高数小结与各年试题.doc

高数（下）小结一、微分方程复习要点 解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解. 一阶微分方程的解法小结：方程编号类 型一 般 形 式解 法备 注1型可分离变量方程或分离变量法有些方程作代换后可化为1型2型齐次方程或令为1型求解有时方程写成令化为1型求解3型线性方程或1 常数变易法2 凑导数法：同乘有时方程不是关于线性方程，而是关于线性方程4型贝努里方程或令或化为3型求解有时方程不是关于的贝努里方程，而是关于贝努里方程5型全微分方程其中 为原函数有时乘以一个积分因子可化为5型 二阶微分方程的解法小结：类 型特 征 求 解 方 法 备 注缺次积分 求解见上册缺令，降为一阶方程降价后是关于p，的一阶方程缺令，降为一阶方程降价后是关于,y的一阶方程常系数通解见下表 齐次方程的通解为：判别式两特征根情况通 解相异实根，二重实根共轭复根非齐次方程的特解的形式为：的形式特征根情况的形式不是特征根是重特征根不是特征根是特征根主要:一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解；2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解；3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解二、多元函数微分学复习要点一、偏导数的求法1、显函数的偏导数的求法在求时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式. 2、复合函数的偏导数的求法设，则，几种特殊情况：1），则2），则，3），则，3、隐函数求偏导数的求法1）一个方程的情况设是由方程唯一确定的隐函数，则 ， 或者视，由方程两边同时对求导解出.2）方程组的情况由方程组两边同时对求导解出即可.二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性： 三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法1）设空间曲线的参数方程为 ，则当时，在曲线上对应点处的切线方向向量为，切线方程为 法平面方程为 2）若曲面的方程为，则在点处的法向量 ，切平面方程为 法线方程为 若曲面的方程为，则在点处的法向量，切平面方程为 法线方程为 四、多元函数极值（最值）的求法1 无条件极值的求法设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，解出驻点，记，.1）若，则在点处取得极值，且当时有极大值，当时有极小值.2） 若，则在点处无极值.3） 若，不能判定在点处是否取得极值.2 条件极值的求法函数在满足条件下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组求出驻点坐标，则驻点可能是条件极值点.3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值.主要: 1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法三、多元函数积分学复习要点七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：积分类型积分记号定义及几何意义积分区域积 分 元 素被积函数一重积分曲边梯形面积区间=一元函数二重积分曲顶柱体体积平面区域D二元函数三重积分空间区域三元函数第一类曲线积分平面或空间曲线Lds=二元或三元函数第二类曲线积分平面或空间曲线L二元或三元函数第一类曲面积分空间曲面三元函数第二类曲面积分空间曲面三元函数计 算 方 法 应 用 转动慣量 重心其它（面积.体积.功等）见 上 册表后*所示1） or2) 1体积2）曲面面积A=1) 2)3) 柱面坐标法 4）球面坐标法=体积V=1）2) 3）4）化为第二类曲线积分=曲线所围面积A= 2）3）4） 5）公式计算法6）折线计算法（积分与路径无关时）；7）连续变形原理计算法； 8）公式计算法1） 功 W=求二元函数的“原函数”=面积S=1）直接代入法 2）Gaus公式计算法 ； 3）投影转移法 *定积分的几何应用定积分应用的常用公式：(1)面积 （型区域的面积） （型区域的面积）(2)体积 （横截面面积已知的立体体积） （所围图形绕轴旋转所得的立体体积） （所围图形绕轴旋转的立体体积） （所围图形绕轴旋转的立体体积）(3)弧长 计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算：1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量对称，则当被积函数关于为奇函数时，该积分为0，当被积函数关于变量为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍.2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量的对称性理论与上相反. 3）、若积分区域的地位平等（即将表示区域的方程互换不变），则将被积函数中互换积分不变.此称之为轮换对称性. 主要1、交换二次积分的积分次序；2、化三重积分为球面坐标或柱面坐标下的三次积分；3、公式计算法；4、Gaus公式计算法；5、两曲面所围体积与旋转体的体积计算6.平面图形面积的计算。 0108级昆明理工大学高等数学下期末试卷昆明理工大学2001级高等数学下期末试卷一、填空（每小题4分，共24分）1函数的定义域是 ，函数在 是间断的.2设函数，则 ， .3函数在 点（1，2）处沿轴负方向的方向导数等于 .4设，则曲面积分= .5设，则二重积分= .6如果微分方程的通解的所有任意常数的值确定后，所得到的微分方程的解称之为 解.二、解答下列各题（每小题6分，共18分）1求函数（为常数）的全微分.2求曲面在点处的切平面方程和法线方程.3求微分方程的通解.三、解答下列各题（每小题6分，共18分）1设而为可导函数，试计算.2计算三重积分其中是由曲面及所围成的闭区域.3计算曲面积分，其中是柱面介于平面及之间部分的前侧四、（12分）求微分方程的通解.五、（12分）求曲线积分其中：（1）（8分）L为圆周的正向.（2）（4分）L为椭圆的正向六、（10分）求表面积为36，而体积为最大的长方体的体积.七、（7分）讨论函数 在（0，0）处的连续性.昆明理工大学2002级高等数学（下）期末试卷一填空题（每小题4分，共40分）1设函数，则全微分dz= 2设函数具有一阶连续偏导数，则 3二重积分，改变积分次序后= .4直角坐标系下的三次积分化为球坐标系下的三次积分= 5若区域，则三重积分= 6当= 时，为某二元函数的全微分.7曲线积分，其中L是抛物线上从点到的一段弧，则= .8当为面内的一个闭区域D时，曲面积分与二重积分的关系为= .9二阶常系数齐次线性微分方程的通解为y= 10. 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式为y*= 二（10分）具有连续偏导数，证明由方程 所确定的函数满足三（10分）由锥面及抛物面所围立体体积四（10分）求螺旋线在处的切线方程及法平面方程.五、（10分）利用高斯公式计算曲面积分，其中具有二阶连续导数，为上半球面与所围成空间闭区域的整个边界曲面的外侧.六（10分）设曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可导且，求.七（10分）二阶常系数非齐次线性微分方程，求其通解.昆明理工大学2003级高等数学下期末试卷一填空题（每小题4分，共32分）1设函数，则 ， .2曲线处的切线方程为.3交换二次积分次序， . 4设L为右半圆周：，则曲线积分 .5设为平面在第一卦限中的部分，则曲面积分 .6级数的敛敛性为 .7幂级数的收敛半径R= ，收敛区间为 .8求微分方程的通解为 .二解答下列各题（每小题7分，共35分）1设.2讨论函数是否有极值.3求幂级数在收敛区间内的和函数.4求微分方程的特解.5求微分方程的通解.三（11分）利用格林公式计算曲线积分，其中为从原点的正弦曲线.四（11分）利用高斯公式计算曲面积分，其中是球面的内侧.五（11分）求由锥面及旋转抛物面所围成的立体的体积.昆明理工大学2004级高等数学下期末试卷一填空题（每小题4分，共32分）1设函数，则 .2曲线处的法平面方程为： .3设区域D由及所围，则化二重积分为先的二次积分后的结果为 .4设L为圆弧：，则曲线积分 .5设，则曲面积分= .6级数收敛于 .7幂级数的收敛半径R= ，收敛区间为 .8二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式为y*= .（不要求计算）二解答下列各题（每小题7分，共28分）1求函数z=，其中具有一阶连续偏导数，求.2讨论的极值.3将函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间.4求微分方程的通解.三（10分）设L为沿顺时针方向的上半圆，计算曲线积分.四（10分）求由球面及所围成的立体的体积.五（10分）利用高斯公式计算曲面积分，其中是球面外侧的上半部分.六、（10分）求，使曲线积分与路径无关，其中具有二阶连续导数，且.昆明理工大学2005级高等数学下期末试卷一填空题（每小题4分，共32分）1设函数 .2设，则 .3曲线处的法平面方程为 .4交换二次积分次序，则 .5设L为圆周：，则曲线积分 .6当为平面内的一个闭区域D时，则曲面积分 .7微分方程的通解为 .8微分方程的的通解为 .二解答下列各题（每小题7分，共28分）1由方程所确定，其中具有连续的偏导数，求.2计算二重积分是由所围成的闭区域.3利用高斯公式计算曲面积分，其中是球面的外侧.4求微分方程的通解.三（10分）某厂要用铁板做成一个体积为的无盖长方形水箱，问长、宽、高各取多少时，才能使用料最省.四（10分）求由曲面及所围成的立体的体积.五（10分）微分方程的通解.六（10分）曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算.昆明理工大学2006级高等数学下期末试卷一、填空题（每小题3分，共30分）（1）设，则.（2）设，则全微分.（3）曲线处的切线方程为： .（4）交换二次积分次序，则.（5）设有曲线：的起点为（0，0），终点为（1，1）则曲线积分： .（6）设曲面是锥面在柱面内部那一部分上侧，则曲面积分 .（7）设具有连续偏导数，且 （8）当 时，为某二元函数的全微分.(9) 微分方程的通解为 (10) 微分方程的通解为 二（7分）设.三（7分）利用拉格朗日乘数法求解问题：从斜边之长为 的一切直 角三角形中，求有最大周长的直角三角形.四 （7分）利用适当的坐标计算积分 其中D 是由直线： 及曲线 所围城的闭区域.五 （10分）利用高斯公式计算曲面积分：其中是曲面上侧.六(10分) 利用格林公式，计算曲线积分：为三顶点分别为（0，0）、（3，0）和（3，2）的三角形正向边界.七(10分) 求由抛物面与平面 所围成空间闭区域内的立体的质量，已知此立体的体密度为八(10分) 二阶常系数非齐次线性微分方程 ，求其通解.九（9分）设曲线积分与路径无关, 其中具有连续的一阶导数,且当其为起点在O（0，0）终点为B（1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于求函数. 昆明理工大学2007级高等数学下期末试卷一、填空题（每小题3分，共30分）（1）设,，,具有一阶连续偏导数，则 （2）设，则全微分 （3）曲面在点处的切平面方程为 （4）交换二次积分次序，则 （5）计算二重积分的值 ，其中（6）曲线L为球面与平面相交的圆周，其中，则曲线积分 （7）设曲面是在柱面 上介于的部分，则曲面积分 （8）当 时，曲线积分 与路径无关.（9）微分方程的通解为 （10）微分方程的通解为 二、（8分）已知三个正数之和为12，求的最大值.三、（8分）计算二重积分的值，其中D是由直线及曲线所围成的闭区域.四、（10分）求旋转抛物面与锥面所围立体的体积.五、（10分）求，其中L为顶点坐标分别是，的三角形的正向边界.六、（10分）利用高斯公式计算曲面积分：，其中是曲面的上侧.七、（10分）求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解（其中a为常数）.八、（10分）设具有一阶连续导数，且，又是全微分方程，求.九、（6分）已知，且，其中可微，连续，且，连续，求.昆明理工大学2008级高等数学下期末试卷一填空题（每小题4分，共40分）1.由曲线与直线及围成的图形的面积为,若以为积分变量,面积可用定积分表示为 .2.设为连续函数，则交换二次积分次序后 .3. ,其中L是圆弧.4. ，其中为平面在第一卦限中的部分.5.设为面上的闭区域,取下侧, 表示在面的投影,将化为上的二重积分,则 .6. 已知级数则级数的和是 .7.已知，则 .8.当时,级数的敛散性为 .9.全微分方程的通解为 .10.一阶线性非齐次方程:的通解为 .二、计算下列各题(每小题5分，共10分)1.求曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.2.三、（7分）计算三重积分四、（7分）计算，其中L为圆周（按逆时针方向绕行） 五、(8分)计算，其中是锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面.六、(8分)利用高斯公式计算曲面积分其中是曲面的上侧.为常数）.七、(8分)设幂级数为，求（1）收敛半径及收敛区间，（2）和函数.八、计算下列各题（每题6分 共12分）1.如果可微函数满足关系式，求.2.求微分方程的通解.各年期末试卷参考解答2001级高等数学下期末试卷参考解答一填空（每小题4分，共24分）1. ,; 2. ，3 略 ; 4. ; 5.; 6. 通 .二解答下列各题（每小题6分，共18分）1. 解：;2. 解：切平面的法向量为,故切平面方程为，法线。3. 解：分离变量得: ,积分得: ,即微分方程的通解为.三解答下列各题（每小题6分，共18分）1. 解： ,故.2. 解：由交线，由柱面坐标 3. 解：由于关于面对称,而被积函数关于为奇函数,故.四. 解：对应齐次方程通解为.由于不是特征方程的根，可设特解：,代入原方程得:,故：,故所求通解为：.五. 解：(1)由于不包含奇点,由格林公式并注意到得：;(2) 由于包含奇点,不能直接使用格林公式，由于，故由连续变形原理可以将压缩为小圆（较小），积分的值不变，即：，此时，则可以使用格林公式得.六. 解：设长、宽、高分别为，则体积,且由拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组，由对称性,即当长、宽、高都取 时，才能使体积为最大, 最大体积为. 七略.2002级高等数学下期末试题参考解答一填空：1. 2. 3. 4.； 5.0； 6. 2； 7. ; 8. ； 9. ； 10. 二.解:由隐函数求导公式得 ，左边右边.三.解法一:（用三重积分），由交线由柱面坐标 解法二:（用二重积分）四.解:当时,=0, ，切线方程或,法平面方程为. 五.解:由Guass公式(球体积的一半)六.解:,，由得 （一阶线性微分方程），两端同乘，得，积分得，再由 得， .七解：对应齐次方程通解为.由于不是特征根，设特解,代入原方程求得,所求通解为.2003级高等数学下期末试卷参考解答一填空题（每小题4分，共32分）1、 2、 3、 4、0; 5、; 6、略； 7、略； 8、二解答下列各题（每小题7分，共35分）1.解：微分得即.2.解:，故由知函数无极值. 3略4.解：由得，积分得，由得，故原微分方程的特解为.5.解：对应齐次方程通解为.由于不是特征根，观察易得特解,所求通解为三.解：，其中为从原点的直线段，利用格林公式得 .四.解:由高斯公式.五.解法一:（用三重积分），由交线由柱面坐标 解法二:（用二重积分）由极坐标 2004级高等数学下期末试卷参考解答一填空题（每小题4分，共32分） 1、0； 2、 3、; 4、 5 6略; 7略. 8二 1求函数z=，其中具有一阶连续偏导数，求.解：,.22由于知该函数没有极值。4解可变为，此为一阶线性方程，同乘以得，积分得通解三解：，其中为从原点的直线段，利用格林公式得.四解：,由交线,由极坐标.五解：，其中，高斯公式.六解：由条件得，即，此为二阶非齐次线性微分方程，又由，得，对应齐次方程通解：，又不是特征根，故设：，代入方程得，故非齐次线性微分方程通解为 由，得2005级高等数学下期末试卷参考解答一 1; 2; 3;4 5； 6=区域D面积. 7.8.二1解:由隐函数求导公式得 ，.2解：.3解：由高斯公式.4解可变为，此为一阶线性方程，同乘以得，积分得通解.三解：设长、宽、高分别为，则用料,由拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组，由对称性,得.，即当长、宽、高各取时，才能使用料最省.四,由交线,由极坐标.五解：对应齐次方程通解为.由于不是特征方程的根，可设特解,代入得，故所求通解为.六解：由条件得，即，此为一阶可分离变量的微分方程，解得由得，故.从而 2006级高等数学下期末试卷参考解答及评分标准一. 填空题(每题3