弹性地基梁理论.ppt

第3章 弹性地基梁理论 u 概述 u 弹性地基梁的计算模型 u 弹性地基梁挠度曲线微分方程式 及其初参数解 u 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 3.1 概述 l 弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基 上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路枕木 、钢筋混凝土条形基础梁等。 l 弹性地基梁与普通梁的区别 p普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基 梁是无穷多次超静定结构。 p普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的 变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。 3.2 弹性地基梁的计算模型 l 局部弹性地基模型 p 温克尔假设 ： p 把地基模拟为刚性 支座上一系列独立 的弹簧。 p 缺点： 局部弹性地基模型 没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基 梁的实际情况。但如果地基的上部为较薄的土层， 下部为坚硬岩石，这时将得出比较满意的结果。 l 半无限体弹性地基模型 弹性地基梁的受力和变形 p 假设 把地基看作一个均质、连续、弹 性的半无限体。 p 优点 反映了地基的连续整体性，同时从 几何上、物理上对地基进行了简化 。 p 缺点 弹性假设没有反映土壤的非弹性性质； 均质假设没有反映土壤的不均匀性； 半无限体的假设没有反映地基的分层特点 ； 数学处理上比较复杂。 3.3 弹性地基梁挠度曲线微分 方程式及其初参数解 l基本假定 p地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面 与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与 梁的挠度处处相等； p由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可 以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直 ； p地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直 接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。 l弹性地基梁的挠度曲线微分方程式 弹性地基梁的微元分析 考察 微段的平衡有： 化简得： 省略二阶微量化简得 ： 合并二式得 ： 根据材料力学有： 代入化简得到挠曲微分方程： l对应齐次微分方程的通解 令挠曲微分方程中 ，得到对应齐次微分方程： 且令 ： 通解为： 利用双曲函数关系 ： 得到另一通解 ： l初参数解 p初参数法 把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理 意义来寻求简化计算的途径。 p用初参数表示积分常数 弹性地基梁作用的初参数 梁左端边界条件： 得到积分常数 ： 其中 ： 用初参数表示的齐次微分方程的解： 其中 ： 微分关系为 ： 弹性地基梁已知初参数 A端边界条件 待求初参数 自 由 端 M0=0 Q0=0 M0=-m Q0=-P1 MA=0 QA=0 MA=0 QA=P2 0 y0 0 y0 简 支 端 M0=0 y0=0 M0=m1 y0=0 MA=0 yA=0 MA=m2 yA=0 0 Q0 0 Q0 实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值 固 定 端 0=0 y0=0 0=0 y0=0 A=0 yA=0 A=0 yA=0 M0 Q0 M0 Q0 弹 性 固 定 端 y0=0yA=0 0=M00 M0 Q0 l弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解 p集中荷载作用下的特解项 集中力作用于地基梁 a. 集中力Pi作用下的特解项 OA和AB段挠曲微分方程分别为 ： 由A点的变形连续条件和受力情况有： 当 时，特解项为零。 当 时， b. 集中力偶Mi作用下的特解项 集中力偶作用于地基梁 当 时，取特解项为零 。 p分布荷载作用下的特解项 分布荷载作用于地基梁 分布荷载可分解成多个集中力 ，按集中力求解特项。 荷载在右边截面x处引起的挠度特解项为 ： x截面以左所有荷载引起的挠度特解项为 ： a. 均布荷载 荷载均布与ab段 （积分限 ） （积分限 ） 当荷载满跨均布时，积分限是（0，x），故有： b. 三角形分布荷载 三角形荷载作用于地基梁 微段上荷载引起的挠度附加项为 ： 当 时，积分限是 ， 当 时，积分限是 ， 当三角形荷载布满全跨时，积分限是（0，x）有 ： c. 梁全跨布满梯形荷载的特解项 梯形荷载作用于地基梁 只须把均布荷载与三角形荷载作用下两式叠加即可 。 p 共同作用下挠曲微分方程的通解 综合荷载作用于地基梁 当 时， 项取值为零。 3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁 l弹性地基梁的分类 （a）短梁 （b）无限长梁 （c）半无限长梁 （d）刚性梁 换算长度 l长梁的计算 p无限长梁作用集中力Pi的计算 无限长梁作用集中力的计算 采用梁挠曲方程齐次解式，即 ： 由 有 ： 由对称条件 有 ： 考虑地基反力与外载的平衡条件 ： 化简得到 ： 其中： 无限梁右半部分有 ： 其中 ： 对于梁的左半部分，只需将式中 和 改变负号即可。 p无限长梁在集中力偶mi作用下的计算 无限长梁作用集中力偶的计算 反对称条件： 代入齐次微分方程通解得： 无限长梁右半部分 的变形及内力为： 对于左半部分，只需将上式中y与M变号即可。 p半无限长梁作用初参数的计算 半无限长梁作用的初参数 将 代入： 得到： 再由： 得到： 如梁端作用有初参数 ,则可得到 与 之间的关系： 最终有： p半无限长梁在梯形荷载作用下的计算 故任一截面的变形与内力为： 是齐次微分方程的一个特解。 梯形荷载作用于半无限长梁 l刚性梁的计算 刚性梁的计算 按静定梁的平衡条件，得到刚 性梁的变形与内力为： 3.5 算例 两端自由的弹性地基梁，长 ，宽 ， ，地基的弹性压缩系数 ，求梁1、2、3截面的弯矩 p例子1 (1)判断梁的类型 考虑Pi集中载距右端为1m ， 故属于短梁。 (2)计算初参数 梁左端条件 ： 梁右端条件 ： 代入共同作用下挠曲微分方程的通解得： 将各数值代入后得 ： 解得 ： （3）计算各截面的弯矩 长度及弹性特征系数，作用荷载如图，如果 和