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数学基础知识与典型例题数学基础知识与典型例题（第十章排列、组合、概率与统计）排列与组合1分类计数原理: 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有N= n1+n2+n3+nM种不同的方法2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1n2n3nM 种不同的方法注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。3.排列的定义：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.排列数的定义: 从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数， 用符号表示. 其中n，m，并且mn排列数公式: 当m=n时，排列称为全排列，排列数为= 记为n!, 且规定O!=1.注： ; 4.组合的定义: 从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数的定义: 从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号表示.组合数公式: .规定，其中m，nN+，mn.注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序.排列与组合组合数的两个性质: 从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的. 根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C种，依分类原理有. 5解排列、组合题的基本策略与方法()排列、组合问题几大解题方法：直接法; 排除法;捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法. ()排列组合常见解题策略：特殊元素优先安排策略； 合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；正难则反，等价转化策略； 相邻问题插空处理策略；不相邻问题插空处理策略； 定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略； “小集团”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略.6.二项式定理:对于，,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的展开式.注:展开式具有以下特点：项数：共有项；系数：依次为组合数且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开.二项展开式的通项：的展开式第r+1为.二项式系数的性质.二项展开式中的叫做二项式系数在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；即排列与组合二项展开式的中间项二项式系数最大且当时，二项系数是逐渐增大，当时，二项式系数是逐渐减小的()当n是偶数时,中间项是第项,它的二项式系数最大;()当n是奇数时,中间项为两项,即第项和第项,它们的二项式系数最大.系数和：所有二项式系数的和：;奇数项二项式系数的和偶数项而是系数的和: .如何来求展开式中含的系数呢？其中且把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为.其系数为.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。排列与组合例1. 3个班分别从5 个景点中选择1处游览，不同的选法种数是( )(A)5 (B)3 (C)A (D)C例2. 5本不同的课外读物分给5位同学,每人一本,则不同的分配方法有( )(A)20种 (B)60种 (C)120种 (D)100种例3. 6个人排成一排，甲、乙、丙必须站在一起的排列种数为( ).(A)(B)(C) (D)例4. 如果集合A=x21，则组成集合A的元素个数有( ).(A)1个(B)3个(C)6个 (D)7个例5.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是( )(A)7 (B) (C)21 (D)例6. 设(1+x)+(1+x)+(1+x)= a+ax+ax+ax则a= ( ) (A) C (B) C (C) 2C (D) C例7. 在的展开式中，的系数是( )(A)-297 (B)-252 (C)297 (D)207例8. 对于小于55的自然数，积(55-n)(56-n)(68-n)(69-n)等于 ( )(A)A (B)A (C)A (D)A例9. 若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2+a8x8+a9x9，则a1+a2+a8的值为_.排列与组合例10. 一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n3，nN)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.如图1，圆环分成的3等份为a1，a2，a3，有多少不同的种植方法？如图2，圆环分成的4等份为a1，a2，a3，a4，有多少不同的种植方法？如图3，圆环分成的n等份为a1，a2，a3，an，有多少不同的种植方法？概率1.随机事件及其概率:必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件.不可能事件: 在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件.随机事件: 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件的概率,记作.概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小,它的取值范围是,必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.2.等可能事件的概率:基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.等可能事件的概率:如果一次试验由个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是,如果某个事件包含的结果有个,那么事件的概率为.3.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 对立事件的概率和等于1：. 互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. 从集合的角度看，由事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集I中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 概率4. 相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件.注: 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(AB)=P(A)P(B). 证明：设甲试验共有N1种等可能的不同结果，其中属于A发生的结果有m1种，乙试验共有N2种等可能的不同结果，其中属于B发生的结果有m2种，由于事件A与B相互独立，N1，m1与N2，m2之间是相互没有影响的，那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有N1N2种不同的搭配，显然这些搭配都是具有等可能性的.另外，考察属于事件AB的试验结果，显然，凡属于A的任何一种试验的结果同属于B的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A与B同时发生，即属于事件AB，这种结果总共有m1m2种.因此得：P(AB), P(AB)P(A)P(B)注:当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.推广:如果事件相互独立,那么独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：.(注:此式为二项式(1-P)+Pn展开式的第k+1项.)注: 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与与B，与也都相互独立.对任何两个事件都有概率例11. 10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是( )(A) (B) (C) (D)例12. 2006年6月7日,甲地下雨的概率是0.15，乙地下雨的概率是0.12.假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响,那么甲、乙都不下雨的概率是( )(A) 0.102 (B) 0.132 (C) 0.748 (D) 0.982例13. 从1，2，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是( )(A) (B) (C) (D)例14. 袋中有红球、黄球、白球各1个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是的是( )(A)颜色全相同 (B)颜色不全相同 (C)颜色全不同 (D)颜色无红色例15. 袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2球，在下列事件中：(1)恰有1个白球和恰有2个白球；(2)至少有1个白球和全是白球；(3)至少有1个白球和至少有1个黑球；(4)至少有1个白球和全是黑球。是对立事件的为( )(A) (1) (B) (2) (C) (3) (D) (4)例16. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是了( )(A) (B) (C)(D)例17. 某班有50名学生，其中 15人选修A课程，另外35人选修B课程从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是 (结果用分数表示)概率例18. 某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从09这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇出的号码相同(不计顺序)即可得奖，则中奖的概率是_(用数字作答)例19. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：他第3次击中目标的概率是0.9；他恰好击中目标3次的概率是0.930.1；他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是_ (写出所有正确结论的序号).例20. A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z0，且），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜.（1）用x、y、z表示B胜的概率；（2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？随机变量与统计 1.随机试验:试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量,如果随机变量可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.注:若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.2. 离散型随机变量：设离散型随机变量可能取的值为：取每一个值的概率，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列.P有性质； .3. 称为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.注: 随机变量的数学期望： 随机变量与统计4. 方差、标准差：当已知随机变量的分布列为时，则称为的方差. 显然，故为的根方差或标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.注:随机变量的方差.（a、b均为常数）期望与方差的转化： 5. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：其中 于是得到随机变量的概率分布如下：01P我们称这样的随机变量服从二项分布，记作B（n,p），其中n，p为参数，并记.注:对二项分布有,6. 几何分布: 在独立重复试验中一次随机试验中某事件发生的概率是,该事件第一次发生时所做试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量. “”表示在第次独立重复试验时事件第一次发生. 于是得到随机变量的概率分布如下: ()123则称这样的随机变量服从几何分布,并记,其中,.注：如果随机变量服从几何分布即 , 则.7.常用的抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种.类 别共同点不同点联 系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽取是后两种方法的基础总体个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在超始部分抽样时用简单随机抽样总体个数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成随机变量与统计8.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,样本容量越大,估计越准确.将总体与随机变量沟通后,就可以用概率的知识研究统计问题. 当总体中的个体取不同值很少时,其频率分布表由所取的样本的不同值及相应的频率来表示,其几何表示就是相应的条形图. 当总体中的个体取不同值较多时,对其频率分布的研究要用到整理样本数据的知识,列出分组区间和各区间内取值的频数和频率,其几何表示就是相应的频率分布直方图. 累积频率分布是从另一个角度反映了一组数据分布的情况,因此在频率分布表中常增设一列累积频率,而且常在频率分布直方图下面画出累积频率分布图.频率分布将随着样本容量的增大而更加接近总体分布,当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时,则频率分布直方图趋近于总体密度曲线时,相应的累积频率分布图也会趋近于一条光滑曲线,即累积分布曲线. 生产过程中的质量控制图: 通过生产过程中的质量控制图,了解统计中假设检验的基本思想,明确正态总体及其概率密度函数的概率,掌握正态曲线的性质及其应用,并了解 “小概率事件”的概念和它在一次试验中不可能发生的思想.9. 正态分布.（基本不列入考试范围）()密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量，如图位于x轴上方的曲线叫的密度曲线，以其作为图像的函数叫做的密度函数, 则落在任一区间内的概率等于它与x轴和直线与直线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）.由于“”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1. ()正态分布与正态曲线：如果随机变量的概率密度为：. （为常数，且），称服从参数为的正态分布，用表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.正态分布的期望与方差：若，则的期望与方差分别为：.正态曲线的性质.曲线在x轴上方，与x轴不相交.曲线关于直线对称.当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.当时，曲线上升；当时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.().标准正态分布：如果随机变量的概率函数为，则称服从标准正态分布. 即有，求出，而P（ab）的计算则是.随机变量与统计注意：当标准正态分布的的x取0时，有当的x取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图. 正态分布与标准正态分布间的关系：若则的分布函数常用表示，且有. 注:一般正态分布,均可化为标准正态总体来进行研究.若,只需作变换,就可使,有公式.若,则=() “3”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.确定一次试验中的取值是否落入范围.做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“3”原则的应用：若随机变量服从正态分布则 落在内的概率为99.7 亦即落在之外的概率为0.3，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即不服从正态分布）.10. 线性回归: （基本不列入考试范围）回归分析是研究两个或两个以上变量之间相关关系的一种统计方法。严格说来，相关关系分为两种，对两个自变量来说，如果它们都是随机的，称它们为相关关系；如果其中一个是可以控制的，非随机的，另一个是随机的，称这种关系为回归关系。由一个非随机的变量来估计或预测另一个随机变量的观测值，所建立的数学模型及进行的统计分析，称为一元回归分析，如果这个数学模型是线性的则称为一元线性回归分析。尽管具有相关性的变量间的关系不确定，但可以通过大量试验来找出它们之间的统计规律性，然后用一个函数关系近似地描述它们，而且这个函数是线性的，则称它为线性回归函数。实际上在用相关系数判定出变量之间线性相关后，一般能用很多条直线来近似地表示x与y这两个变量间的线性关系，因此存在一条最合适的直线，这条直线用著名的“最小二乘法”可以求解，课本的阅读材料就是“最小二乘法”的运用。 散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.随机变量与统计例21. 对于一组数据 (i=1，2，3，n)，如果将它们改变为c(i=1，2，3，n)，其中c0，则下面结论中正确的是( ) (A)平均数与方差均不变 (B)平均数变了，而方差保持不变(C)平均数不变，而方差变了 (D)平均数与方差均发生了变化例22. 已知的分布列为（如表所示）, 且设，则的期望值是（）(A) (B) (C)1(D) 例23. 设随机变量的概率分布列为P(=i)=则a的值是( ) 例24. 已知，E=8，D=1.6，则n与p的值分别为（ ）(A)10和0.8 (B)20和0.4 (C)10和0.2 (D)100和0.8例25. 从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，“每次抽取一个个体时任一个体a被抽到的概率”与“在整个抽样过程中个体a被抽到的概率”为（ ）(A)均为 (B)均为(C)第一个为，第二个为 (D)第一个为，第二个为例26. 某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验I随机抽样法；分层抽样法上述两问题和两方法配对正确的是（）(A)配I，配 (B)配，配 (C)配I，配I(D)配，配例27. 某校高中生有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采取分层抽样法抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( )(A)15，5，25 (B)15，15，15 (C)10，5，30 (D)15，10，20例28. 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_.(用数字作答)例29. 右图是一个容量为200的样本的频率分布直方图，请根据图形中的数据填空：样本数据落在范围的频率为 ；样本数据落在范围的频数为 ；例30. 抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功.（）求一次试验中成功的概率；（）求在4次试验中成功次数的概率分布列及的数学期望与方差.数学基础知识与典型例题(第十章排列、组合、概率与统计)答案例1.A 例2.C 例3.D 例4.C例5.C 例6.B 例7.D 例8.B例9.510例10. 解：如图1，先对a1部分种植，有3种不同的种法，再对a2、a3种植，因为a2、a3与a1不同颜色，a2、a3也不同。 所以S（3）=32=6（种）。如图2，S（4）=3222S（3）=18（种）。如图3，圆环分为n等份，对a1有3种不同的种法，对a2、a3、an都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a1与ai（i=2、3、n1）不同颜色，但不能保证a1与an不同颜色.于是一类是an与a1不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种. 另一类是an与a1同色的种法，这时可以把an与a1看成一部分，这样的种法相当于对n1部分符合要求的种法，记为.共有32n1种种法.这样就有.即，则数列是首项为公比为1的等比数列.则由知：，.答：符合要求的不同种法有例11.D 例12.C 例13.C例14.B 例15.D 例16.B例17. 例18. 例19. ，例20. 解：（1）显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件：A1：“A、B均取红球”；A2：“A、B均取白球”；A3：“A、B均取黄球”.（2）由（1）知，于是，即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为例21.B 例22.A 例23.B例24.A 例25.D 例26.B例27.D 例28. 1.2 例29. 0.32 , 72 例30. 本小题主要考查概率及其基础知识和运算能力.解（）一次实验中，设事件A表示“试验成功”，则（）依题意得：(第十一章函数极限与导数)知识网数学归纳法、数列的极限与运算1数学归纳法：(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法.完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论.(2)数学归纳法步骤:验证当取第一个时结论成立;由假设当（）时,结论成立，证明当时,结论成立;根据对一切自然数时，都成立. 2.数列的极限(1)数列的极限定义:如果当项数无限增大时,无穷数列的项无限地趋近于某个常数(即无限地接近于),那么就说数列以为极限,或者说是数列的极限.记为或当时，.(2)数列极限的运算法则: 如果、的极限存在，且，那么； 特别地，如果C是常数，那么.几个常用极限: （为常数）（均为常数且）首项为，公比为（）的无穷等比数列的各项和为.注：并不是每一个无穷数列都有极限. 四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.数学归纳法、数列的极限与运算例1. 某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得 （ ）(A)当时，该命题不成立 (B)当时，该命题成立(C)当时，该命题成立 (D)当时，该命题不成立例2. 用数学归纳法证明:“”在验证时，左端计算所得的项为 ( ) (A)1 (B) (C) (D)例3. 等于( ) (A)2 (B)2 (C) (D) 例4. 等差数列中，若存在，则这样的数列( )(A)有且仅有一个 (B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个 (D)不存在例5. 等于( ) (A) (B)0 (C) (D)不存在例6. 若，则( ) (A) (B) (C) (D) 例7. 在二项式和的展开式中，各项系数之和记为是正整数，则= .例8. 已知无穷等比数列的首项，公比为，且，且，则 _ .例9. 已知数列前n项和, 其中b是与n无关的常数，且0b1，若存在，则_例10. 若数列的通项，设数列的通项，又记是数列的前n项的积（）求，的值；（）试比较与的大小，并证明你的结论例1.D 2.C 例3.A 例4.A例5. C 将分子局部有理化，原式=例6.A例7. 例8. 例9.1 例10(见后面)函数的极限及函数的连续性1.函数的极限(1) 函数的六种极限定义:的意义是当自变量取正值并且无限增大时,无限趋进于一个常数;的意义是当自变量取负值并且绝对值无限增大时,无限趋进于一个常数;都存在,且等于;的意义是当自变量从右侧(即)无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数;的意义是当自变量从右侧(即)无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数;的意义是当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数; 注: ,都存在,且等于;(2)函数极限的运算法则: 如果,存在,且,那么,.这些法则对于其他情况仍然成立.几个常用极限：；（01）;（1）2.函数的连续性: (1)定义:如果函数在点处及其附近有定义,而且,就说函数在点处连续.(2)函数在点处连续的充要条件是.注:等式的含义有三点:在点处及其附近有定义; 存在; 在点处的极限值等于这一点的函数值.(3) “ 函数在点处不连续”就说的图象在点处间断.(4) 函数在区间上连续: 若函数在开区间内每一点处连续,就说函数在开区间内连续; 若函数在开区间内每一点处连续,并且,就说函数在闭区间上连续.(5)初等函数在其定义域内每一点处都连续.(6) 连续函数的性质:闭区间上的连续函数的图象是坐标平面上的一条有始点和终点的连续曲线.它有如下性质: (最大值和最小值定理)若是闭区间上的连续函数,则在闭区间上有最大、最小值.零点定理：若是闭区间上的连续函数,且,则方程在区间上至少有一个实数解. 介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得（）.函数的极限及函数的连续性例11. 例12. ( ) (A) (B)1 (C)2 (D)0例13. 已知，则b的值为 ( ) (A)4 (B)5 (C)4 (D)5例14. 极限存在是函数在点处连续的（ ）(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件例15. 如果是连续函数，则等于（ ）(A)1(B)0(C)1(D)2例16. 设函数在处连续，且，则等于（ ） (A) (B) (C) (D)例17.函数在x=1处不连续是因为( )(A)f(x)在x=1处无定义 (B)f(x)不存在(C)f(x)f(1)(D)f(x)f(x)例18. 为使函数在处连续，则定义_.例19. 设若函数,则的定义域为 .例20. 已知，当a，b取值何值时，存在，其值为多少.例11. 例12.A 例13.B 例14B.例15.C 例16.B 例17.C例18. 例19. (例20(见后面)导数1.曲线的切线和切线的斜率: 曲线在点处的切线,是指曲线上点的邻近点沿曲线逐渐向点接近时,割线的极限位置所在的直线.根据切线的定义,切线的斜率应通过极限过程求得,即.2.瞬时速度: 非匀速直线运动物体在时刻的临近时间间隔内的平均速度(=),当时, 的极限值叫做物体在时刻的速度,也叫瞬时速度.即3.导数的定义: 设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.由定义可知函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率. 也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为注：是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.函数在点处连续与点处可导的关系：函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.事实上，令，则相当于.于是.如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当0时，；当0时，故不存在. 4.导函数: 函数在开区间内每一点处的导数都存在,就说在内可导,其导数也是内的函数,这一新函数叫做在开区间内的导函数,记作或(需指明自变量时记作) 函数的导函数在时的函数值就是在点处的导数.注：可导的奇函数,其导函数为偶函数. 可导的偶函数,其导函数为奇函数.导数5.几种常见函数的导数: ; ; ; .6.可导法则: 推广:; ;(为常数);复合函数求导注： 必须是可导函数. 若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设，则在处均不可导，但它们和在处均可导.7.导数的运用:判断函数在某个区间内的单调性的方法:一般地,设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数; 如果则为减函数;如果,则为常数函数.注： 是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时，同样也是f（x）递减的充分非必要条件.一般地，如果在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.函数的极值: 一般地,设函数在点附近有定义,如果对附近的所有的点,都有,则是的一个极大值;如果对附近的所有的点,都有,则是的一个极小值.注:求可导函数的极值点可用导数来找,极值点一定是导数为0的点. 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数，使=0，但不是极值点.又例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点. 当函数在点处连续时，()如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极大值；()如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（因为函数在某一点附近的点不同）.0不能得到当x=x0时，函数有极值判断极值，还需结合函数的单调性说明;但是，当x=x0时，函数有极值 0函数的最值: 函数在区间上如果存在,若使得对区间内任意都有,则叫最小值; 若使得对区间内任意都有,则叫最大值;注: 一般地, 闭区间上的连续函数在上必有最大值与最小值.极值与最值不是同一个概念. 极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.开区间内的最值点一定是极值点,反过来不成立.函数f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个;最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。导数例21. f(x)=ax3+3x2+2,若,则a的值等于( )(A) (B) (C) (D)例22. f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f (x)g(x)，则 ( )(A)f(x)=g(x) (B)f(x)g(x)为常数函数 (C)f(x)=g(x)=0 (D)f(x)+g(x)为常数函数例23. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f (x)的图象可能为()例24. 已知曲线S:y=3xx3及点,则过点P可向S引切线的条数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3例25. 函数在下面哪个区间内是增函数（ ） 例26. y=2x33x2+a的极大值为6，那么a等于( )(A)6 (B)0 (C)5(D)1例27. 函数f(x)x33x+1在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是( )(A)1，1 (B)3，-17(C)1，17 (D)9，19例28.设l1为曲线y1=sinx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cosx在点(,0)处的切线，则l1与l2的夹角为_.例29. 设函数f (x)=x3+ax2+bx1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为 .例30. 已知函数（）若函数图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：；（）若，函数图像上任意一点处的切线的斜率为，试讨论的充要条件。数学基础知识与典型例题(第十一章函数极限与导数)答案例10. 解（1）,（2）由（1）中可猜想得Tn； 只须证明对于成立设n=1时，左=1+1=2，右=，2，故原不等式成立； 假设n=k（k1）时，原不等式成立，即， 当n=k+1时，不等式左边为,不等式的右边为， 只须得出，事实上=0，故成立，从而。即n=k+1时不等式也成立,对于nN,则有成立.例20. 解：x0是此分段函数的分界点，而存在的充要条件是与都存在且相等。2，当b2，a取任意实数时，存在，其值为2.例21.D 例22.B 例23.D例24. C设S上的切点求导数得斜率，过点P可求得:.例25.B 例26.A例