2018_2019学年高中数学第三章推理与证明2数学证明学案北师大版.docx

2数学证明学习目标1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系知识点一演绎推理的含义思考分析下面几个推理，找出它们的共同点(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(21001)是奇数，所以(21001)不能被2整除答案问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理梳理定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理特点由一般到特殊的推理知识点二三段论思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案分为三段大前提：所有的金属都能导电；小前提：铜是金属；结论：铜能导电梳理一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情况S是M结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断S是P类型一演绎推理与三段论例1将下列演绎推理写成三段论的形式(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的两底角，则AB；(3)通项公式为an2n3的数列an为等差数列解(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提A，B是等腰三角形的两底角，小前提AB.结论(3)在数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an为等差数列，大前提当通项公式为an2n3时，若n2，则anan12n32(n1)32(常数)，小前提通项公式为an2n3的数列an为等差数列结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提跟踪训练1(1)推理：“矩形是平行四边形；正方形是矩形；所以正方形是平行四边形”中的小前提是_(填序号)(2)函数y2x5的图像是一条直线，用三段论表示为大前提：_；小前提：_；结论：_.答案(1)(2)一次函数ykxb(k0)的图像是一条直线函数y2x5是一次函数函数y2x5的图像是一条直线类型二三段论的应用例2如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，BFDA，DEBA，求证：EDAF，写出三段论形式的演绎推理证明因为同位角相等，两直线平行，大前提BFD与A是同位角，且BFDA，小前提所以FDAE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DEBA，且FDAE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以EDAF.结论反思与感悟(1)用“三段论”证明命题的格式(2)用“三段论”证明命题的步骤理清证明命题的一般思路；找出每一个结论得出的原因；把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来跟踪训练2已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF平面BCD.证明因为三角形的中位线平行于底边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，小前提所以EFBD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提EF平面BCD，BD平面BCD，EFBD，小前提所以EF平面BCD.结论例3设函数f(x)，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围解若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R，大前提因为f(x)的定义域为R，小前提所以x2axa0恒成立结论所以a24a0，所以0a4.即当0a4时，f(x)的定义域为R.引申探究若例3的条件不变，求f(x)的单调增区间解f(x)，令f(x)0，得x0或x2a.0a4，当0a0，在(，0)和(2a，)上，f(x)0，f(x)的单调增区间为(，0)，(2a，)当a2时，f(x)0恒成立，f(x)的单调增区间为(，)当2a4时，2a0，f(x)的单调增区间为(，2a)，(0，)综上所述，当0a2时，f(x)的单调增区间为(，0)，(2a，)；当a2时，f(x)的单调增区间为(，)；当2a1)，证明：函数f(x)在(1，)上是增加的证明方法一(定义法)任取x1，x2(1，)，且x10，且a1，所以而1x10，x210，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x)在(1，)上是增加的方法二(导数法)f(x)axax1.所以f(x)axlna.因为x1，所以(x1)20，所以0.又因为a1，所以lna0，ax0，所以axlna0，所以f(x)0.故f(x)ax在(1，)上是增加的.1下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则AB180B某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D在数列an中，a11，an(n2)，由此归纳出an的通项公式答案A解析A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理2“因为对数函数ylogax是增函数(大前提)，又是对数函数(小前提)，所以是增函数(结论)”下列说法正确的是()A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错误C推理形式错误导致结论错误D大前提和小前提都错误导致结论错误答案A解析ylogax是增函数错误，故大前提错误3三段论：“只有船准时起航，才能准时到达目的港，这艘船是准时到达目的港的，这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是()ABCD答案D4把“函数yx2x1的图像是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：_；小前提：_；结论：_.答案二次函数的图像是一条抛物线函数yx2x1是二次函数函数yx2x1的图像是一条抛物线5设m为实数，利用三段论证明方程x22mxm10有两个相异实根证明因为如果一元二次方程ax2bxc0(a0)的判别式b24ac0，那么方程有两个相异实根，大前提方程x22mxm10的判别式(2m)24(m1)4m24m4(2m1)230，小前提所以方程x22mxm10有两个相异实根结论1应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略2合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理3合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.一、选择题1论语学路篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足”上述推理用的是()A类比推理B归纳推理C演绎推理D一次三段论答案C2正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数以上推理()A结论正确B大前提不正确C小前提不正确D全不正确答案C解析由于函数f(x)sin(x21)不是正弦函数故小前提不正确3命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A使用了归纳推理B使用了类比推理C使用了“三段论”，但推理形式错误D使用了“三段论”，但小前提错误答案C解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误4函数yxcosxsinx在下列哪个区间内是增加的()A.B(，2)C.D(2，3)答案B解析yxsinx当x(，2)时，y0，yxcosxsinx在(，2)上是增加的5下面几种推理中是演绎推理的是()A因为y2x是指数函数，所以函数y2x经过定点(0,1)B猜想数列，的通项公式为an(nN)C由圆x2y2r2的面积为r2，猜想出椭圆1的面积为abD由平面直角坐标系中圆的方程为(xa)2(yb)2r2，推测空间直角坐标系中，球的方程为(xa)2(yb)2(zc)2r2答案A6在R上定义运算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1对任意实数x都成立，则()A1a1B0a2CaDa答案C解析由题意知，(xa)(xa)(xa)1(xa)x2xa2a，x2xa2a0对任意实数x都成立，则14(a2a1)0，4a24a30，解得a3，得x”的推理过程中，其大前提是_答案不等式两边同乘一个大于0的数，不等号方向不变11若不等式ax22ax20的解集为，则实数a的取值范围为_答案0,2解析不等式ax22ax20无解，则不等式ax22ax20的解集为R.当a0时，20，显然成立；当a0时，解得0a2.a的取值范围为0,212若f(ab)f(a)f(b)(a，bN)，且f(1)2，则_.答案2014解析利用三段论f(ab)f(a)f(b)(a，bN)，大前提令b1，则f(1)2，小前提2，结论原式2014.三、解答题13已知f(x)，先分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明证明f(x)，f(0)f(1).同理可得f(1)f(2)，f(2)f(3).猜想f(x)f(1x).设x1x21，则f(x1)f(x2)14.如图A，B，C，D为空间四点，在ABC中，AB2，ACBC.等边三角形ADB以AB为轴旋转(1)当平面ADB平面ABC时，求CD；(2)当ADB转动时，是否总有ABCD？证明你的结论解(1)如图，取AB的中点E，连接CE，DE.因为ACBC，AB2，所以ABC为等腰直角三角形，所以CEAB.因为ADB是等边三角形，所以DEAB.又平面ADB平面ABC，且平面ADB平面ABCAB，DE平面ADB，所以DE平面ABC，所以DECE.由已知，得DEAB，CE1.所以在RtCDE中，CD2.(2)当ADB以AB为轴转动时，总有ABCD.证明如下：当D在平面ABC内时，因为BCAC，ADBD，所以C，D都在AB的垂直平分线上，所以ABCD.当D不在平面ABC内时，由(1)知，ABDE，ABCE，又DECE