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一节创新示范复习课的教学体会数学理性思维的定向与发散 关键词：创新、探究、体会、理性思维、定向、发散。 2004年高考考试大纲数学科命题基本原则中指出“数学是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体。通过空间想象，直观猜想，归纳抽象，符号表达，运算推理，演绎推理和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系的数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。”能力立意，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体思维的广度和深度。 由于数学是一门理性思维的科学，提高学生的思维能力，是数学教育的基本目标之一。那么，可谓理性思维？本人认为：理性思维就是目标明确，有的放矢的针对性思维。当我们分析，解决一个新问题时，为什么要这样思考而不是那样思考？为什么要用这种方法而不用那种方法？是按老皇历循规蹈矩还是另辟蹊径？这个思考，选择的过程，就是理性思维。理性思维就是让学生思考活动的全程。现代数学教学论强调：数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交往互动与共同发展的过程，其核心是“学生动手实践，自主探索研究，合作交流，回顾反思，归纳总结。”在这一新理念下，数学教师必须要清晰地认识到自己在课堂教学过程中所扮演的角色和所起的作用。必须以教师为主导，学生为主人，思维为主体，训练为主线，让学生成为知识创造者和理性的追求者。而理性思维有定向性和发散性，下就我的高三一节习题复习课略谈体会。例（2002年广东，全国试题）（1）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2 ），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等。请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明。（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。 （图1） （图2） 分析：此题主要考查空间思维想象能力、动手操作拼图能力，探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力，同时还要求应用类比，迁移的思想方法，考查学生的创新能力，体现了当前课堂教学“研究性学习”的新理念。试题要求学生观察、思考、实践、探究，创作是一个“考察”和“做”的过程，以思维和活动为主要形式，强调学生亲自动手，亲力亲为，要求学生积极参与活动。学生在涂、画、剪拼、组合、探索、尝试等一系列的思维活动中发现和解决问题，体验和感受生活，发展实践能力和创新能力。体现发展和生成的思维过程，考查动手操作能力。上述思维过程也体现了研究性学习的发展性和生成性的特点，以及操作性检测的特点，体现出完整的理性思维过程，要求学生科学地思考问题，通过探究发现结论，自己证明验证结论。猜想与证明结合，开放与收敛相结合。试题贴近学生实际，起点为从小学开始的剪纸操作，从浅表层次引导到理性推证。 本题另一个非常独特的特点是其开放性情景设计，是在传统内容的基础上推陈出新，设计出新颖别致的试题，且解法不唯一，为学生提供了展现创造能力的空间。高考应用问题的实践性反映了研究性学习的特色。试题以学生熟悉的现实生活和社会实践为基础，挖掘信息资源。在用“三角形纸片”提出基本要求：用其中一块剪拼成正三棱锥，另一块剪拼成正三棱柱，使它们的全面积与原来的三角形面积相等。这是定向、定量的思维。在第二问中将感性的、形象的思维上升到理性的、逻辑的思维，应用自己在立几中学习的基本原理进行比较和计算。 此题的考查是对数学探究教学法的一种检验，且思维很具发散性和开放性，限于篇幅，下仅提供一种基本解法。 解：（1）如图1，沿三角形三边中点连线（中位线）折起，可拼得一个正三棱锥。 （图1） （图2） 如图2，正三角形三个角上剪出相同的四边形，其较长的一组边边长为正三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可得到一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成正三棱柱的上底。（2）依上剪拼的方法，有柱锥 。推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，则正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为，其高h锥=，h柱=tan30=。v锥-v柱=(，即柱锥。就此例题的启发，下进行理性思维发散。（课前老师和学生都准备了正三角形、矩形、正方形纸片各一块，并画出它们的中线、对角线）。 我提出问题：请同学们把各纸片沿中线、对角线分别折成30，45，60，90的二面角，然后根据分别折成的立体模型，判断其中有多少个直角三角形的侧面，并求相应立体模型的两点间距离、点线距、线面角、体积等。 同学们模仿例题，主动地进行了不同的演示，折迭，构建和计算，他们都能很快地解决了上面提出的问题，而且相互间不断地进行交流和积极探索，兴致的课堂气氛极浓。随后我又提出：若将这些折起的模型进行不同的放置，它们不是折成特殊的二面角，上面的这些问题又如何解决？我把问题抛给了学生，让学生发表意见，为学生创设出广阔的思维空间。同学们经过严密的思考，积极探讨后，有位同学大胆地提出：把平面图形折成立几模型，由于有些角和边长不变，要解决上述问题，必须通过某点作某平面的垂线，运用三垂线定理构建二面角的平面角，把立几问题化为平几问题，最后转化为用直角三角形去解决上述问题。我问：大家是否同意他的结论？其他同学还有补充吗？，经过思考，同学们都表示了赞许。这个思路很好，我给予了充分的肯定，并加以表扬，以激励同学们继续积极大胆探索。接着又有位同学提出：在这块三角形纸片的中位线上取中点连成中位线又取中点，如此无限地继续下去，求这些正三角形的面积之和。这是一个无穷递缩等比数列的求和问题。它把几何和代数相结合，进行了形数沟通。于是我不失时机地又给了一个热情鼓励和表扬的掌声。好了，同学们再思考下，将给出的特殊三角形纸片一般化，研究对于任意三角形的纸片能否剪拼成直三棱的问题，是理性思维的深层次发展。这是当年高考的附加题。我给同学们留下了悬念。其余纸片进行空间变位模型折迭，寻求和解决线面间的位置关系。课后继续探索研究。 这节课通过对平面几何图形纸片的剪拼、折迭成空间立体模型，通过例题的评讲后进行模仿，把问题抛给了学生，让学生自己动手，积极探索研究，充分体现了把解答问题的主动权交给学生，为学生创设出广阔的理性思维空间，使“以教师为主导，学生为主体，思维训练为主线的研究性教学实践和理念表现得淋漓尽致。本节课的