高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法学案含解析.docx

一 学归纳法数学归纳法(1)数学归纳法的概念：先证明当n取第一值n0(例如可取n01)时命题成立，然后假设当nk(kN*，kn0)时命题成立，证明当nk1时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳法(2)数学归纳法适用范围：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明(3)数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤：证明当nn0(n0N*)时命题成立；当nk(kN*，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立由此可以断定，命题对于不小于n0的所有正整数都成立利用数学归纳法证明恒等式证明：当n2，nN*时，.注意到这是与正整数n有关的命题，可考虑用数学归纳法证明当n2时，左边1，右边.当n2时，等式成立假设nk(k2，kN*)时等式成立，即.当nk1时，.当nk1时，等式也成立由知，对任意n2，nN*等式成立利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式；二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设1求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)证明：当n1时，左边12223，右边3，等式成立假设nk(k1，kN*)时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)，所以nk1时，等式也成立由得，等式对任何nN*都成立2.用数学归纳法证明：1.证明：当n1时，左边1右边，所以等式成立假设nk(k1)时等式成立，即1.则当nk1时，左边1右边，所以，nk1时等式成立由知，等式对任意nN*都成立.用数学归纳法证明整除问题求证：x2ny2n(nN*)能被xy整除本题是与正整数有关的命题，直接分解出因式(xy)有困难，故可考虑用数学归纳法证明当n1时，x2y2(xy)(xy)能被xy整除假设nk(k1，kN*)时，x2ky2k能被xy整除，那么当nk1时，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k与x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1时，x2k2y2k2能被xy整除由可知，对任意正整数n命题均成立利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式这就往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证3用数学归纳法证明：(3n1)7n1(nN*)能被9整除证明：当n1时，47127能被9整除，命题成立假设nk时命题成立，即(3k1)7k1能被9整除，当nk1时，7k1177k17(3k1)7k1217k18k7k67k217k18k7k277k，由归纳假设(3k1)7k1能被9整除，又因为 18k7k277k也能被9整除，所以7k11能被9整除，即nk1时命题成立由可知，对所有正整数n命题成立4用数学归纳法证明：当n为正奇数时，xnyn能被xy整除证明：当n1时，xy能被xy整除假设n2k1时，x2k1y2k1能被xy整除，当n2k1时，x2k1y2k1x2k1y2k1x2y2k1x2y2k1x2(x2k1y2k1)y2k1(xy)(xy)，根据归纳假设x2k1y2k1能被xy整除，另一项有因式xy，因此也能被xy整除，所以，当n2k1时，命题仍然成立根据可知当n为正奇数时，xnyn能被xy整除.用数学归纳法证明几何问题平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分割成(n2n2)个区域用数学归纳法进行证明，关键是考虑：k条直线将平面分成的部分数与k1条直线将平面分成的部分数之间的关系，利用该关系可以实施从假设到nk1时的证明当n1时，一条直线把平面分成两个区域，又(1212)2，n1时命题成立假设nk时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成了(k2k2)个区域那么当nk1时，k1条直线中的k条直线把平面分成了(k2k2)个区域，第k1条直线被这k条直线分成k1段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了k1个区域，所以k1条直线把平面分成了(k2k2)k1个区域nk1时命题也成立由知，对一切的nN*，此命题均成立用数学归纳法证明几何问题时，一定要清楚从nk到nk1时，新增加的量是多少一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来k的基础上，再增加一个，当然我们也可以从k1个中分出一个来，剩下的k个利用假设5求证：凸n边形对角线条数f(n)(nN*，n3)证明：当n3时，即f(3)0时，三角形没有对角线，命题成立假设nk(kN*，k3)时命题成立，即凸k边形对角线条数f(k).将凸k边形A1A2Ak在其外面增加一个新顶点Ak1，得到凸k1边形A1A2AkAk1，Ak1依次与A2，A3，Ak1相连得到对角线(k2)条，原凸k边形的边A1Ak变成了凸k1边形的一条对角线，则凸k1边形的对角线条数为：f(k)k21k1f(k1)，即当nk1时，结论正确根据可知，命题对任何nN*，n3都成立6求证：平面内有n(n2)条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条直线不过同一点，求证它们彼此互相分割成n2条线段(或射线)证明：当n2时，两条直线不平行，彼此互相分割成4条射线，命题成立假设当nk时，命题成立，即k条满足条件的直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)那么nk1时，取出其中一条直线为l，其余k条直线彼此互相分割成k2条线段(或射线)，直线l把这k条直线又一分为二，多出k条线段(或射线)；l又被这k条直线分成k1部分，所以这k1条直线彼此互相分割成k2kk1(k1)2条线段(或射线)，即nk1时，命题成立由知，命题成立课时跟踪检测(十二) 1数学归纳法证明中，在验证了n1时命题正确，假定nk时命题正确，此时k的取值范围是()AkN Bk1，kN*Ck1，kN* Dk2，kN*解析：选C数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数；因为第一步是递推的基础，所以k大于等于1.2用数学归纳法证明123n3，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上()Ak31 B(k1)3C. D(k31)(k32)(k33)(k1)3解析：选D当nk时，等式左端12k3.当nk1时，等式左端12k3(k31)(k32)(k33)(k1)3，故选D.3设f(n)(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析：选D因为f(n)，所以f(n1)，所以f(n1)f(n).4某同学回答“用数学归纳法证明n1(nN*)”的过程如下：证明：(1)当n1时，显然命题是正确的(2)假设nk时，有k1，那么当nk1时，(k1)1，所以当nk1时命题是正确的由(1)(2)可知对于nN*，命题都是正确的以上证法是错误的，错误在于()A从k到k1的推理过程没有使用归纳假设B归纳假设的写法不正确C从k到k1的推理不严密D当n1时，验证过程不具体解析：选A证明 (k1)1时进行了一般意义的放大，而没有使用归纳假设k1.5数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是_解析：计算出a11，a24，a39，a416.可猜想ann2.答案：ann26用数学归纳法证明“1427310n(3n1)n(n1)2，nN*”时，若n1，则左端应为_解析：n1时，左端应为144.答案：47记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.解析：由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k1)f(k).答案：8用数学归纳法证明：1(n212)2(n222)n(n2n2)n2(n1)(n1)证明：当n1时，左边1(1212)0，右边12020，所以左边右边，n1时，等式成立假设nk(k1，kN*)时，等式成立，即1(k212)2(k222)k(k2k2)k2(k1)(k1)，所以当nk1时，左边12k(k1)k2(k1)(k1)(2k1)k(k1)k(k1)(k23k2)(k1)2k(k2)，即nk1时，等式成立，根据与可知等式对nN*都成立9求证：an2(a1)2n1能被a2a1整除，nN*.证明：当n1时，a3(a1)3(2a1)(a2a1)结论成立假设当nk时，结论成立，即ak2(a1)2k1能被a2a1整除，那么nk1时，有a(k1)2(a1)2(k1)1aak2(a1)2(a1)2k1a(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1a(a2a1)(a1)2k1.因为ak2(a1)2k1，a2a1均能被a2a1整除，所以a(k1)2(a1)2(k1)1能被a2a1整除，即当nk1时，结论也成立由可知，原结论成立10有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)n2n2个部分(nN*)证明：当n1时，一个圆