简明线性代数教程第一章.pptx

11 二阶与三阶行列式 上页下页返回首页结束铃 二、三阶行列式 一、二元线性方程组与二阶行列式 补充例题 提示:a11a22x1a12a22x2b1a22 a22a11x1a12x2b1 a12a12a21x1a12a22x2a12b2 a21x1a22x2b2 (a11a22a12a21)x1b1a22a12b2 下页 一、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组 a11x1a12x2b1 a21x1a22x2b2 得 提示:a11a21x1a12a21x2b1a21 a21a11x1a12x2b1 a11a11a21x1a11a22x2a11b2 a21x1a22x2b2 (a11a22a12a21) x2a11b2b1a21 下页 一、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组 a11x1a12x2b1 a21x1a22x2b2 得 b1 b2 a12 a22 a11 a21 a12 a22 x1 a11 a21 b1 b2 a11 a21 a12 a22 x2 a11 a21 a12 a22 我们用符号 表示代数和a11a22a12a21 这样就有 下页 一、二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组 a11x1a12x2b1 a21x1a22x2b2 得 a11 a21 a12 a22 行列式中的相关术语 我们用 表示代数和a11a22a12a21 并称它为二阶行 a11 a21 a12 a22 列式 行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 对角线法则 a12a21a11a22 二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上二元素之积所得的差 下页 一、二元线性方程组与二阶行列式 例1 求解二元线性方程组 解 由于 下页 a11 a21 a12 a22 a12a21a11a22 为了便于记忆和计算 我们用符号 表 示代数和 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 Da11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 其中 D1b1a22a33a12a23b3a13b2a32b1a23a32a12b2a33a13a22b3 D2a11b2a33b1a23a31a13a21b3a11a23b3b1a21a33a13b2a31 D3a11a22b3a12b2a31b1a21a32a11b2a32a12a21b3b1a22a31 方程组 a11x1a12x2a13x3b1 a21x1a22x2a23x3b2 a31x1a32x2a33x3b3 的解为 a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 下页 二、三阶行列式 我们用符号 表示代数和 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31 并称它为三阶行列式 行列式中的相关术语 对角线法则 行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31 下页 二、三阶行列式 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31 例2 计算三阶行列式 1 2 3 2 2 4 4 1 2 D 按对角线法则 有 解 46324824 (4)2(3) (4)(2)4D 12(2)21(3) 1142(2)(2) 14 下页 例3 求解方程 1 2 4 1 3 9 1 x x2 0 由x25x60解得 解 方程左端的三阶行列式 x25x6D3x24x189x2x212 x2或x3 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31 结束 采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位数的步骤 12 全排列及其逆序数 上页下页返回首页结束铃 引例 用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 百位数有3种选法十位数有2种选法 个位数有1种选法 因为3216 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 321 这6个三位数是 123132231213312 举例 下页 我们把n个不同的对象(称为元素)排成一列 叫做这n个元素的全排列(也简称排列) 全排列 由a b c组成的所有排列为cbacabbcabacacbabc abb是排列吗? n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示 Pn的计算公式 Pnn(n1)(n2) 321n! 提示 下页 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 逆序与逆序数 以下我们只讨论n个自然数的全排列 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 逆序与逆序数 在排列p1p2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就说元素pi的逆序数是ti 逆序数的计算 排列的逆序数为tt1t2 tn 举例 在排列32514中t51 t43t30t21t10 排列32514的逆序数为t010315 标准排列12345的逆序数是多少? 下页 在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数 标准排列 在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列 逆序与逆序数 举例 排列32514的逆序数是5 它是奇排列 标准排列12345的逆序数是0 它是偶排列 逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的排列叫做偶排列 奇排列与偶排列 结束 13 n 阶行列式的定义 上页下页返回首页结束铃 观察与想考 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31. a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 三阶行列式存在什么规律? 为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列 式的结构 补充例题 下页 观察与想考 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31. a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 三阶行列式存在什么规律? (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 三阶行列式的结构 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列 (2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数 下页 (1)行列式右边任一项除正负号外可以写成 三阶行列式的结构 其中p1p2p3是1、2、3的某个排列 (2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数 三阶行列式可以写成 其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和 n阶行列式的定义 特别规定一阶行列式|a|的值就是a 下页 由n2个数aij (i j1 2 n)构成的代数和 称为n阶行列式 记为 简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 表示对所有排列p1p2 pn取和 在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元 例1 证明行列式 上三角形、下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上n个元素的乘积 下页 解 因为它的列标排列为标准排列 其逆序数为0 所以在它前面带有正号 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零 第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann 因此 Da11a22a33 ann 解 若记iai ni1 则依行列式定义 (1)ta1na2 n1 an1 其中t为排列n(n1) 21的逆序数 故 t012 (n1) 例2 证明n阶行列式 因此 (1)t12 n 结束 14 对换 上页下页返回首页结束铃 在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得到另一个排列 这种对排列 的变换方法称为对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换 v对换 举例 在排列21354中 对换1与4 排列21354的逆序数是2 经过对换 排列的奇偶性发生了变化 得到的排列是24351 排列24351的逆序数是5 v定理1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 v推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶 数 这是因为 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数 而标准排列是偶排列 因此知推论成立 下页 v定理1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 v推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶 数 其中t为行标排列p1p2 pn的逆序数 n阶行列式也可定义为 v定理2 结束 15 行列式的性质 性质1 性质5、性质6 性质2 、性质3、性质4 上页下页铃结束返回首页补充例题 v行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记为DT a11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann D a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 则bijaji(i, j1, 2, , n) 则 DT 显然 如果 即 b11 b21 bn1 b12 b22 bn2 b1n b2n bnn DT 下页 v性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等 由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的 对列也同样成立 反之亦然 v行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记为DT a11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann D a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 则 DT 即 下页 这是因为 把这两行互换 有DD 故D0 下页 v性质2 互换行列式的两行 行列式变号 推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 v性质2 互换行列式的两行 行列式变号 推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零 v性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k 等于用数k乘此行列式 v性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例 则行列式等于零 下页 v性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和 即 v性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行 (列)对应的元素上 去 行列式不变 即 下页 在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检查: 下页 v符号规定 第i行(或列)提出公因子k 记作rik(或cik) 交换i j两行记作rirj 交换i j两列记作cicj 以数k乘第j行(列)加到第i行(列)上 记作rikrj (cikcj) 21 4 3 1 1 3 3 1 3 21 1 3 21 016 72 0 1 2 3 1 2 1 1 0 010 8 0 1 2 3 1 2 1 1 0 21 1 1 1 0 5 3 1 21 5 14 3 2 01 1 153 3 例1 计算 解 3 1 21 5 14 3 2 01 1 153 3 3 5 2 1 c1c2 r2r1 r45r1 0 0 8 16 6 4 0 21 1 72 086 4 r2r3 0 010 8 0 01510 r34r2 r48r2 0 05/2 0 40 下页 6 1 1 1 1 例2 计算 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 解 c1c2c3c4 6 6 6 6 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 6 c16 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 r2r1 r4r1 r3r1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 6848 下页 D 例3 计算 解 r4r3 r3r2 r2r1 abcd 0aababc 0a2ab3a2bc 0a3ab6a3bc abcd 0aababc 00a2ab 00a3ab r4r3 r3r2 abcd 0aababc 00a2ab 000 a r4r3 a4 下页 对D1作运算rikrj 把D1化 为下三角形行列式 设为 证 例4 证明DD1D2 其中 对D2作运算cikcj 把D2化为 下三角形行列式 设为 于是 对D的前k行作运算 rikrj 再对后n列作运算cikcj 把 D化为下三角形行列式 故Dp11 pkk q11 qnnD1D2 下页 把D2n中的第2n行依 次与2n1行、第2行对 调(作2n2次相邻对换) 再把 第2n列依次与2n1列、 第2列对调 得 根据例4的结果 有 D2nD2D2(n1) (adbc)D2(n1) 以此作递推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2) (adbc)n1D2 (adbc)n 解 例5 计算2n阶行列式 其中未写出的元素为0 结束 16 行列式按行(列)展开 上页下页返回首页结束铃 余子式与代数余子式 行列式按行(列)展开法则 补充例题 v余子式与代数余子式 在n阶行列式Ddet(aij)中 把元素aij所在的第i行和第j列划去后 剩下来的n1阶 行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij 记 Aij(1)i jMij Aij叫做元素aij的代数余子式 下页 A23(1)23M23M23 例如 已知 则a23的余子式和代数余子式为 v引理 在n阶行列式D中 如果第i行元素除aij外都为零 那么这行列式等于aij与它的代 数余子式Aij的乘积 即 DaijAij v余子式与代数余子式 在n阶行列式Ddet(aij)中 把元素aij所在的第i行和第j列划去后 剩下来的n1阶 行列式叫做元素aij的余子式 记作Mij 记 Aij(1)i jMij Aij叫做元素aij的代数余子式 下页 v定理3(行列式按行(列)展开法则) 行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即 Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin (i=1 2 n) 或 Da1j A1ja2j A2j anj Anj (j=1 2 n) 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于 零 即 ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn 0 (ij) 或 a1i A1ja2i A2j ani Anj0 (ij) v综合结论 下页 Da13A13a23A23a33A33a43A43 其中a133 a231 a331 a430 例1 计算行列式 将D按第三列展开 解 所以 24 D3191(63)(1)180(10) 应有 下页 注 行列式Dn称为n阶范德蒙行列式。 提示 第n1行乘a1加到第n行 第n2行乘a1加到第n1行 第 n3行乘a1加到第n2行 提示 按第一列展开 提示 各列提出公因式 例2 下页 (a2a1)(a3a1)(ana1)(a3a2)(ana2)Dn2 例2 (a2a1)(a3a1)(ana1)Dn1 于是Dn(a2a1)(a3a1)(ana1)Dn1 下页 v相关结果 下页 行列式按第i行展开 得 将元素ai1换成b1 ai2换成b2 ain换成bn 得 v相关结果 下页 如果第i行的元素为b1 b2 bn 则有 如果第j列的元素为b1 b2 bn 则有 解 例3 式依次记作Mij和Aij 求A11A12A13A14及M11M21M31M41 r4r3 r3r1 按第三 列展开 c2c1 按第三 行展开 4 下页 解 例3 式依次记作Mij和Aij 求A11A12A13A14及M11M21M31M41 M11M21M31M41A11A21A31A41 0 r4r3 按第四 行展开 r12r3 结束 17 克拉默法则 上页下页返回首页结束铃 本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组 的求解问题 行列式 称为方程组()的系数行列式 () 定理证明下页 v克拉默法则 如果线性方程组()的系数行列式D不等于零 则方程组()有唯一解 其中Dj (j1 2 n)是把系数行列式D中第j列的元素a1j a2j anj对应地换为方程组的 常数项b1 b2 bn后所得到的n阶行列式 提示 克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n) 下页 因为 解 D27D181 2781 克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n) 下页 提示 27108 因为 D27D2108D181 解 克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n) 下页 提示 2727 因为 D27D327D2108D181 解 克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n) 下页 提示 2727 因为 D27D427D327D2108D181 解 所以 所给方程组的唯一解为 下页 克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n) 因为 D27D427D327D2108D181 解 提示 例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组 解 (41)(31)(21)(42)(32)(43)12 因为D12 下页 提示 例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系数a0 a1