《函数极限通论》PPT课件.ppt

第四章 函数极限通论 郇中丹 2006-2007学年第一学期 1 基本内容 1 数值函数极限的统一形式 2 函数沿基极限的性质 3 函数沿基极限存在的条件 2 1.数值函数极限的统一形式 一元函数极限的基本形式 集合基 函数沿基收敛 函数沿基的无穷极限 3 一元函数极限的基本形式 微积分研究的基本对象是 . 基本工 具是极限. 而一元数值函数(m = n = 1)是其中的 最简单和最基本情形. 在微积分中, A一般是区间. 一元函数的极限分成下面的六类: 在一点的极 限、在一点的左极限、在一点的右极限、在 处的极限、在+处的极限、在-处的极限. x0相对于A的空心邻域=xA | 0k | kN; 2. A=I, x0I, B=b=xA | 00; 3. A=I, x0I, B=b=xA | 00; 4. A=R, B=b=(c,+) | c0. 5 函数沿基收敛 设: AR, B是A的一个基, lR.沿B收敛到极 限l, 如果e0, bB, xb, |(x)-l|0, bB, xb, (x)c. 记做(x) +(沿基B)或 类似地可以给出极限为, 或-的定义. 在下面的讨论中, 如果没有特殊申明, 一般讨论 所说的极限都是有限极限. 7 习题八 (I) 1. 写出下列极限的定义和相应的基: 2. 验证下列极限 8 习题八 (II) 3. 证明: 数列基,双侧基,左侧基,右侧基, +侧基, -侧基和基都具有如下性质: 存在可数多个 终端bn满足 (1) 若m0, 使得xD, |(x)|c, 就说在D上有界. 类似地可 以定义有上界和有下界. 函数的终极有界性:设: AR, B是A的一个基. 如果存在bB,使得xb, |(x)|c, 就说关于基 B终极有界. 类似地可以定义终极有上界和终极 有下界. 无穷小量: 若a(x)0 (沿基B), 就称a是沿基B的 无穷小函数或无穷小量. 11 极限基本性质 (I) 1.惟一性: 若函数沿基B的极限存在,则极限是惟 一的. 2. 极限的终极惟一性: 设存在bB, 使得xb, (x)=g(x). 如果(x)l (沿基B), 则g(x)l (沿基 B). 3.终极有界性: 若(x)l (沿基B), 则关于基B终 极有界. 12 极限基本性质 (II) 4.非零极限的终极保号性:设(x)l (沿基B). 若 l0, 则存在bB, 使得xb, (x)l/2.若l0(沿基B), 则(x)g(x)+(沿基B). 2. 计算下列极限: 15 习题九 (II) 3. 计算下列极限: 4. 设: (0,+)R且对于任何a0, 在(0, a)上有 界. 证明: 如果 , 则 16 3函数沿基极限存在的条件 函数沿基存在极限的Cauchy准则 Heine收敛性和常见基 Cauchy收敛性和Heine收敛性 复合函数的极限定理 无穷小函数的阶 大O与小o记号 17 函数沿基存在极限的Cauchy准则 Cauchy准则: 函数沿基B有极限, 当且仅当 e0, bB,使得x,yb, |(x) -(y)|0,则 bB,使得xb, |(x) - l|0,bB,使得x,yb,| (x)-(y)| 0, 则存在n使得1/nn0, xnb,必有数列(xn)收敛, 就说沿 基B在Heine意义下收敛. 常见基: 集合A的基B叫作常见的, 如果B有一个 可数子集C=cn, 使得bB, cC,cb.这里要 求m,nN, mn, cmcn. 例子: 数列基, 双侧基, 左侧基, 右侧基,+基,- 基和基都是常见基. 21 Cauchy收敛性和Heine收敛性(I) Cauchy收敛性保证Heine收敛性: 如果(x)l(沿 基B), 则沿基B在Heine意义下收敛. 证明: 假设(x)l(沿基B).任取A中的xn满足: bB, n0,nn0, xnb.对于数列(xn),任取 e0,bB,使得x,yb, |(x) -(y)|n0, xnb. 因而m,nn0, xm, xnb, 所以|(xm) -(xn)|0, 使得bB, x,yb满足|(x)-(y)|e.特 别nN, xn,yncn满足|(xn)-(yn)|e. 2. 定义数列zn: 当n为偶数时, zn=xn/2; 当n为奇 数时, zn=y(n+1)/2. 则(zn)是发散的. 这是由于 n N, |(z2n+2)-(z2n+1)|=|(xn+1)-(yn+1)| e. 23 Cauchy收敛性和Heine收敛性(III) 3.数列zn满足bB, n0,nn0, znb. 这是由于 bB, cmb, 这样km, ckcmb, 因而n2m 时, znb. 4.所以沿常见基B在Heine意义下不收敛.矛盾.# 24 复合函数的极限性质 (I) 定理1. 设g: AR, :DR, g(A)D. B是A的一 个基.若g(x)l(沿基B),(y)(l) (yl),则 (g(x) (l) (沿基B). 证明: 任取e0, 由(y)(l) (yl), 存在d0, 使 得yD, |y-l|0, 使得bB, xb, 使得|h(x)|d,就说是 Wg,记作=W(g); 特别若(x)=o(xm) (x0), 就说(x)是m界无穷 小(x0). 28 大O与小o记号的例子 1. (x+1)/(x+2)=O(1) (x ); 2. (sin x)/x=o(1) (x ); 3. (sin x)/x=O(1/x) (x ); 4. (sin x)/x=W(1/x) (x ); 5. x1/2-x x1/2 (x 0+); 6. x1/2-x -x (x +). sn(x) A A若bR 29 习题十 1. 设g: AR,:DR,g(A)D.B是A的一个基.若 g(x)l(沿基B), 且bB, g(b)D且xb, g(x)l, (y)l (yl),则(g(x)l (沿基B). 2. 设g: A