相似矩阵及二次型1.ppt

方阵的特征值与特 征向量 相似矩阵 矩阵的对角化 对称矩阵的对角化 二次型的标准形与 正定性 第四章 相似矩阵及二次型 本章内容 2 2 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 一 特征值与特征向量的概念 第16讲讲 方阵阵的特征值值与特征向量 是 A的特征值， 定义1 n阶方阵A，若 使得 eigenvalueeigenvector 是A的对应于 的特征向量. 注1是 A 的特征值、特征向量 是 的根, 是 的非零解. 注2 在复数域内特征值一定存在，且n阶矩阵有 n个特征值（重根按重数计算） 特征多项式 特征方程 注3 对应于一个特征值的特征向量有无穷多个 则称 3 3 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 例1 求下列矩阵的特征值与特征向量 4 4 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 二 特征值与矩阵的关系 例2 (08) 矩阵A的特征值为, 2, 3, 未知. 则= 5 5 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 (1) 是 的特征值; 三 各种运算下的特征值 的特征向量,则 (2) 是 的特征值; (3) 是 的特征值; (4) 是 的特征值(若 A 可逆); (5) 是 的特征值. 定理1 设 是矩阵 A 的特征值, 是 A 的对应于 特征向量？ 与有相同的特征值.定理2 6 6 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 例3 设三阶矩阵A 的特征值为1, -1, 2, 求 定理3 不同特征值对应的特征向量一定线性无关. 例4 设 是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的 特征向量依次为 ,证明 不是A的特征向量 7 7 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 第17讲讲 相似矩阵阵 一 矩阵的相似P相似变换矩阵. 定义2 设A、B均为 n 阶方阵, 若存在可逆阵P, 使得 则称B是A的相似矩阵, 或称A与B相似, 注 矩阵的相似关系满足反身性/对称性/传递性 similar 定理4 若A与B 相似，则A与B有相同的特征多项式, 推论 若A与对角阵 相似，则 即是A的特征值. 从而有相同的特征值. 注 若A与对角阵 相似，则 8 8 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 推论 若n 阶阵A的n个特征值互不相等, 则A可对角化 二 矩阵可对角化的条件 n阶矩阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 定理5 (可对角化的条件) 例5 设 问x为何值时，矩阵A可对角化？ 的基础解系所含向量个数时， A可以对角化 注 若A有重特征值 , 则其重数等于 代数重数=几何重数 A可对角化指的是 (对角阵), 使得A与 相似. 9 9 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 第一步 第二步 求A的特征值 (s个互不相等) 注 相似变换矩阵P不唯一. 例 把方阵A对角化指的是寻找相似变换矩阵P， 三 矩阵对角化的过程 对于每一特征值 , 求齐次线性方程组 的基础解系 使得 第三步 以 为列构成矩阵P，则 1010 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 第18讲讲 对对称矩阵阵的对对角化 一 正交向量与正交矩阵 1 向量的内积 定义3 设有 n 维向量 称 为向量x与y的内积, 即 实际上, inner product 性质 记作 且 1111 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 2 向量的长度 注1 零向量 的长度为零. 为向量 x 的长度(或范数). length 定义4 设 称 注2 单位向量x: 若 则 为单位向量 且只有零向量 1212 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 3 正交向量与正交向量组 注1 零向量与任意向量正交. 定义5 称向量 x 与 y 正交，若orthogonal 注2 正交向量组两两正交的非零向量组 定理6 正交向量组一定线性无关. 注 反之不然. 例如, 向量组 例6 已知 正交, 使得 为两两正交.求一非零向量 注 规范正交基两两正交的单位向量构成的基 1313 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 施密特(Schmidt) 正交化过程： 线性无关向量组 为正交向量组且与 等价 例7 已知向量 使得 两两正交. 求一组非零向量 1414 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 4 正交矩阵与正交变换 定义6(即 ),若方阵 A 满足 则称 A 为正交(矩)阵. orthogonal matrix 例8 判别下列矩阵是否为正交阵 A 的行(列)向量组为两两正交的单位向量. 注 A 是正交阵 1515 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 注 正交变换保持向量的长度及正交性不变 正交阵的性质： (3) 若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵 (2) 若A为正交阵，则 也是正交阵 (1) 若A为正交阵，则 为正交变换.若 A 为正交阵, 则称 1616 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 二 对称矩阵的特征值、特征向量 定理7 对称阵的特征值为实数. 注 n阶对称阵在实数范围内一定有n 个特征值. 定理8 对称阵的不同特征值对应的特征向量正交. 1717 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 三 对称矩阵的对角化 定理9 对于n阶对称阵A , 一定存在正交阵P, 使得 使 为对角阵. 例9 设求一个正交矩阵 P, 推论 对称阵A的特征值的代数重数=几何重数 的正交单位特征向量. 征值，而P 的n个列向量是A的对应于 其中，对角阵 的对角元是A的n个特 1818 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 一 二次型及其矩阵 n阶对称阵 A称为二次型 f 的矩阵，f 称为矩阵A的二次型 第19讲讲 二次型简简介 定义7 n元二次型指的是n个变量的二次齐次函数： 矩阵形式: 或 实二次型 复二次型 A的秩称为二次型的秩. 1919 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 二次型 的矩阵 例如, 二次型 的矩阵 2020 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 二 二次型的化简 使 f 只含 的平方项： 标准形 化二次型 为标准形指的是找 配方法 正交变换法 方法 可逆变换 例10 化下列二次型为标准形，并求所用的变换矩阵. (1) (2) 2121 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 正交变换 使得 其中， 是A的n个特征值，而P 的 n个列向量是A的对应于 的正交 单位特征向量 正交变换法化二次型为标准形 定理10 对于n元二次型 , 一定存在 2222 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 如上例，指出 表示何种二次曲面. 化为标准形. 例11 求一正交变换，将二次型 注 正交变换法的优点在于能保持几何形状不变 附：二次型的规范形，正惯性指数 2323 *河北科大理学院 第五章 相似矩阵及二次型 三 二次型的正定性