周期现有以下四个命题：若平面点集存在向量周期a，则ka(kZ，k0)也是的向量周期；若平面点集形成的平面图形的面积是一个非零常数，则不存在向量周期；若平面点集(x，y)|x0，y0，则b(1,2)为的一个向量周期；若平面点集(x，y)|yx0(m表示不大于m的最大整数)，则c(1,1)为的一个向量周期其中真命题是_(填序号)解析：对于，取(x，y)|x0，y0，a(1,0)，则a为的向量周期，但a(1,0)不是的向量周期，故是假命题；易知是真命题；对于，任取点P(xP，yP)，则存在点Q(xP1，yP2)，所以b是的一个向量周期，故是真命题；对于，任取点P(xP，yP)，则yPxP0，存在点Q(xP1，yP1)，所以yP1xP1yP1(xP1)0，所以Q，所以c是的一个向量周期，故是真命题综上，真命题为.答案：二、高等数学背景型临界问题以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一.常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等.1取整函数x设xR，用x表示不大于x的最大整数，则x称为取整函数，也叫高斯函数(这一函数最早由高斯引入，故得名)典例设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有()Axx B2x2xCxyxy Dxyxy思路分析解读取整函数的定义，取特殊值进行判断即可解析取特殊值进行判断当x1.1时，x2，x1，故A错；当x1.9时，2x3,2x2，故B错；当x1.1，y1.9时，xy3，xy2，故C错选D.答案D点评本题是以取整函数yx为背景的新定义题型，解题的关键是理解x的定义考查学生对信息的理解和运用能力创新预测设集合A和Bx|log2(x2x)2，其中符号x表示不大于x的最大整数，则AB_.解析：因为8x2 017，x的值可取3，2，1，0,1,2,3.当x3，则x21，无解；当x2，则x22，解得x；当x1，则x23，无解；当x0，则x24，无解当x1，则x25，无解；当x2，则x26，解得x；当x3，则x27，无解综上AB，答案：，2最值函数定义1：最大值、最小值设a，bR，记mina，b为a，b中较小的数，maxa，b为a，b中较大的数若ab，则mina，bmaxa，bab.定义2：最大函数、最小函数设f(x)，g(x)均为定义在I上的函数，记minf(x)，g(x)为f(x)，g(x)中值较小的函数，maxf(x)，g(x)为f(x)，g(x)中值较大的函数若f(x)g(x)，则minf(x)，g(x)maxf(x)，g(x)f(x)典例已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()A16 B16Ca22a16 Da22a16思路分析理解最大、最小函数的定义，画出二次函数f(x)，g(x)的图象，从图象上即可得到A，B的取值解析f(x)的图象的顶点坐标为(a2，4a4)，g(x)的图象的顶点坐标为(a2，4a12)，并且f(x)与g(x)的图象的顶点都在对方的图象上，如图所示，所以AB4a4(4a12)16.答案B点评本题考查了二次函数的图象和性质的应用，试题以信息的形式给出，增加了试题的难度，同时考查了数形结合和转化化归的数学思想解题过程中要能够结合图象特点，将问题转化为研究函数图象的交点问题创新预测记实数x1，x2，xn中的最大数为maxx1，x2，xn，最小数为minx1，x2，xn已知ABC的三边边长分别为a，b，c(abc)，定义它的倾斜度为maxmin，则“1”是“ABC为等边三角形”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A注意到0abc，则有1，1，1，max.当倾斜度等于1时，ABC未必是等边三角形，如取ab2，c3，此时1，maxmin1，即ABC的倾斜度等于1，但ABC显然不是等边三角形反过来，当ABC为等边三角形时，1，maxmin1，倾斜度等于1.故选A.3有界函数定义在区间D上的函数f(x)，若满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f(x)|M成立，则称f(x)是区间D上的有界函数，其中M称为f(x)在区间D上的上界典例已知函数f(x)1axx，若函数f(x)在0，)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围思路分析利用有界函数的定义，将问题转化为不等式恒成立问题，再求相应函数的最大值和最小值解由题意知，|f(x)|3在0，)上恒成立，即3f(x)3.所以42xxa22xx在0，)上恒成立，即maxamin.设t2x，h(t)4t，p(t)2t，且t1，)，易知h(t)4t在1，)上单调递减，p(t)2t在1，)上单调递增，所以h(t)在1，)上的最大值为h(1)5，p(t)在1，)上的最小值为p(1)1.故实数a的取值范围为5,1点评本题以有界函数为背景，考查学生解决“不等式恒成立”问题的能力，其中理解有界函数的意义是解题的关键创新预测设函数yf(x)在(0，)上有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)取函数f(x)，恒有fK(x)f(x)，则()AK的最大值为 BK的最小值为CK的最大值为2 DK的最小值为2解析：选B函数f(x)的定义域为(0，)f(x).设g(x)ln x1，则g(x).所以g(x)0在(0，)上恒成立，即g(x)在(0，)上单调递减又g(1)1ln 110，所以当x(0,1)时，g(x)0，即f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(1，)时，g(x)0，即f(x)0，函数f(x)单调递减故函数f(x)的最大值为f(1).由fK(x)f(x)恒成立可得K.故K的最小值为.三、立体几何中的临界问题在立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.典例某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大值为()A2B2C4 D2解析本题可以以长方体为载体，设该几何体中棱长为的棱与此长方体的体对角线重合，则此棱各射影分别为相邻三面的对角线，其长度分别为，a，b，设长方体的各棱长分别为x，y，z，则有a2b28.所以2ab4，故ab的最大值为4.答案C点评空间平行投影问题本质是考查三视图的有关知识，难点是需要学生有较强的空间想象能力，因此在解决投影问题时，可以将几何体置身于长方体中，将长方体作为背景可以增强考生的空间想象能力创新预测如图，正四面体ABCD的棱长为1，棱AB平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是_解析：如题图，设正四面体ABCD在平面上的射影构成的图形面积为S，因为AB平面，从运动的观点看，当CD平面时，射影面积最大，此时射影图形为对角线长是1的正方形，面积最大值为；若CD或其延长线与平面相交时，则当CD平面时，射影面积为最小，最小值为(证明略)，所以S.答案：1某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为()AyByCy Dy解析：选B法一：特殊值法，若x56，y5，排除C、D，若x57，y6，排除A，所以选B.法二：设x10m(09)，当06时，m，当69时，m11，所以选B.2对于定义域为R的函数f(x)，若f(x)在区间(，0)和区间(0，)上均有零点，则称函数f(x)为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是()Af(x)x2bx1(bR)Bf(x)2|x1|Cf(x)2xx2Df(x)xsin x解析：选D因为f(x)x2bx1(bR)的零点即为方程x2bx10的根，所以b240，且方程x2bx10有一正根一负根，故函数f(x)x2bx1(bR)是“含界点函数”；令2|x1|0，得x3或x1，故f(x)2|x1|在区间(，0)和区间(0，)上均有零点，即f