解直角三角形精彩回眸.doc

解直角三角形精彩回眸一、锐角三角函数本专题包括两个方面的知识点，一是锐角三角函数的概念；二是一般的锐角三角函数值的计算；这两个知识点是本章的基础，也是解决实际问题的关键，通过本专题的复习应达到以下目标：（1）掌握锐角三角函数定义；（2）掌握锐角三角函数值的几种不同的计算方法例1三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则的值是（）分析：本题是一道设计比较新颖的试题，它通过网格的特征给出解题信息，由正方形网格可知角的对边的长为3，邻边的长为4，要求，只要根据勾股定理求出三角形的斜边，再根据三角函数的定义计算即可解：设的对边为a，邻边为b，斜边为c，则a=3，b=4，所以，所以，选C说明：解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长，然后根据定义进行计算 例2如图2，ABC中，C=90，AC+BC=7（ACBC），AB=5，则tanB=_分析：要求tanB，根据锐角三角函数的定义，则需要求对边AC和邻边BC的长，因为知道斜边，且，所以可以根据勾股定理进行计算解：设，则，根据勾股定理，得，解得所以所以说明：本题的解题思路是根据已知条件确定B的对边和邻边的长，采用了一般的解题方法，并体现了方程思想在求三角函数值中的应用实际上，本题是一道填空题，不通过计算直接观察就可以解决因为斜边是5，且两条直角边的和为7，所以两条直角边的长分别是4和3例3在RtABC中，C=90，若AB=2AC，则cosA的值等于（）A分析：已知三角形的两边的关系，要求cosA，根据三角函数的定义可知，所以只要由已知条件求到即可解：因为，所以所以选C说明：本题是一道选择题，解决问题时可以采用取特殊值的方法，即令，则这样更简单同步练习一：1在ABC中，C=90，AB=2，AC=1，则sinB的值是（）22在ABC中，C=90，BC=2，sinA=，则边AC的长是（）33在RtABC中，C=90，若AB=5，BC=3，则cosB=（）4如图3，在RtABC中，ACB=90，CDAB于点D已知AC=，BC=2，那么sinACD （） 二、特殊角的三角函数值本专题主要是特殊角的三角函数值的有关计算，特殊角的三角函数值在解决实际问题中应用非常广泛，所以通过复习应达到以下目标：熟练掌握30，45、60角的三角函数值，并能通过特殊角的锐角三角函数值进行简单的计算例1tan30的值等于（）分析：本题考查特殊角三角函数值理解情况解决本题需要熟练记住特殊角的三角函数值解：选C说明：如果没有记住30的正切值，可以先画一个含有30角的直角三角形，根据30角所对的直角边等于斜边的一半，找到三边关系，根据定义求解例2计算tan60+2sin45-2cos30的结果是（）A2BCD1分析：本题是一道与锐角三角函数值有关的计算问题，解决问题的关键是先确定函数值，然后再进行实数的运算解： 故选C说明：与特殊角三角函数值有关的运算，先写出每个角的函数值，然后转成实数运算，应注意运算的顺序和计算的方法同步练习二：1计算： _2计算： _3锐角A满足，则_4如果，那么锐角的度数是（）15B30C45D605在ABC中，C=90，若B=2A，则cosB的值等于（）ABCD三、解直角三角形本专题主要是根据直角三角形的边角关系，确定边长、角的度数以及三角函数值等，此类问题是锐角三角函数解决实际问题中的一个过渡，通过本专题的复习，应达到以下目标：能根据直角三角形中的边角关系，求边长，角的度数以及锐角三角函数值等例1如图4，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且tanB=，AC上有一点E，满足AEEC=23那么，tanADE等于（）ABCD 分析：要求tanADE值，需要构造包含ADE的直角三角形，为此需要过点E作FEAD，再求即可解：因为ADBC于D，AB=AC，所以BAD=CAD因为tanB=，B+CAD=90，所以tanCAD=作EFAD交AD于F，则tan CAD所以因为，所以EFCB又AEEC=23，所以AFFD=23所以FD=AF所以故选C说明：当要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构造直角三角形或寻找等角本题采用了构造直角三角形的方法例2如图5，梯形ABCD中，ADBC，B=45，C=120，AB=8，则CD的长为（）ABCD分析：求CD的长可构造直角三角形利用三角函数求解：如图，作AFBC于点F，DEBC于点E，则根据已知条件可求出DE=AF=ABsinB，再根据三角函数求出CD的长解：作AFBC于F，DEBC并交BC的延长线于E 在RtABF中，因为AB=8，B=45，所以AF=ABsin45=84，所以DE=AF=4在RtCDE中，因为DCE=180-120=60，所以，故选A说明：在利用锐角三角函数求边长时，若所求的边不在直角三角形内，则要将它转化到直角三角形中去，转化的途径比较多，如构造直角三角形或用已知的直角三角形的边或角来代替同步练习三：1如图6，CD是RtABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cosBCD=_2如图7，在ABC中，BAC=90，AD是高，AC=，tanDAC=，则AB=（）A5 BCD3如图8，在ABC中，B=60，BC=2，中线CDBC，求AB，tanA的值四、用锐角三角函数计算高度本专题主要涉及高度的计算，如计算旗杆的高度，楼房的高度、山的高度等此类问题的解题思路是构建直角三角形模型，一般需要将两个直角三角形联系起来，通过列方程解决问题通过本专题的复习，应达到以下目标：能构造直角三角形解有关高度问题例1小刘同学为了测量雷州市三元塔的高度，如图9，她先在A处测得塔顶C的仰角为32，再向塔的方向直行35米到达B处，又测得塔顶C的仰角为60，请你帮助小刘计算出三元塔的高度（小刘的身高忽略不计，结果精确到1米）分析：要计算三元塔的高度，反映到几何图形上，就是求CO的长，根据已知条件可用含有CO的关系表示OA、OB，然后根据OA-OB=AB去求CO解：在RtAOC中，OA=在RtBOC中，OB=因为AB=OA-OB，所以所以（米）所以三元塔的高度约是34米说明：利用直角三角形求高度，一般是从实际问题中构造直角三角形，或将已知图形中的两个直角三角形联合起来例2原电视发射塔为BC为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线（如图10线段AB），若AB=60m，并且AB与地面成45角，欲升高发射塔的高度到CB，同时原地锚线仍使用，若塔升高后使地锚线与地面成60角，求电视发射塔升高了多少米？（即BB的高度）（精确到0.01m）分析：要求电视发射塔升高了多少米，反映到图形上即求BB的长度关键在于求出原电视发射塔的高度和升高后发射塔的高度可通过解直角ABC求出BC，再解直角ABC，求出BC，从而BB=BCBC解：在tACB中，因为，所以（m）在中，所以（m）所以电视塔升高的高度为：（m）评注：求电视塔升高的高度，其解题思路是从实际问题中构造直角三角形模型，通过解直角三角形求到相应线段的长度进而求到线段的差同步练习四：1如图11，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（）A2cmB4cmC6cmD8cm2如图12，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45，则建筑物AB的高度等于（）A mB mCmDm3“平阳府有座大鼓楼，半截子插在天里头”如图13，为测量临汾市区鼓楼的高AB，在距B点50m的C处安装测倾器，测得鼓楼顶端A的仰角为4012，测倾器的高CD为1.3m，则鼓楼高AB约为_m（tan40120.85）4（广西玉林）某科技馆座落在山坡M处，从山脚A处到科技馆的路线如图14所示已知A处海拔高度为103.4m，斜坡AB的坡角为30，AB=40m，斜坡BM的坡角为18，BM=60m，那么科技馆M处的海拔高度是多少？（精确到0.1m，参考数据：sin18=0.309）五、用锐角三角函数解航海问题航行问题主要包括求航行的时间，求航行速度，判断是否有触礁危险等，是考试中的热点问题解决航行问题的关键是从实际问题中构建一个或两个直角三角形，通过三角函数直接解决或根据图形中的数量关系建立方程解决例1如图15，灯塔A周围1 000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O处测得灯塔A在北偏东74方向线上，这时、A相距4 200米，如果不改变航向，此舰艇是否有触礁的危险？分析：要判断舰艇是否有触礁的危险，关键比较点A到正东方向的距离与1 000米的大小，因此，需过点A向正东方向引垂线，转化为解直角三角形的问题解：如图15，过点A作AB与正东方向线垂直，垂足为B在tAOB中，OA=4 200，AOB=90-74=16AB=AOsinAOB=4 200sin16=4 2000.275 61 158（米）因为1 1581 000，所以此舰艇按原航向继续航行没有触礁的危险说明：本题是一道比较简单的航行问题，不仅要能从实际问题中构造出直角三角形，而且还要注意一些解题技巧，如能用乘法运算的，不用除法，能用正弦计算的，不用余弦例2如图6，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁（1）试说明点B是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由分析：要判断点B是否在暗礁区域外则需要计算BC的长度，看其长度是否大于16海里，若BC16海里，则点B在暗礁区域外；要判断继续向东航行有无触礁危险，则需要计算船到岛C的最短距离，看是否小于16海里若小于16海里，则有触礁的危险为此，需要构造直角三角形解决解：（1）过点B作BDAE，交AC于点D因为AB=360.5=18（海里），ADB=60，DBC=30，所以ACB=30又CAB=30，所以BC=AB即BC=AB=1816所以点B在暗礁区域外（2）过点C作CHAB，垂足为H，在RtCHB中，BCH=30，令BH=x，则CH=x在RtACH中，CAH=30，所以AH=CH=x=3x因为AH=AB+BH，所以3x=18+x解得x=9所以CH=916所以船继续向东航行有触礁的危险说明：有无触礁问题是航海中的热点，也是中考试题中经常出现的试题解决此类问题需要正确理解题意，根据实际问题构建直角三角形模型同步训练五：1如图17，一艘船向正东方向航行，在B处测得有一灯塔在它的北偏东30，距离为72海里的A处当行至C处测得灯塔恰好在它的正北方向，求此时它与灯塔的距离AC（计算结果精确到0.1海里）2如图18，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点测得P在它的北偏东60的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45方向 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？六、用三角函数设计测量方案问题用三角函数设计测量是中考试题中的常见题型其中以测量河的宽度，测量物体的高度为重要题型，解决测量问题需要熟练掌握锐角三角函数在实际问题中的应用，能从实际问题中构造一个或两个直角三角形，并能根据自己所设计的方案进行有关的计算例1如图19，河边有一条笔直的公路L，公路两侧是平坦的草地在数学活动课上，老师要求测量河对岸点B到公路的距离，请你设计一个测量方案要求：（1）列出你测量所使用的测量工具；（2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；（3）用字母表示测得的数据，求出B到公路的距离分析：本题是一道测量点到公路距离的实际问题可构造有公共边的两个直角三角形来解决解：（1）测角器、尺子；（2）测量示意图如图20；测量步骤：在公路上取两点C、D，BCD、BDC为锐角；用测角器测出BCD=，BDC=；用尺子测得CD的长，记为m米；计算求值（3）设B到CD的距离为x米，作BACD于点A，在CAB中，x=CAtan，在DAB中，x=ADtan，所以CA=，AD=因为CA+AD=m，所以m所以说明：本题是一道测量距离的方案设计问题，解决问题的关键在于正确地构造直角