2019高考数学二轮复习专题15随机变量及其应用练习理.docx

15随机变量及其应用1.一个盒子中装有12个乒乓球,其中9个没有使用过的、3个已经使用过的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中已经使用过的球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为().A.1220B.2755C.27220D.2155解析“X=4”表示从盒中取了2个已经使用过的球,1个没有使用过的球,故P(X=4)=C32C91C123=27220.答案C2.已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)=().A.32B.2C.52D.3解析由数学期望公式可得E(X)=135+2310+3110=32.答案A3.已知随机变量X服从正态分布N(0,82),若P(X2)=0.023,则P(-2X2)=.解析因为=0,所以P(X2)=P(X-2)=0.023,所以P(-2X2)=1-20.023=0.954.答案0.9544.若随机变量XB(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,则p=.解析因为随机变量XB(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,所以np=7,np(1-p)=6,解得p=17.答案17能力1求离散型随机变量的分布列【例1】私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查结果进行整理后制成下表:年龄/岁15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75频数510151055赞成人数469634(1)若从年龄在15,25)和25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率;(2)在(1)的条件下,令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为,求随机变量的分布列.解析(1)由表知,年龄在15,25)内的有5人,不赞成的有1人,年龄在25,35)内的有10人,不赞成的有4人,则恰有2人不赞成的概率为P=C41C52C41C61C102+C42C52C42C102=4102445+610645=2275.(2)的所有可能取值为0,1,2,3.P(=0)=C42C52C62C102=6101545=15,P(=1)=C41C52C62C102+C42C52C41C61C102=4101545+6102445=3475,P(=2)=2275,P(=3)=C41C52C42C102=410645=475,的分布列是0123P1534752275475离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义.(2)求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率.(3)画表格:按规范要求写出分布列.(4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列.解析(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)=A21A31A52=310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X=200)=A22A52=110,P(X=300)=A33+C21C31A22A53=310,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-110-310=35.故X的分布列为X200300400P11031035能力2相互独立事件同时发生的概率【例2】某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率.(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.解析记E=甲组研发新产品成功,F=乙组研发新产品成功,由题设知P(E)=23,P(E)=13,P(F)=35,P(F)=25,且事件E与F,E与F,E与F,E与F都相互独立.(1)记H=至少有一种新产品研发成功,则H=EF,于是P(H)=P(E)P(F)=1325=215,故所求的概率P(H)=1-P(H)=1-215=1315.(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,因为P(X=0)=P(EF)=1325=215,P(X=100)=P(EF)=1335=15,P(X=120)=P(EF)=2325=415,P(X=220)=P(EF)=2335=25.故所求的分布列为X0100120220P2151541525(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成,将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积,然后利用相关公式进行计算.(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试,“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会,先进行“立定投篮”测试,如果合格才有机会进行“三步上篮”测试,为了节约时间,每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为12,“三步上篮”的命中率为34,假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响.(1)求小明同学两项测试合格的概率;(2)设测试过程中小明投篮的次数为,求的分布列.解析设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai(i=1,2),第j次“三步上篮”命中为事件Bj(j=1,2),依题意有P(Ai)=12(i=1,2),P(Bj)=34(j=1,2),“小明同学两项测试合格”为事件C.(1)P(C)=P(A1A2)+P(A1A2B1B2)+P(A1B1B2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)+P(A1)P(B1)P(B2)=1-122+1-12121-342+121-342=1964.P(C)=1-1964=4564.(2)依题意知=2,3,4,P(=2)=P(A1B1)+P(A1A2)=P(A1)P(B1)+P(A1)P(A2)=58,P(=3)=P(A1B1B2)+P(A1A2B1)+P(A1B1B2)=P(A1)P(B1)P(B2)+P(A1)P(A2)P(B1)+P(A1)P(B1)P(B2)=516,P(=4)=P(A1A2B1)=P(A1)P(A2)P(B1)=116.故投篮的次数的分布列为234P58516116能力3独立重复试验与二项分布【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本,然后称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495,(495,500,(510,515.由此得到样本的频率分布直方图(如下图).(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列;(3)用样本估计总体,从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.解析(1)质量超过505克的产品的频率为50.05+50.01=0.3,故质量超过505克的产品数量为400.3=12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件.由题意知X的取值为0,1,2,X服从超几何分布.P(X=0)=C282C402=63130,P(X=1)=C121C281C402=2865,P(X=2)=C122C402=11130,X的分布列为X012P63130286511130(3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为1240=310.从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2次独立重复试验,质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2,且YB2,310,P(Y=k)=C2k1-3102-k310k,P(Y=0)=C207102=49100,P(Y=1)=C21310710=2150,P(Y=2)=C223102=9100.Y的分布列为Y012P4910021509100利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k的三个条件:(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.为了解一种植物果实的情况,随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位:克),按照27.5,32.5),32.5,37.5),37.5,42.5),42.5,47.5),47.5,52.5分为5组,其频率分布直方图如图所示.(1)求图中a的值.(2)估计这种植物果实重量的平均数x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的为优质果实,用样本估计总体.若从这种植物果实中随机抽取3个,其中优质果实的个数为X,求X的分布列和数学期望E(X).解析(1)组距d=5,由5(0.02+0.04+0.075+a+0.015)=1得a=0.05.(2)各组中点值和相应的频率依次为中点值3035404550频率0.10.20.3750.250.075x=300.1+350.2+400.375+450.25+500.075=40,s2=(-10)20.1+(-5)20.2+020.375+520.25+1020.075=28.75.(3)由已知,这种植物果实的优质率p=0.9,且XB(3,0.9),故P(X=k)=C3k0.9k(1-0.9)3-k(k=0,1,2,3),X的分布列为X0123P0.0010.0270.2430.729E(X)=np=2.7.能力4正态分布【例4】(1)已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=0.8,则P(04)=().A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2(2)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线的一部分)的点的个数的估计值为().附:若XN(,2),则P(-X+)=0.6826,P(-2X+2)=0.9544.A.1193B.1359C.2718D.3413解析(1)随机变量服从正态分布N(2,2),=2,对称轴为x=2,P(4)=0.8,P(4)=P(0)=0.2,P(04)=0.6.(2)对于正态分布N(-1,1),=-1,=1,正态曲线关于直线x=-1对称,故题图中阴影部分的面积为12P(-3X1)-P(-2X0)=12P(-2X+2)-P(-X+)=12(0.9544-0.6826)=0.1359,点落入题图中阴影部分的概率P=0.13591=0.1359,故投入10000个点,落入阴影部分的个数约为100000.1359=1359.答案(1)A(2)B(1)利用3原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的,进行对比联系,确定它们属于(-,+),(-2,+2),(-3,+3)中的哪一个.(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用:P(Xa)=1-P(Xa);P(X-)=P(X+).已知某批零件的长度误差X(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为().(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=0.6826,P(-2+2)=0.9544)A.0.0456B.0.1359C.0.2718D.0.3174解析依题意知,XN(0,32),其中=0,=3.P(-3X3)=0.6826,P(-6X6)=0.9544.因此P(3X6)=12P(-6X6)-P(-3X3)=12(0.9544-0.6826)=0.1359.答案B能力5离散型随机变量的均值与方差【例5】为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准如下:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场滑雪,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14,16;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12,23;两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位:元),求的分布列与数学期望E(),方差D().解析(1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0元,40元,80元,两人都付0元的概率为P1=1416=124,两人都付40元的概率为P2=1223=13,两人都付80元的概率为P3=1-14-121-16-23=1416=124,则两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=124+13+124=512.(2)由题设知可能取值为0,40,80,120,160,则P(=0)=1416=124;P(=40)=1423+1216=14;P(=80)=1416+1223+1416=512;P(=120)=1216+1423=14;P(=160)=1416=124.故的分布列为04080120160P1241451214124E()=0124+4014+80512+12014+160124=80.D()=(0-80)2124+(40-80)214+(80-80)2512+(120-80)214+(160-80)2124=40003.(1)求离散型随机变量的均值与方差的关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用.某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择.项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79和29.项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35,13和115.针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.解析若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为X1300-150P7929E(X1)=30079+(-150)29=200(万元).若按“项目二”投资,设获利为X2万元,则X2的分布列为X2500-3000P3513115E(X2)=50035+(-300)13+0115=200(万元).D(X1)=(300-200)279+(-150-200)229=35000,D(X2)=(500-200)235+(-300-200)213+(0-200)2115=140000.E(X1)=E(X2),D(X1)D(X2),这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥.综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.一、选择题1.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是().A.1425B.1225C.34D.35解析因为甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,所以P(甲)=45,P(乙)=710,所以他们都中靶的概率是45710=1425.答案A2.若随机变量X的分布列为X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(Xa)=0.8时,实数a的取值范围是().A.(-,2B.1,2C.(1,2D.(1,2)解析由随机变量X的分布列知P(X-1)=0.1,P(X0)=0.3,P(X1)=0.5,P(X2)=0.8,则当P(Xa)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2.答案C3.从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是().A.435B.635C.1235D.36343解析如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,那么这是一个超几何分布问题,故所求概率为P=C32C41C73=1235.答案C4.已知离散型随机变量X的分布列为X135P0.5m0.2则其方差D(X)=().A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5+m+0.2=1得m=0.3,E(X)=10.5+30.3+50.2=2.4,D(X)=(1-2.4)20.5+(3-2.4)20.3+(5-2.4)20.2=2.44.答案C5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是().A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45解析记事件A表示“一天的空气质量为优良”,事件B表示“随后一天的空气质量为优良”,则P(A)=0.75,P(AB)=0.6.由条件概率,得P(B|A)=P(AB)P(A)=0.60.75=0.8.答案A6.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则n,p的值为().A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1解析由XB(n,p)及E(X)=np,D(X)=np(1-p)得2.4=np,且1.44=np(1-p),解得n=6,p=0.4.故选B.答案B7.设随机变量X服从正态分布N(1,2),则函数f(x)=x2+2x+X不存在零点的概率为().A.14B.13C.12D.23解析函数f(x)=x2+2x+X不存在零点,=4-4X1.XN(1,2),P(X1)=12,故选C.答案C8.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为18和p,若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940,则p=().A.110B.215C.16D.15解析由题意得18(1-p)+1-18p=940,p=215,故选B.答案B9.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为().A.24181B.26681C.27481D.670243解析依题意,知X的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为232+132=59.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X=2)=59,P(X=4)=4959=2081,P(X=6)=492=1681,故E(X)=259+42081+61681=26681.答案B二、填空题10.若随机变量XN(,2),且P(X5)=P(X-1)=0.2,则P(2X5)=P(X-1),=5-12=2,P(2X5)=12P(-1X5)=12(1-0.2-0.2)=0.3.答案0.311.已知随机变量的分布列为123P12xy若E()=158,则D()=.解析由分布列性质,得x+y=12.又E()=158,得2x+3y=118,可得x=18,y=38.D()=1-158212+2-158218+3-158238=5564.答案556412.一个质地均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积X的数学期望是.解析随机变量X的取值为0,1,2,4,则P(X=0)=34,P(X=1)=19,P(X=2)=19,P(X=4)=136,因此E(X)=49.答案4913.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层有5个乘客,且每位乘客在这三层中任一层下电梯的概率均为13,用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(X=4)=.解析考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,这是5次独立重复试验,故XB5,13,即P(X=k)=C5k13k235-k,k=0,1,2,3,4,5.故P(X=4)=C54134231=10243.答案10243三、解答题14.雾霾天气对人体健康有伤害,应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5.我们要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措,聚焦重点领域,严格指标考核.某省环保部门为加强环境执法监管,派遣四个不同的专家组对A,B,C三个城市进行治霾落实情况抽查.(1)若每个专家组随机选取一个城市,四个专家组选取的城市可以相同,也可以不同,求恰有一个城市没有专家组选取的概率.(2)若每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价,每个专家组给每一个城市评价为优的概率均为12,若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检,否则需进行复检.设需进行复检的城市的个数为X,求X的分布列和期望.解析(1)随机选取,共有34=81种不同方法,恰有一个城市没有专家组选取的有C32CA(4122C+42)=42种不同方法,故恰有一个城市没有专家组选取的概率为4281=1427.(2)设事件A为“城市需复检”,则P(A)=1-124=1516,由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C301163=14096,P(X=1)=C3111621516=454096,P(X=2)=C3211615162=6754096,P(X=3)=C3315163=33754096.所以X的分布列为X0123P14096454096675409633754096因为XB3,1516,所以E(X)=31516=4516.15.某手机卖场对市民进行国产手机认可度调查,随机抽取100名市民,按年龄(单位:岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下:分组/岁频数25,30)x30,35)y35,40)3540,45)3045,5010合计100(1)求频率分布表中x,y的值,并补全频率分布直方图;(2)在抽取的这100名市民中,按年龄进行分层抽样,抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查,现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份,设这2名市民中年龄在35,40)内的人数为X,求X的分布列.解析(1)由题意知,年龄在25,30)内的频率为0.015=0.05,故x=1000.05=5.因为年龄在30,35)内的频率为1-(0.01+0.07+0.06+0.02)5=1-0.8=0.2,所以y=1000.2=20,且30,35)这组对应的频率组距=0.25=0.04.补全频率分布直方图如图所示.(2)因为年龄按从小到大的各层人数之间的比为520353010=14762,且共抽取20人,所以抽取的20人中,年龄在35,40)内的人数为7.由题意知,X可取0,1,2,则P(X=0)=